't bucle del casco

Operador de bucle magnético dual al bucle Wilson

En la teoría cuántica de campos , el bucle 't Hooft es un análogo magnético del bucle de Wilson , en el que los bucles espaciales dan lugar a bucles delgados de flujo magnético asociados con vórtices magnéticos . Desempeñan el papel de parámetro de desorden para la fase de Higgs en la teoría de calibre pura . Las condiciones de consistencia entre las cargas eléctricas y magnéticas limitan los posibles bucles 't Hooft que pueden usarse, de manera similar a la forma en que la condición de cuantificación de Dirac limita el conjunto de monopolos magnéticos permitidos . Fueron introducidos por primera vez por Gerard 't Hooft en 1978 en el contexto de posibles fases que admiten las teorías de calibre. ^[1]

Definición

Hay varias formas de definir líneas y bucles de 't Hooft. Para curvas temporales , son equivalentes a la configuración de calibre que surge de la línea mundial trazada por un monopolo magnético. ^[2] Estas son configuraciones de campo de calibre singular en la línea, de modo que su corte espacial tiene un campo magnético cuya forma se aproxima a la de un monopolo magnético. ${\displaystyle C}$

${\displaystyle B^{i}\xrightarrow {r\rightarrow 0} {\frac {x^{i}}{4\pi r^{3}}}Q(x),}$

donde en la teoría de Yang-Mills es el objeto generalmente valorado en álgebra de Lie que especifica la carga magnética. Las líneas de 't Hooft también se pueden insertar en la integral de trayectoria exigiendo que la medida del campo del calibre solo pueda recorrer configuraciones cuyo campo magnético adopte la forma anterior. ${\displaystyle Q(x)}$

De manera más general, el bucle 't Hooft se puede definir como el operador cuyo efecto es equivalente a realizar transformaciones de calibre modificadas que son singulares en el bucle de tal manera que cualquier otro bucle parametrizado con un número de bobinado alrededor satisface ^[3] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Omega (s=1)=e^{i2\pi l/N}\Omega (s=0).}$

Estas transformaciones de calibre modificadas no son transformaciones de calibre verdaderas ya que no dejan la acción invariante. Para los bucles temporales crean las configuraciones de campo antes mencionadas, mientras que para los bucles espaciales crean bucles de flujo magnético de color, denominados vórtices centrales . Al construir tales transformaciones de calibre, se puede derivar una forma explícita para el bucle 't Hooft introduciendo el operador de impulso conjugado de Yang-Mills.

${\displaystyle \Pi _{i}^{a}(x)=-i{\frac {\delta }{\delta A_{i}^{a}(x)}}.}$

Si el bucle encierra una superficie , entonces una forma explícita del operador de bucle 't Hooft es ^[4] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle T[C]=e^{i\int d^{3}xA_{i}^{a}(\Sigma ,x)\Pi _{i}^{a}(x)}.}$

Usando el teorema de Stokes, esto se puede reescribir de una manera que muestre que mide el flujo eléctrico a través de , de manera análoga a cómo el bucle de Wilson mide el flujo magnético a través de la superficie cerrada. ${\displaystyle \Sigma }$

Existe una estrecha relación entre los bucles de 't Hooft y Wilson, donde dados dos bucles y que tienen un número de enlace , entonces el bucle de 't Hooft y el bucle de Wilson satisfacen ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle T[C]}$ ${\displaystyle W[C']}$

${\displaystyle T[C]W[C']=z^{l}W[C']T[C],}$

donde es un elemento del centro del grupo de calibre. Esta relación puede tomarse como una característica definitoria de los bucles de 't Hooft. Las propiedades de conmutación entre estos dos operadores de bucle se utilizan a menudo en la teoría de campos topológicos , donde estos operadores forman un álgebra . ${\displaystyle z}$

Operador de trastorno

El bucle 't Hooft es un operador de desorden ya que crea singularidades en el campo de calibre, y su valor esperado distingue la fase desordenada de la teoría pura de Yang-Mills de la fase de confinamiento ordenada . De manera similar al bucle de Wilson, el valor esperado del bucle 't Hooft puede seguir la ley del área ^[5]

${\displaystyle \langle T[C]\rangle \sim e^{-aA[C]},}$

¿Dónde está el área encerrada por el bucle y es una constante, o puede seguir la ley del perímetro? ${\displaystyle A[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T[C]\rangle \sim e^{-bL[C]},}$

donde es la longitud del bucle y es una constante. ${\displaystyle L[C]}$ ${\displaystyle b}$

Sobre la base de la relación de conmutación entre los bucles de 't Hooft y Wilson, se pueden identificar cuatro fases para las teorías de calibre que además contienen escalares en representaciones invariantes bajo el centro de simetría . Las cuatro fases son ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

• Confinamiento: los bucles de Wilson siguen la ley del área mientras que los bucles de 't Hooft siguen la ley del perímetro.
• Fase de Higgs: los bucles de Wilson siguen la ley del perímetro mientras que los bucles de 't Hooft siguen la ley del área.
• Confinamiento junto con una fase parcial de Higgsed: ambos siguen la ley del área.
• Fase mixta: ambas siguen la ley perimetral.

En la tercera fase, el grupo de calibre se divide solo parcialmente en un subgrupo más pequeño no abeliano . La fase mixta requiere que los bosones de calibre sean partículas sin masa y no ocurre en las teorías, pero es similar a la fase de Coulomb en la teoría de calibre abeliano . ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Dado que los operadores de 't Hooft son operadores de creación de vórtices centrales, desempeñan un papel importante en el escenario de confinamiento del vórtice central. ^[6] En este modelo, son estos vórtices los que conducen a la ley de área del bucle de Wilson a través de las fluctuaciones aleatorias en el número de vórtices topológicamente vinculados .

