Orden de magnitud

El orden de magnitud es un concepto utilizado para analizar la escala de números en relación con otros.

Dos números están "dentro de un orden de magnitud" uno del otro si su razón está entre 1/10 y 10. En otras palabras, los dos números están dentro de un factor de 10 aproximadamente uno del otro. ^[1]

Por ejemplo, 1 y 1,02 están dentro de un orden de magnitud. También lo están 1 y 2, 1 y 9, o 1 y 0,2. Sin embargo, 1 y 15 no están dentro de un orden de magnitud, ya que su razón es 15/1 = 15 > 10. La razón recíproca, 1/15, es menor que 0,1, por lo que se obtiene el mismo resultado.

Las diferencias en orden de magnitud se pueden medir en una escala logarítmica de base 10 en " décadas " (es decir, factores de diez). ^[2] Por ejemplo, hay un orden de magnitud entre 2 y 20, y dos órdenes de magnitud entre 2 y 200. Cada división o multiplicación por 10 se denomina orden de magnitud. ^[3] Esta expresión ayuda a expresar rápidamente la diferencia de escala entre 2 y 2.000.000: difieren en 6 órdenes de magnitud.

Se pueden encontrar ejemplos de números de diferentes magnitudes en Órdenes de magnitud (números) .

A continuación se presentan ejemplos de distintos métodos para dividir los números reales en "órdenes de magnitud" específicos para diversos fines. No existe una única forma aceptada de hacerlo, y distintas particiones pueden ser más fáciles de calcular pero menos útiles para la aproximación, o mejores para la aproximación pero más difíciles de calcular.

Cálculo del orden de magnitud

Generalmente, el orden de magnitud de un número es la potencia más pequeña de 10 utilizada para representar ese número. ^[4] Para calcular el orden de magnitud de un número , primero se expresa el número de la siguiente forma: ${\estilo de visualización N}$

N=a\times 10^{b}

donde , o aproximadamente . Entonces, representa el orden de magnitud del número. El orden de magnitud puede ser cualquier entero . La siguiente tabla enumera el orden de magnitud de algunos números utilizando esta definición: ${\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}$ $0.316\lesssim a\lesssim 3.16$ ${\estilo de visualización b}$

La media geométrica de y es , lo que significa que un valor de exactamente (es decir, ) representa un punto medio geométrico dentro del rango de valores posibles de . $Estilo de visualización 10^{b-1/2}}$ $Estilo de visualización 10^{b+1/2}}$ ${\estilo de visualización 10^{b}}$ ${\estilo de visualización 10^{b}}$ ${\estilo de visualización a=1}$ ${\estilo de visualización a}$

Algunos utilizan una definición más simple donde . ^[5] Esta definición tiene el efecto de reducir ligeramente los valores de: $0.5\leq a<5$ ${\estilo de visualización b}$

Usos

Los órdenes de magnitud se utilizan para hacer comparaciones aproximadas. Si los números difieren en un orden de magnitud, x es aproximadamente diez veces diferente en cantidad que y . Si los valores difieren en dos órdenes de magnitud, difieren en un factor de aproximadamente 100. Dos números del mismo orden de magnitud tienen aproximadamente la misma escala: el valor mayor es menos de diez veces el valor menor. Las crecientes cantidades de datos de Internet han llevado a la adición de nuevos prefijos del SI a lo largo del tiempo, el más reciente en 2022. ^[6]

Cálculo del orden de magnitud por truncamiento

El orden de magnitud de un número es, intuitivamente hablando, el número de potencias de 10 contenidas en el número. Más precisamente, el orden de magnitud de un número se puede definir en términos del logaritmo común , generalmente como la parte entera del logaritmo, obtenida por truncamiento . ^{[ contradictorio ]} Por ejemplo, el número4 000 000 tiene un logaritmo (en base 10) de 6,602; su orden de magnitud es 6. Al truncarlo, un número de este orden de magnitud está entre 10 ⁶ y 10 ⁷ . En un ejemplo similar, con la frase "ingresos de siete cifras", el orden de magnitud es el número de cifras menos uno, por lo que se determina muy fácilmente sin una calculadora que es 6. Un orden de magnitud es una posición aproximada en una escala logarítmica .

Estimación del orden de magnitud

Una estimación de orden de magnitud de una variable, cuyo valor preciso se desconoce, es una estimación redondeada a la potencia de diez más cercana. Por ejemplo, una estimación de orden de magnitud para una variable entre aproximadamente 3 mil millones y 30 mil millones (como la población humana de la Tierra ) es 10 mil millones . Para redondear un número a su orden de magnitud más cercano, se redondea su logaritmo al entero más cercano. Por lo tanto4 000 000 , que tiene un logaritmo (en base 10) de 6,602, tiene 7 como su orden de magnitud más cercano, porque "más cercano" implica redondeo en lugar de truncamiento. Para un número escrito en notación científica, esta escala de redondeo logarítmico requiere redondear hacia arriba a la siguiente potencia de diez cuando el multiplicador es mayor que la raíz cuadrada de diez (aproximadamente 3,162). Por ejemplo, el orden de magnitud más cercano para1,7 × 10 ⁸ es 8, mientras que el orden de magnitud más cercano para3,7 × 10 ⁸ es 9. Una estimación de orden de magnitud a veces también se denomina aproximación de orden cero .

