Limitador de flujo

Los limitadores de flujo se utilizan en esquemas de alta resolución : esquemas numéricos utilizados para resolver problemas en ciencia e ingeniería, particularmente dinámica de fluidos , descritos por ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Se utilizan en esquemas de alta resolución, como el esquema MUSCL , para evitar las oscilaciones espurias (meneos) que de otro modo ocurrirían con esquemas de discretización espacial de alto orden debido a choques, discontinuidades o cambios bruscos en el dominio de la solución. El uso de limitadores de flujo, junto con un esquema de alta resolución apropiado, hace que las soluciones sean de variación total decreciente (TVD).

Tenga en cuenta que los limitadores de flujo también se conocen como limitadores de pendiente porque ambos tienen la misma forma matemática y ambos tienen el efecto de limitar el gradiente de la solución cerca de choques o discontinuidades. En general, el término limitador de flujo se utiliza cuando el limitador actúa sobre los flujos del sistema y limitador de pendiente se utiliza cuando el limitador actúa sobre los estados del sistema (como presión, velocidad, etc.).

Cómo funcionan

La idea principal detrás de la construcción de esquemas limitadores de flujo es limitar las derivadas espaciales a valores realistas; para problemas científicos y de ingeniería, esto generalmente significa valores físicamente realizables y significativos. Se utilizan en esquemas de alta resolución para resolver problemas descritos por ecuaciones diferenciales parciales y solo entran en funcionamiento cuando hay frentes de onda agudos. Para ondas que cambian suavemente, los limitadores de flujo no funcionan y las derivadas espaciales se pueden representar mediante aproximaciones de orden superior sin introducir oscilaciones espurias. Considere el esquema semidiscreto 1D a continuación:

${\displaystyle {\frac {du_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)-F\left(u_{i-{1}/{2}}\right)\right]=0,}$

donde, y representan flujos de borde para la celda i -ésima. Si estos flujos de borde se pueden representar mediante esquemas de baja y alta resolución, entonces un limitador de flujo puede cambiar entre estos esquemas dependiendo de los gradientes cercanos a la celda en particular, de la siguiente manera: ${\displaystyle F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)}$ ${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)}$

$${\displaystyle F\left(u_{i+1/2}\right)=f_{i+1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i}\right)\left(f_{i+1/2}^{\text{low}}-f_{i+1/2}^{\text{high}}\right),}$$ $${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)=f_{i-1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i-1}\right)\left(f_{i-1/2}^{\text{low}}-f_{i-1/2}^{\text{high}}\right),}$$

dónde

• ${\displaystyle f^{\text{low}}}$es el flujo de baja resolución,
• ${\displaystyle f^{\text{high}}}$es el flujo de alta resolución,
• ${\displaystyle \phi \ (r)}$es la función limitadora de flujo, y
• ${\displaystyle r}$representa la relación de gradientes sucesivos en la malla de solución, es decir, $${\displaystyle r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.}$$

La función limitadora está restringida a ser mayor o igual a cero, es decir, . Por lo tanto, cuando el limitador es igual a cero (gradiente pronunciado, pendientes opuestas o gradiente cero), el flujo se representa mediante un esquema de baja resolución . De manera similar, cuando el limitador es igual a 1 (solución suave), se representa mediante un esquema de alta resolución . Los diversos limitadores tienen diferentes características de conmutación y se seleccionan de acuerdo con el problema particular y el esquema de solución. No se ha encontrado ningún limitador en particular que funcione bien para todos los problemas, y una elección particular generalmente se hace sobre la base de prueba y error. ${\displaystyle \phi \ (r)\geq 0}$

Funciones del limitador

Las siguientes son formas comunes de función limitadora de flujo/pendiente : ${\displaystyle \phi (r)}$