Restricciones de carga

En presencia de líneas de 't Hooft y líneas de Wilson, una teoría requiere condiciones de consistencia similares a la condición de cuantificación de Dirac que surge cuando están presentes monopolos eléctricos y magnéticos. ^[7] Para un grupo de calibre donde es el grupo de cobertura universal con un álgebra de Lie y es un subgrupo del centro, entonces el conjunto de líneas de Wilson permitidas está en correspondencia uno a uno con las representaciones de . Esto se puede formular con mayor precisión introduciendo los pesos del álgebra de Lie, que abarcan la red de pesos . Las líneas de Wilson , que se denotan como la red abarcada por los pesos asociados con el álgebra de en lugar de , están en correspondencia uno a uno con la red de puntos de la red donde está el grupo de Weyl. ${\displaystyle G={\tilde {G}}/H}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}^{G}\subset \Lambda _{w}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}^{G}/W}$ ${\displaystyle W}$

La carga valorada en álgebra de Lie de la línea 't Hooft siempre se puede escribir en términos de la subálgebra de Cartan de rango como , donde es un vector de carga dimensional. Debido a las líneas de Wilson, la carga de 't Hooft debe satisfacer la condición de cuantificación generalizada de Dirac , que debe ser válida para todas las representaciones del álgebra de Lie. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ ${\displaystyle Q={\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e^{i{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}}=1}$

La condición de cuantificación generalizada es equivalente a la demanda que se cumple para todos los vectores de peso. Para obtener el conjunto de vectores que satisfacen esta condición, se deben considerar raíces que son vectores de peso de representación adjuntos . Las co-raíces, definidas mediante raíces por , abarcan la red de co-raíces . Estos vectores tienen la útil propiedad de que las únicas cargas magnéticas permitidas para las líneas de 't Hooft son las que se encuentran en la red co-raíz. ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in 2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }=2{\boldsymbol {\alpha }}/{\boldsymbol {\alpha }}^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\in 2\pi \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}}).}$

Esto a veces se escribe en términos del álgebra dual de Langlands con una red de pesos , en cuyo caso las líneas de 't Hooft se describen mediante . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{mw}}$ ${\displaystyle \Lambda _{mw}/W}$

También se pueden construir clases más generales de operadores de líneas diónicas , con cargas tanto eléctricas como magnéticas. A veces llamados operadores de línea Wilson-'t Hooft, se definen por pares de cargas hasta la identificación que por lo demás sostiene que ${\displaystyle (\lambda _{e},\lambda _{m})\in \Lambda _{w}\times \Lambda _{mw}}$ ${\displaystyle w\in W}$

${\displaystyle (\lambda _{e},\lambda _{m})\sim (w\lambda _{e},w\lambda _{m}).}$

Los operadores de línea desempeñan un papel al indicar diferencias en las teorías de ancho de la forma que difieren según el subgrupo central . A menos que se compactifiquen , estas teorías no difieren en la física local y ninguna cantidad de experimentos locales puede deducir el grupo de calibre exacto de la teoría. A pesar de esto, las teorías difieren en sus propiedades globales, como tener diferentes conjuntos de operadores de línea permitidos. Por ejemplo, en las teorías de calibre, los bucles de Wilson están etiquetados con líneas while 't Hooft con . Sin embargo, en las celosías se invierten donde ahora las líneas de Wilson están determinadas por mientras que las líneas de 't Hooft están determinadas por . ^[8] ${\displaystyle G={\tilde {G}}/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)/\mathbb {Z} _{N}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\text{co-root}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}}$

Ver también

• Bucle de Polyakov

Referencias

1. 't Hooft, G. (1978). "Sobre la transición de fase hacia el confinamiento permanente de quarks". Física Nuclear B. 138 (1): 1–25. Código bibliográfico : 1978NuPhB.138....1T. doi :10.1016/0550-3213(78)90153-0.
2. Tong, D. (2018), "2", Apuntes de la conferencia sobre la teoría del calibre , págs. 89–90
3. Nastase, H. (2019). "50". Introducción a la teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 472–474. ISBN 978-1108493994.
4. Reinhardt, H. (2002). "En el operador de bucle de 't Hooft". Física. Letón. B . 557 (3–4): 317–323. arXiv : hep-th/0212264 . doi :10.1016/S0370-2693(03)00199-0. S2CID  119533753.
5. Sitio verde, J. (2020). "4". Una introducción al problema del confinamiento (2 ed.). Saltador. págs. 43–47. ISBN 978-3030515621.
6. Englehardt, M.; et al. (1998). "Interacción de vórtices confinantes en la teoría del calibre de red SU (2)". Física. Letón. B . 431 (1–2): 141–146. arXiv : hep-lat/9801030 . Código bibliográfico : 1998PhLB..431..141E. doi :10.1016/S0370-2693(98)00583-8. S2CID  16961390.
7. Oferta, A.; Seiberg, N .; Tachikawa, Yuji (2013). "Lectura entre líneas de teorías de calibre de cuatro dimensiones". JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Código Bib : 2013JHEP...08..115A. doi :10.1007/JHEP08(2013)115. S2CID  118572353.
8. Kapustin, A. (2006). "Operadores de Wilson-'t Hooft en teorías de calibre de cuatro dimensiones y dualidad S". Física. Rev. D. 74 (2): 25005. arXiv : hep-th/0501015 . Código bibliográfico : 2006PhRvD..74b5005K. doi : 10.1103/PhysRevD.74.025005. S2CID  17774689.