Órdenes de magnitud no decimales

Un orden de magnitud es una aproximación del logaritmo de un valor en relación con algún valor de referencia entendido contextualmente, generalmente 10, interpretado como la base del logaritmo y el representante de valores de magnitud uno. Las distribuciones logarítmicas son comunes en la naturaleza y considerar el orden de magnitud de los valores muestreados de dicha distribución puede ser más intuitivo. Cuando el valor de referencia es 10, el orden de magnitud puede entenderse como el número de dígitos menos uno en la representación en base 10 del valor. De manera similar, si el valor de referencia es una de algunas potencias de 2, ya que las computadoras almacenan datos en formato binario , la magnitud puede entenderse en términos de la cantidad de memoria de computadora necesaria para almacenar ese valor.

Órdenes de magnitud irracionales

Se pueden calcular otros órdenes de magnitud utilizando bases distintas de los números enteros. En el campo de la astronomía , los brillos nocturnos de los cuerpos celestes se clasifican por "magnitudes" en las que cada nivel creciente es más brillante en un factor mayor que el nivel anterior. Así, un nivel que es 5 magnitudes más brillante que otro indica que es un factor de veces más brillante: es decir, dos órdenes de magnitud en base 10. ${\sqrt[{5}]{100}}\aproximadamente 2,512$ $({\sqrt[{5}]{100}})^{5}=100$

Esta serie de magnitudes forma una escala logarítmica con base . ${\sqrt[{5}]{100}}$

Base 1.000.000 órdenes de magnitud

Los diferentes sistemas de numeración decimal del mundo utilizan una base mayor para visualizar mejor el tamaño del número y han creado nombres para las potencias de esta base mayor. La tabla muestra a qué número apunta el orden de magnitud para la base 10 y para la base1 000 000. Se puede ver que el orden de magnitud está incluido en el nombre del número en este ejemplo, porque bi- significa 2, tri- significa 3, etc. (estos tienen sentido solo en la escala larga), y el sufijo -illion indica que la base es1 000 000. Pero los nombres de los números mil millones, billones en sí mismos (aquí con un significado diferente al del primer capítulo) no son nombres de órdenes de magnitudes, son nombres de "magnitudes", es decir, números. 1 000 000 000 000 etc.

Las unidades del SI que aparecen en la tabla de la derecha se utilizan junto con los prefijos del SI , que se idearon teniendo en cuenta principalmente magnitudes de base 1000. Los prefijos estándar de la IEC con base 1024 se inventaron para su uso en tecnología electrónica.

Véase también

Referencias

^ "Orden de magnitud". Wolfram MathWorld . Consultado el 3 de agosto de 2024 . Se dice que dos cantidades A y B que están dentro de un factor de 10 entre sí son "del mismo orden de magnitud", escrito A∼B.
^ Brians, Paus. «Órdenes de magnitud». Archivado desde el original el 22 de agosto de 2018. Consultado el 9 de mayo de 2013 .
^ "Órdenes de magnitud". British Broadcasting Corporation . Consultado el 8 de agosto de 2024 .
^ "Orden de magnitud". Wolfram MathWorld . Consultado el 3 de enero de 2017 . Los físicos e ingenieros utilizan la frase "orden de magnitud" para referirse a la potencia más pequeña de diez necesaria para representar una cantidad.
^ Shaalaa.com. "Responde la siguiente pregunta. Describe qué se entiende por orden de magnitud. - Física | Shaalaa.com". www.shaalaa.com . Consultado el 4 de junio de 2023 .
^ Gibney, Elizabeth (2022). "¿Cuántos yottabytes hay en un quettabyte? Los números extremos reciben nuevos nombres". Nature . doi :10.1038/d41586-022-03747-9. PMID 36400954. S2CID 253671538 . Consultado el 20 de noviembre de 2022 .

Lectura adicional

Asimov, Isaac , La medida del universo (1983).

Enlaces externos

La escala del universo 2 Herramienta interactiva desde la longitud de Planck de 10 ⁻³⁵ metros hasta el tamaño del universo de 10 ²⁷
Cosmos: un viaje dimensional ilustrado desde el microcosmos al macrocosmos – de Digital Nature Agency
Potencias de 10, una ilustración gráfica animada que comienza con una vista de la Vía Láctea a 10 ²³ metros y termina con partículas subatómicas a 10 ⁻¹⁶ metros.
¿Qué es el orden de magnitud?