Categoría accesible

La teoría de categorías accesibles es una parte de las matemáticas , específicamente de la teoría de categorías . Intenta describir las categorías en términos del "tamaño" (un número cardinal ) de las operaciones necesarias para generar sus objetos.

La teoría se origina en el trabajo de Grothendieck completado en 1969, ^[1] y Gabriel y Ulmer (1971). ^[2] Ha sido desarrollada en 1989 por Michael Makkai y Robert Paré, con la motivación proveniente de la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática . ^[3] Un libro de texto estándar de Adámek y Rosický apareció en 1994. ^[4] Las categorías accesibles también tienen aplicaciones en la teoría de la homotopía . ^{[5] [6]} Grothendieck continuó el desarrollo de la teoría para propósitos de teoría de la homotopía en su manuscrito de 1991 (aún parcialmente inédito) Les dérivateurs . ^[7] Algunas propiedades de las categorías accesibles dependen del universo de conjuntos en uso, particularmente de las propiedades cardinales y del principio de Vopěnka . ^[8]

k-colimites dirigidos yk-objetos presentables

Sea un cardinal regular infinito , es decir, un número cardinal que no es la suma de un número menor de cardinales menores; ejemplos son ( aleph-0 ), el primer número cardinal infinito, y , el primer cardinal incontable). Un conjunto parcialmente ordenado se llama -dirigido si cada subconjunto de de cardinalidad menor que tiene un límite superior en . En particular, los conjuntos dirigidos ordinarios son precisamente los conjuntos -dirigidos. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ahora sea una categoría . Un límite directo (también conocido como colimite dirigido) sobre un conjunto -dirigido se llama colimite -dirigido . Un objeto de se llama -presentable si el funtor Hom preserva todos los colimites -dirigidos en . Está claro que cada objeto -presentable también es -presentable siempre que , ya que cada colimite -dirigido es también un colimite -dirigido en ese caso. Un objeto -presentable se llama finitamente presentable . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ejemplos

• En la categoría Conjunto de todos los conjuntos, los objetos finitamente presentables coinciden con los conjuntos finitos. Los objetos -presentables son los conjuntos de cardinalidad menor que . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• En la categoría de todos los grupos , un objeto es finitamente presentable si y solo si es un grupo finitamente presentado , es decir, si tiene una presentación con un número finito de generadores y un número finito de relaciones. Para los regulares incontables , los objetos -presentables son precisamente los grupos con cardinalidad menor que . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• En la categoría de módulos izquierdos sobre algún ${\displaystyle R}$anillo (unitario, asociativo) , los objetos finitamente presentables son precisamente los módulos finitamente presentados . ${\displaystyle R}$

k-categorías accesibles y presentables localmente

La categoría se denomina -accesible siempre que: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$

• ${\displaystyle C}$tiene todos los límites dirigidos ${\displaystyle \kappa }$
• ${\displaystyle C}$contiene un conjunto de objetos -presentables tales que cada objeto de es un colimite -dirigido de objetos de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle P}$

Una categoría -accesible se denomina finitamente accesible . Una categoría se denomina accesible si es -accesible para algún cardinal regular infinito . Cuando una categoría accesible también es cocompleta , se denomina localmente presentable . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Un funtor entre categorías -accesibles se llama -accesible siempre que preserve los colimites -dirigidos. ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \kappa }$

Ejemplos

• La categoría Conjunto de todos los conjuntos y funciones es localmente finitamente presentable, ya que cada conjunto es el límite directo de sus subconjuntos finitos, y los conjuntos finitos son finitamente presentables.
• La categoría -Mod de (izquierda) -módulos es localmente finitamente presentable para cualquier anillo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• La categoría de conjuntos simpliciales es finitamente accesible.
• La categoría Mod(T) de modelos de alguna teoría de primer orden T con firma contable es -accesible. Los objetos -presentables son modelos con un número contable de elementos. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$
• Otros ejemplos de categorías localmente presentables son las categorías algebraicas finitarias (es decir, las categorías correspondientes a variedades de álgebras en el álgebra universal ) y las categorías de Grothendieck .

Teoremas

Se puede demostrar que cada categoría localmente presentable también es completa . ^[9] Además, una categoría es localmente presentable si y sólo si es equivalente a la categoría de modelos de un boceto límite . ^[10]

Los funtores adjuntos entre categorías localmente presentables tienen una caracterización particularmente simple. Un funtor entre categorías localmente presentables: ${\displaystyle F:C\to D}$

• es un adjunto izquierdo si y sólo si conserva colímites pequeños,
• es un adjunto derecho si y sólo si conserva límites pequeños y es accesible.

Notas

1. Grothendieck, Alejandro; et al. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas , Lecture Notes in Mathematics 269, Springer
2. Gabriel, P; Ulmer, F (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien , Lecture Notes in Mathematics 221, Springer
3. Makkai, Michael; Paré, Robert (1989), Categorías accesibles: el fundamento de la teoría de modelos categóricos , Matemáticas contemporáneas, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
4. Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (10 de marzo de 1994). Categorías localmente presentables y accesibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511600579. ISBN 978-0-521-42261-1.
5. J. Rosický "Sobre categorías de modelos combinatorios", arXiv , 16 de agosto de 2007. Recuperado el 19 de enero de 2008.
6. Rosický, J. "Inyectividad y categorías accesibles". Cubo Matem. Educación 4 (2002): 201-211.
7. Grothendieck, Alexander (1991), Los derivadores , Matemáticas contemporáneas, manuscrito(Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis)
8. Adamek/Rosický 1994, capítulo 6
9. Adamek/Rosický 1994, observación 1,56
10. Adamek/Rosický 1994, corolario 1,52

Referencias

Adámek, J.; Rosický, J. (10 de marzo de 1994). Categorías localmente presentables y accesibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511600579. ISBN 978-0-521-42261-1.