• CHARM [no TVD de 2do orden] ^[1] $${\displaystyle \phi _{cm}(r)={\begin{cases}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}},&r>0,&\lim _{r\to \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,&r\leq 0\end{cases}}}$$
• HCUS [no TVD de segundo orden] ^[2] $${\displaystyle \phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+2\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hc}(r)=3.}$$
• HQUICK [no TVD de segundo orden] ^[2] $${\displaystyle \phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+3\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hq}(r)=4.}$$
• Koren ^[3] – precisión de tercer orden para datos suficientemente uniformes ^[4] $${\displaystyle \phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\min \left({\dfrac {(1+2r)}{3}},2\right)\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{kn}(r)=2.}$$
• minmod – simétrico ^[5] $${\displaystyle \phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mm}(r)=1.}$$
• central monotonizada (MC) – simétrica ^[6] $${\displaystyle \phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mc}(r)=2.}$$
• Osher ^[7] $${\displaystyle \phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{os}(r)=\beta .}$$
• Ospre – simétrico ^[2] $${\displaystyle \phi _{op}(r)={\frac {1.5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^{2}+r+1\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{op}(r)=1.5\,.}$$
• inteligente [no TVD de segundo orden] ^[8] $${\displaystyle \phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),4\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sm}(r)=4.}$$
• superbee – simétrico ^[5] $${\displaystyle \phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r,2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sb}(r)=2.}$$
• Sweby – simétrico ^[9] $${\displaystyle \phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sw}(r)=\beta .}$$
• UMIST – simétrico ^[10] $${\displaystyle \phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),\left(0.75+0.25r\right),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{um}(r)=2.}$$
• van Albada 1 – simétrico ^[11] $${\displaystyle \phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va1}(r)=1.}$$
• van Albada 2 – forma alternativa [no TVD de segundo orden] utilizada en esquemas de alto orden espacial ^[12] $${\displaystyle \phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va2}(r)=0.}$$
• van Leer – simétrico ^[13] $${\displaystyle \phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{vl}(r)=2.}$$
• Todos los limitadores anteriores indicados como simétricos , exhiben la siguiente propiedad de simetría, $${\displaystyle {\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right).}$$

Esta es una propiedad deseable ya que garantiza que las acciones limitantes para gradientes hacia adelante y hacia atrás funcionen de la misma manera.

Región limitadora admisible para esquemas TVD de segundo orden.

A menos que se indique lo contrario, las funciones limitadoras anteriores son TVD de segundo orden . Esto significa que están diseñadas de manera que pasan por una determinada región de la solución, conocida como región TVD, para garantizar la estabilidad del esquema. Los limitadores TVD de segundo orden satisfacen al menos los siguientes criterios:

• ${\displaystyle r\leq \phi (r)\leq 2r,\left(0\leq r\leq 1\right)\ }$,
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq r,\left(1\leq r\leq 2\right)\ }$,
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq 2,\left(r>2\right)\ }$,
• ${\displaystyle \phi (1)=1\ }$,

La región limitadora admisible para esquemas TVD de segundo orden se muestra en el diagrama de Sweby opuesto, ^[9] y los gráficos que muestran las funciones limitadoras superpuestas sobre la región TVD se muestran a continuación. En esta imagen, los gráficos para los limitadores de Osher y Sweby se han generado utilizando . ${\displaystyle \beta =1.5}$

Funciones limitadoras superpuestas en la región TVD de segundo orden.

Limitador minmod generalizado

Un limitador adicional que tiene una forma interesante es la familia de limitadores minmod de un parámetro de van-Leer. ^{[14] [15] [16]} Se define de la siguiente manera $${\displaystyle \phi _{mg}(r,\theta )=\max \left(0,\min \left(\theta r,{\frac {1+r}{2}},\theta \right)\right),\quad \theta \in \left[1,2\right].}$$

Nota: es más disipativo cuando se reduce a y es menos disipativo cuando se reduce a . ${\displaystyle \phi _{mg}}$ ${\displaystyle \theta =1,}$ ${\displaystyle \phi _{mm},}$ ${\displaystyle \theta =2}$

Véase también

• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• Esquema MUSCL
• Serguéi K. Godunov
• Variación total decreciente

