Trisectriz de Limaçon

Curva del plano cuártico

La trisectriz de Limaçon se especifica como la ecuación polar donde a > 0 . Cuando a < 0 , la curva resultante es la reflexión de esta curva con respecto a la línea . Como función, r tiene un período de 2π . Los bucles interno y externo de la curva se cortan en el polo. ${\displaystyle r=a(1+2\cos \theta ),}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2.}$

En geometría , una trisectriz de limaçon es el nombre de la curva plana cuártica que es una trisectriz que se especifica como una limaçon . La forma de la trisectriz de limaçon puede especificarse por otras curvas, particularmente como una rosa , concoide o epitrocoide . ^[1] La curva es una entre una serie de trisectriz de curvas planas que incluyen la concoide de Nicomedes, ^[2] la cicloide de Ceva , ^[3] la cuadratriz de Hipias , la trisectriz de Maclaurin y la cúbica de Tschirnhausen . La trisectriz de limaçon es un caso especial de una sectrix de Maclaurin .

Especificación y estructura del bucle

La trisectriz de Limaçon especificada como ecuación polar es

${\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}$. ^[4]

La constante puede ser positiva o negativa. Las dos curvas con constantes y son reflejos entre sí a lo largo de la línea . El período de se da como el período de la sinusoide . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

La trisectriz de limazón está formada por dos bucles.

• El bucle exterior se define cuando se encuentra en el intervalo de ángulo polar y es simétrico respecto del eje polar. El punto más alejado del polo en el bucle exterior tiene las coordenadas . ${\displaystyle 1+2\cos \theta \geq 0}$ ${\displaystyle -2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3}$ ${\displaystyle (3a,0)}$
• El bucle interior se define cuando se encuentra en el intervalo de ángulo polar y es simétrico respecto del eje polar. El punto más alejado del polo en el bucle interior tiene las coordenadas y, en el eje polar, se encuentra a un tercio de la distancia desde el polo en comparación con el punto más alejado del bucle exterior. ${\displaystyle 1+2\cos \theta \leq 0}$ ${\displaystyle 2\pi /3\leq \theta \leq 4\pi /3}$ ${\displaystyle (a,0)}$
• Los bucles exterior e interior se cruzan en el polo.

La curva se puede especificar en coordenadas cartesianas como

${\displaystyle a^{2}(x^{2}+y^{2})=(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}}$,

y ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=(a+2a\cos \theta )\cos \theta =a(1+\cos \theta +\cos(2\theta ))}$,

${\displaystyle y=(a+2a\cos \theta )\sin \theta =a(\sin \theta +\sin(2\theta ))}$.

Relación conrosacurvas

En coordenadas polares, la forma de es la misma que la de la rosa . Los puntos correspondientes de la rosa están a una distancia a la izquierda de los puntos del limaçon cuando , y a la derecha cuando . Como rosa, la curva tiene la estructura de un solo pétalo con dos bucles que está inscrito en el círculo y es simétrico respecto del eje polar. ${\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}$ ${\displaystyle r=2a\cos(\theta /3)}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle r=2a}$

La inversa de esta rosa es una trisectriz ya que la inversa tiene la misma forma que la trisectriz de Maclaurin .

Relación con la sectriz de Maclaurin

Véase el artículo Sectrix de Maclaurin sobre el limaçon como un ejemplo de sectrix.

Propiedades de trisección

Los bucles externos e internos de la trisectriz de Limaçon tienen propiedades de trisección de ángulos. En teoría, un ángulo puede trisectarse utilizando un método con cualquiera de las dos propiedades, aunque consideraciones prácticas pueden limitar su uso.

