logaritmo común

función matemática

Una gráfica del logaritmo común de números del 0,1 al 100.

En matemáticas , el logaritmo común es el logaritmo de base 10. ^[1] También se le conoce como logaritmo decádico y como logaritmo decimal , llamado así por su base, o logaritmo de Briggs , en honor a Henry Briggs , matemático inglés que fue pionero en su uso. , así como el logaritmo estándar . Históricamente, se le conocía como logaritmo decimal ^[2] o logaritmo decadis . ^[3] Se indica mediante log( x ) , ^[4] log ₁₀ ( x ) , ^[5] o, a veces, Log( x ) con L mayúscula ; ^{[nota 1]} en las calculadoras , se imprime como "log", pero los matemáticos generalmente se refieren a logaritmo natural (logaritmo con base e ≈ 2,71828) en lugar de logaritmo común cuando escriben "log". Para mitigar esta ambigüedad, la especificación ISO 80000 recomienda que log ₁₀ ( x ) se escriba lg( x ) y log _e ( x ) se escriba ln( x ) .

Página de una tabla de logaritmos comunes. Esta página muestra los logaritmos de números del 1000 al 1509 con cinco decimales. La tabla completa cubre valores hasta 9999.

Antes de principios de la década de 1970, las calculadoras electrónicas portátiles no estaban disponibles y las calculadoras mecánicas capaces de multiplicar eran voluminosas, costosas y no estaban ampliamente disponibles. En cambio, se utilizaron tablas de logaritmos de base 10 en ciencia, ingeniería y navegación, cuando los cálculos requerían mayor precisión que la que se podía lograr con una regla de cálculo . Al convertir la multiplicación y la división en suma y resta, el uso de logaritmos evitó multiplicaciones y divisiones laboriosas y propensas a errores con papel y lápiz. ^[1] Debido a que los logaritmos eran tan útiles, en los apéndices de muchos libros de texto se incluyeron tablas de logaritmos de base 10. Los manuales de matemáticas y navegación también incluían tablas de logaritmos de funciones trigonométricas . ^[6] Para conocer el historial de dichas tablas, consulte la tabla de registro .

Mantisa y característica

Una propiedad importante de los logaritmos de base 10, que los hace tan útiles en los cálculos, es que los logaritmos de números mayores que 1 que difieren en un factor de una potencia de 10 tienen todos la misma parte fraccionaria. La parte fraccionaria se conoce como mantisa . ^{[nota 2]} Por lo tanto, las tablas de registro solo necesitan mostrar la parte fraccionaria. Las tablas de logaritmos comunes normalmente enumeran la mantisa, con cuatro o cinco decimales o más, de cada número en un rango, por ejemplo, de 1000 a 9999.

La parte entera, llamada característica , se puede calcular simplemente contando cuántos lugares se debe mover el punto decimal, de modo que quede justo a la derecha del primer dígito significativo. Por ejemplo, el logaritmo de 120 viene dado por el siguiente cálculo:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

El último número (0,07918), la parte fraccionaria o mantisa del logaritmo común de 120, se puede encontrar en la tabla que se muestra. La ubicación del punto decimal en 120 nos dice que la parte entera del logaritmo común de 120, la característica, es 2.

Logaritmos negativos

Los números positivos menores que 1 tienen logaritmos negativos. Por ejemplo,

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

Para evitar la necesidad de tablas separadas para convertir logaritmos positivos y negativos a sus números originales, se puede expresar un logaritmo negativo como una característica entera negativa más una mantisa positiva. Para facilitar esto, se utiliza una notación especial, llamada notación de barras :

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}$

La barra sobre la característica indica que es negativa, mientras que la mantisa sigue siendo positiva. Al leer un número en notación de compás en voz alta, el símbolo se lee como "barra n ", por lo que se lee como "barra 2 punto 07918...". Una convención alternativa es expresar el logaritmo módulo 10, en cuyo caso ${\displaystyle {\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,}$

con el valor real del resultado de un cálculo determinado por el conocimiento del rango razonable del resultado. ^{[nota 3]}

El siguiente ejemplo utiliza la notación de barras para calcular 0,012 × 0,85 = 0,0102:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* Este paso hace que la mantisa esté entre 0 y 1, de modo que se pueda buscar su antilogaritmo (10 ^{mantisa ).}

La siguiente tabla muestra cómo se puede utilizar la misma mantisa para un rango de números que difieren en potencias de diez:

Tenga en cuenta que la mantisa es común a todos los 5  ×  10 ⁱ . Esto es válido para cualquier número real  positivo porque ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

Como i es una constante, la mantisa proviene de , que es constante para dado . Esto permite que una tabla de logaritmos incluya solo una entrada para cada mantisa. En el ejemplo de 5  ×  10 ⁱ , 0,698 970 (004 336 018...) aparecerán una vez indexados por 5 (o 0,5, o 500, etc.). ${\displaystyle \log _{10}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Los números se colocan en escalas de reglas de cálculo a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Sumando mecánicamente la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se puede determinar rápidamente que 2  ×  3 = 6 .