Notas

1. Zhou, G. (1995), Simulaciones numéricas de discontinuidades físicas en flujos de uno o varios fluidos para números de Mach arbitrarios (Tesis doctoral), Gotemburgo, Suecia: Chalmers Univ. of Tech.
2. Waterson, NP; Deconinck, H. (1995), Un enfoque unificado para el diseño y la aplicación de esquemas de convección de orden superior acotados ( VKI Preprint 1995-21)
3. Koren, B. (1993), "Un método robusto de discretización en contra del viento para términos de advección, difusión y fuente", en Vreugdenhil, CB; Koren, B. (eds.), Métodos numéricos para problemas de advección-difusión , Braunschweig: Vieweg, pág. 117, ISBN 3-528-07645-3
4. Kuzmin, D. (2006), "Sobre el diseño de limitadores de flujo de propósito general para FEM implícito con una matriz de masa consistente. I. Convección escalar", Journal of Computational Physics , 219 (2): 513–531, Bibcode :2006JCoPh.219..513K, doi :10.1016/j.jcp.2006.03.034
5. Roe, PL (1986), "Esquemas basados ​​en características para las ecuaciones de Euler", Annu. Rev. Fluid Mech. , 18 : 337–365, Bibcode :1986AnRFM..18..337R, doi :10.1146/annurev.fl.18.010186.002005
6. van Leer, B. (1977), "Hacia el esquema de diferencias conservativas definitivo III. Esquemas de diferencias finitas centrados en la corriente ascendente para flujo compresible ideal", J. Comput. Phys. , 23 (3): 263–275, Bibcode :1977JCoPh..23..263V, doi :10.1016/0021-9991(77)90094-8
7. Chakravarthy, SR; Osher, S. (1983), "Aplicaciones de alta resolución del esquema de Osher en contra del viento para las ecuaciones de Euler", Proc. AIAA 6th Computational Fluid Dynamics Conference, págs. 363–373, AIAA Paper 83-1943, archivado desde el original el 2011-05-17 , consultado el 2008-03-31
8. Gaskell, PH; Lau, AKC (1988), "Transporte convectivo compensado por curvatura: SMART, un nuevo algoritmo de transporte que preserva la acotación", Int. J. Num. Meth. Fluids , 8 (6): 617–641, Bibcode :1988IJNMF...8..617G, doi :10.1002/fld.1650080602
9. Sweby, PK (1984), "Esquemas de alta resolución que utilizan limitadores de flujo para leyes de conservación hiperbólicas", SIAM J. Numer. Anal. , 21 (5): 995–1011, Bibcode :1984SJNA...21..995S, doi :10.1137/0721062
10. Lien, FS; Leschziner, MA (1994), "Interpolación monótona ascendente para transporte escalar con aplicación a flujos turbulentos complejos", Int. J. Num. Meth. Fluids , 19 (6): 527–548, Bibcode :1994IJNMF..19..527L, doi :10.1002/fld.1650190606
11. Van Albada, GD; Van Leer, B .; Roberts, WW (1982), "Un estudio comparativo de métodos computacionales en dinámica de gases cósmicos", Astronomy and Astrophysics , 108 (1): 76–84, Bibcode :1982A&A...108...76V
12. Kermani, MJ; Gerber, AG; Stockie, JM (2003), "Predicción de humedad basada en termodinámica utilizando el esquema de Roe", 4.ª Conferencia de la Sociedad Aeroespacial Iraní , Universidad de Tecnología Amir Kabir, Teherán, Irán, 27-29 de enero{{citation}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)
13. van Leer, B. (1974), "Hacia el esquema de diferencias conservativo definitivo II. Monotonía y conservación combinadas en un esquema de segundo orden", J. Comput. Phys. , 14 (4): 361–370, Bibcode :1974JCoPh..14..361V, doi :10.1016/0021-9991(74)90019-9
14. Van Leer, B. (1979), "Hacia el esquema de diferencias conservador último V. Una secuela de segundo orden del método de Godunov", J. Comput. Phys. , 32 (1): 101–136, Bibcode :1979JCoPh..32..101V, doi :10.1016/0021-9991(79)90145-1
15. Harten, A.; Osher, S. (1987), "Esquemas no oscilatorios precisos y de orden alto uniforme. I", SIAM J. Numer. Anal. , 24 (2): 279–309, Bibcode :1987SJNA...24..279H, doi :10.1137/0724022, S2CID  15957238, archivado desde el original el 23 de septiembre de 2017
16. Kurganov, A.; Tadmor, E. (2000), Solución de problemas de Riemann bidimensionales para dinámica de gases sin solucionadores de problemas de Riemann , Informe del Departamento de Matemáticas, Universidad de MichiganDisponible en línea en: CiteSeer.

Referencias

• Hirsch, C. (1990), Cálculo numérico de flujos internos y externos, volumen 2: métodos computacionales para flujos no viscosos y viscosos , Wiley, ISBN 978-0-471-92452-4
• Leonard, BP; Leschziner, MA; McGuirk, J. (1978), "El algoritmo QUICK: un método de diferencia finita de tercer orden uniforme para flujos altamente convectivos", Proc. 1st Conf. on Numerical Methods in Laminar & Turbulent Flow , Swansea, pág. 807{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Lectura adicional

• Laney, Culbert B. (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57069-5
• LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para leyes de conservación , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag, ISBN 3-7643-2464-3
• LeVeque, Randall (2002), Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00924-3
• Toro, EF (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-65966-8
• Tannehill, John C.; Anderson, Dale Arden; Pletcher, Richard H. (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2.ª ed.), Taylor and Francis, ISBN 1-56032-046-X
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de la dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag, ISBN 3-540-67853-0