Función especial definida por una integral
Gráfica de la función integral logarítmica li(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1 En matemáticas , la función integral logarítmica o logaritmo integral li( x ) es una función especial . Es relevante en problemas de física y tiene importancia en la teoría de números . En particular, según el teorema de los números primos , es una muy buena aproximación a la función de conteo de primos , que se define como el número de números primos menores o iguales a un valor dado . X {\displaystyle x}
Gráfico de función integral logarítmica Representación integral La integral logarítmica tiene una representación integral definida para todos los números reales positivos x ≠ 1 por la integral definida
li ( X ) = ∫ 0 X d t en t . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.} Aquí, ln denota el logaritmo natural . La función 1/(ln t ) tiene una singularidad en t = 1 , y la integral para x > 1 se interpreta como un valor principal de Cauchy ,
li ( X ) = Lim ε → 0 + ( ∫ 0 1 − ε d t en t + ∫ 1 + ε X d t en t ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t} }+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).} Integral logarítmica compensada La integral logarítmica compensada o integral logarítmica euleriana se define como
li ( X ) = ∫ 2 X d t en t = li ( X ) − li ( 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} ( 2).} Como tal, la representación integral tiene la ventaja de evitar la singularidad en el dominio de la integración.
De manera equivalente,
li ( X ) = ∫ 0 X d t en t = li ( X ) + li ( 2 ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} ( 2).} Valores especiales La función li( x ) tiene un único cero positivo; ocurre en x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 ; este número se conoce como constante de Ramanujan-Soldner .
li ( li − 1 ( 0 ) ) = li ( 2 ) {\displaystyle {\text{li}}({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)} ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284
Aquí es donde está la función gamma incompleta . Debe entenderse como el valor principal de Cauchy de la función. − ( Γ ( 0 , − en 2 ) + i π ) {\displaystyle -(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )} Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}
Representación en serie La función li( x ) está relacionada con la integral exponencial Ei( x ) mediante la ecuación
li ( x ) = Ei ( ln x ) , {\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!} que es válido para x > 0. Esta identidad proporciona una representación en serie de li( x ) como
li ( e u ) = Ei ( u ) = γ + ln | u | + ∑ n = 1 ∞ u n n ⋅ n ! for u ≠ 0 , {\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,} donde γ ≈ 0,57721 56649 01532... OEIS : A001620 es la constante de Euler-Mascheroni . Una serie más rápidamente convergente de Ramanujan [1] es
li ( x ) = γ + ln ln x + x ∑ n = 1 ∞ ( ( − 1 ) n − 1 ( ln x ) n n ! 2 n − 1 ∑ k = 0 ⌊ ( n − 1 ) / 2 ⌋ 1 2 k + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).} Expansión asintótica El comportamiento asintótico para x → ∞ es
li ( x ) = O ( x ln x ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).} ¿Dónde está la notación O grande ? La expansión asintótica completa es O {\displaystyle O}
li ( x ) ∼ x ln x ∑ k = 0 ∞ k ! ( ln x ) k {\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}} o
li ( x ) x / ln x ∼ 1 + 1 ln x + 2 ( ln x ) 2 + 6 ( ln x ) 3 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .} Esto da el siguiente comportamiento asintótico más preciso:
li ( x ) − x ln x = O ( x ( ln x ) 2 ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).} Como expansión asintótica, esta serie no es convergente : es una aproximación razonable sólo si la serie se trunca en un número finito de términos y sólo se emplean valores grandes de x . Esta expansión se deriva directamente de la expansión asintótica de la integral exponencial .
Esto implica, por ejemplo, que podemos poner entre corchetes li como:
1 + 1 ln x < li ( x ) ln x x < 1 + 1 ln x + 3 ( ln x ) 2 {\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}} para todos . ln x ≥ 11 {\displaystyle \ln x\geq 11}
Importancia teórica de números La integral logarítmica es importante en teoría de números , apareciendo en estimaciones del número de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primos establece que:
π ( x ) ∼ li ( x ) {\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)} donde denota el número de números primos menores o iguales a . π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} x {\displaystyle x}
Asumiendo la hipótesis de Riemann , obtenemos una aún más fuerte: [2]
| li ( x ) − π ( x ) | = O ( x log x ) {\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)} De hecho, la hipótesis de Riemann equivale a la afirmación de que:
| li ( x ) − π ( x ) | = O ( x 1 / 2 + a ) {\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})} para cualquier . a > 0 {\displaystyle a>0} Para pequeño , pero la diferencia cambia de signo un número infinito de veces a medida que aumenta, y la primera vez que esto sucede es entre 10 19 y 1,4×10 316 . x {\displaystyle x} li ( x ) > π ( x ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)} x {\displaystyle x}
Ver también Referencias Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 5". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 228.ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.Temme, NM (2010), "Integrales exponenciales, logarítmicas, seno y coseno", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , señor 2723248 .