Propiedad de la trisectriz del bucle externo

Propiedad de trisección de ángulos del bucle exterior (verde) de la trisectriz de Limaçon . Se requiere el círculo generador (azul) para demostrar la trisección de . La construcción (roja) da como resultado dos ángulos, y , que tienen una tercera parte de la medida de ; y un ángulo, , que tiene dos terceras partes de la medida de . ${\displaystyle r=1+2\cos \theta }$ ${\displaystyle r=2\cos \theta }$ ${\displaystyle \angle {PMB}}$ ${\displaystyle \angle {QMP}}$ ${\displaystyle \angle {QPM}}$ ${\displaystyle \angle {PMB}}$ ${\displaystyle \angle {PAB}}$ ${\displaystyle \angle {PMB}}$

La construcción del bucle exterior de revela sus propiedades de trisección de ángulos. ^[5] El bucle exterior existe en el intervalo . Aquí, examinamos la propiedad de trisección de la porción del bucle exterior por encima del eje polar, es decir, definida en el intervalo . ${\displaystyle r=1+2\cos \theta }$ ${\displaystyle -2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi /3}$

• En primer lugar, tenga en cuenta que la ecuación polar es un círculo con radio , centro en el eje polar y tiene un diámetro que es tangente a la línea en el polo . Denote el diámetro que contiene el polo como , donde está en . ${\displaystyle r=2\cos \theta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M(1,0)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (2,0)}$

• En segundo lugar, considere cualquier cuerda del círculo con el ángulo polar . Como es un triángulo rectángulo, . El punto correspondiente en el bucle exterior tiene coordenadas , donde . ${\displaystyle {\overline {AQ}}}$ ${\displaystyle \theta =\alpha }$ ${\displaystyle \triangle {AQB}}$ ${\displaystyle AQ=2\cos \alpha }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (AQ+1,\alpha )}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq \pi }$

Dada esta construcción, se demuestra que y otros dos ángulos se trisecan de la siguiente manera: ${\displaystyle \angle {QMP}}$ ${\displaystyle \angle {PMB}}$

• ${\displaystyle m\angle {QMB}=2\alpha }$, ya que es el ángulo central del círculo . ${\displaystyle {\widehat {QB}}}$ ${\displaystyle r=2\cos \theta }$

• Los ángulos de la base del triángulo isósceles miden , específicamente, . ${\displaystyle \triangle {AMQ}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m\angle {QAB}=m\angle {AQM}=\alpha }$

• El ángulo del vértice de un triángulo isósceles es suplementario a , por lo que . En consecuencia, los ángulos de la base, y miden . ${\displaystyle \triangle {PQM}}$ ${\displaystyle \angle {AQM}}$ ${\displaystyle m\angle {PQM}=\pi -\alpha }$ ${\displaystyle \angle {QMP}}$ ${\displaystyle \angle {QPM}}$ ${\displaystyle \alpha /2}$

• ${\displaystyle m\angle {PMB}=m\angle {QMB}-m\angle {QMP}=2\alpha -\alpha /2=3\alpha /2}$. Por lo tanto se triseca, ya que . ${\displaystyle \angle {PMB}}$ ${\displaystyle m\angle {QMP}/m\angle {PMB}=1/3}$

• Téngase en cuenta que también , y . ${\displaystyle m\angle {QPM}/m\angle {QMB}=1/3}$ ${\displaystyle m\angle {PAB}/m\angle {QMB}=2/3}$

La mitad superior del bucle exterior puede trisecar cualquier ángulo central porque implica que está en el dominio del bucle exterior. ${\displaystyle r=2\cos \theta }$ ${\displaystyle 0<3\alpha /2<\pi }$ ${\displaystyle 0<\alpha <2\pi /3}$

Propiedad de la trisectriz del bucle interno

Propiedad de trisección angular del bucle interior (verde) de la trisectriz de Limaçon . Dado un punto en el círculo unitario (azul) centrado en el polo con en , donde (en rojo) interseca el bucle interior en , triseca . La línea normal (negra) a es , por lo que es en . El bucle interior se redefine en el intervalo como porque su rango nativo es mayor que donde sus coordenadas radiales no son positivas. ${\displaystyle r=1+2\cos \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \angle {PAM}}$ ${\displaystyle \angle {CAM}}$ ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CM}}}$ ${\displaystyle \theta =\phi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (1,2\phi )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /3}$ ${\displaystyle r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))}$ ${\displaystyle \pi }$