Historia

Los logaritmos comunes a veces también se denominan "logaritmos de Briggs" en honor a Henry Briggs , un matemático británico del siglo XVII. En 1616 y 1617, Briggs visitó a John Napier en Edimburgo , el inventor de lo que ahora se llama logaritmos naturales (en base e ), para sugerir un cambio en los logaritmos de Napier. Durante estas conferencias se acordó la alteración propuesta por Briggs; y tras su regreso de su segunda visita, publicó la primera quilíada de sus logaritmos.

Debido a que los logaritmos de base 10 eran más útiles para los cálculos, los ingenieros generalmente escribían simplemente " log( x ) " cuando querían decir log ₁₀ ( x ) . Los matemáticos, por otro lado, escribieron " log( x ) " cuando querían decir log _e ( x ) para el logaritmo natural. Hoy en día se encuentran ambas notaciones. Dado que las calculadoras electrónicas de mano están diseñadas por ingenieros y no por matemáticos, se hizo habitual que siguieran la notación de los ingenieros. Así que la notación, según la cual se escribe " ln( x ) " cuando se trata del logaritmo natural, puede haber sido popularizada aún más por la misma invención que hizo que el uso de "logaritmos comunes" fuera mucho menos común: las calculadoras electrónicas.

Valor numérico

Las claves de logaritmo ( log para base 10 y ln para base e ) en una calculadora científica típica. La llegada de las calculadoras portátiles eliminó en gran medida el uso de logaritmos comunes como ayuda para el cálculo.

El valor numérico del logaritmo en base 10 se puede calcular con las siguientes identidades: ^[5]

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ o o ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$ ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

usando logaritmos de cualquier base disponible ${\displaystyle \,B~.}$

ya que existen procedimientos para determinar el valor numérico del logaritmo en base e (ver Logaritmo natural § Cálculo eficiente ) y logaritmo en base 2 (ver Algoritmos para calcular logaritmos binarios ).

Derivado

La derivada de un logaritmo de base b es tal que ^[7]

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$, entonces . ${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}}$

Ver también

• Logaritmo binario
• Cologaritmo
• Decibel
• Escala logarítmica
• logaritmo napieriano
• Significante (también comúnmente llamado mantisa)

Notas

1. La notación Log es ambigua, ya que también puede significar la función logarítmica natural compleja de múltiples valores .
2. Este uso de la palabra mantisa proviene de un significado más antiguo, no numérico: una adición o suplemento menor, por ejemplo, a un texto. Hoy en día, la palabra mantisa se utiliza generalmente para describir la parte fraccionaria de un número de punto flotante en las computadoras, aunque la recomendada ^{[ ¿por quién? ]} término es significativo .
3. Por ejemplo, Bessel, FW (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen". Astronomische Nachrichten . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1823 . Código Bib : 1825AN......4..241B. doi :10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.da (comienzo de la sección 8) , . Por el contexto, se entiende que , el radio menor del elipsoide terrestre en toise (un número grande), mientras que , la excentricidad del elipsoide terrestre (un número pequeño). ${\displaystyle \log b=6.51335464}$ ${\displaystyle \log e=8.9054355}$ ${\displaystyle b=10^{6.51335464}}$ ${\displaystyle e=10^{8.9054355-10}}$

Referencias

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Capítulo IV. Logaritmos [23] Logaritmos comunes". Trigonometría. vol. Parte I: Trigonometría plana. Nueva York: Henry Holt and Company . pag. 31.
2. Euler, Leonhard ; Speiser, Andreas ; du Pasquier, Luis Gustave; Brandt, Heinrich ; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas (ed.). Introductio in Analysin Infinitorum (Parte 2) . 1 (en latín). vol. 9. BG Teubner . {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
3. Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (en latín). vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. pag. 198.
4. "Introducción a los logaritmos". www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Logaritmo común". mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
6. Hedrick, Earle Raymond (1913). Tablas Logarítmicas y Trigonométricas. Nueva York, Estados Unidos: Macmillan .
7. "Derivadas de funciones logarítmicas". Matemáticas24 . 2021-04-14. Archivado desde el original el 1 de octubre de 2020.

Bibliografía

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Moser, Michael (2009). Ingeniería acústica: una introducción al control del ruido. Saltador. pag. 448.ISBN​ 978-3-540-92722-8.
• Poliyanin, Andréi Dmítrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [27 de noviembre de 2006]. Manual de matemáticas para ingenieros y científicos. Prensa CRC . pag. 9.ISBN​ 978-1-58488-502-3.