El bucle interior de la trisectriz de limaçon tiene la propiedad deseable de que la trisección de un ángulo es interna al ángulo que se está triseccionando. ^[6] Aquí, examinamos el bucle interior de que se encuentra por encima del eje polar, que se define en el intervalo del ángulo polar . La propiedad de trisección es que dado un ángulo central que incluye un punto que se encuentra en el círculo unitario con centro en el polo, , tiene una medida tres veces la medida del ángulo polar del punto en la intersección de la cuerda y el bucle interior, donde está en . ${\displaystyle r=1+2\cos \theta }$ ${\displaystyle \pi \leq \theta \leq 4\pi /3}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (1,0)}$

En coordenadas cartesianas la ecuación de es , donde , que es la ecuación polar ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CM}}}$ ${\displaystyle y=k(x-1)}$ ${\displaystyle k<0}$

${\displaystyle r={\frac {-k}{\sin \theta -k\cos \theta }}={\frac {-k}{\cos(\theta -\phi )}}=-k\sec(\theta -\phi )}$, donde y . ${\displaystyle \tan \phi ={\frac {1}{-k}}}$ ${\displaystyle \phi =atan2(1,-k)}$

(Nota: atan2 (y,x) da el ángulo polar del punto de coordenadas cartesianas (x,y).)

Como la línea normal a es , biseca el vértice del triángulo isósceles , por lo que y las coordenadas polares de son . ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CM}}}$ ${\displaystyle \theta =\phi }$ ${\displaystyle \triangle {CAM}}$ ${\displaystyle m\angle {CAM}=2\phi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (1,2\phi )}$

Con respecto al limaçon, el rango de ángulos polares que define el bucle interno es problemático porque el rango de ángulos polares sujetos a trisección cae en el rango . Además, en su dominio nativo, las coordenadas radiales del bucle interno no son positivas. El bucle interno se vuelve a definir de manera equivalente dentro del rango de ángulos polares de interés y con coordenadas radiales no negativas como , donde . Por lo tanto, la coordenada polar de está determinada por ${\displaystyle \pi \leq \theta \leq 4\pi /3}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))=-(1-2\cos \theta )}$ ${\displaystyle -\cos(\theta +\pi )=\cos \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle -(1-2\cos \alpha )={\frac {-k}{\sin \alpha -k\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \rightarrow (\sin \alpha -k\cos \alpha )-2\cos \alpha \sin \alpha +2k\cos ^{2}\alpha =k}$

${\displaystyle \rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+2k({\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}})=k}$

${\displaystyle \rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+k\cos(2\alpha )=0}$

${\displaystyle \rightarrow \cos(\alpha -\phi )=\cos(2\alpha -\phi )}$.

La última ecuación tiene dos soluciones, la primera es: , lo que da como resultado , el eje polar, una línea que interseca ambas curvas pero no en el círculo unitario. ${\displaystyle \alpha -\phi =2\alpha -\phi }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle C}$

La segunda solución se basa en la identidad que se expresa como ${\displaystyle \cos(x)=\cos(-x)}$

${\displaystyle \alpha -\phi =\phi -2\alpha }$, lo que implica , ${\displaystyle 2\phi =3\alpha }$

y muestra que demostrando que el ángulo mayor ha sido trisecado. ${\displaystyle m\angle {CAM}=3(m\angle {PAM})}$

La mitad superior del bucle interno puede trisecar cualquier ángulo central porque implica que está en el dominio del bucle redefinido. ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle 0<3\alpha <\pi }$ ${\displaystyle 0<\alpha <\pi /3}$

Propiedad de trisección de segmento de línea

La trisectriz de limazón triseca el segmento de línea en el eje polar que sirve como su eje de simetría. Como el bucle exterior se extiende hasta el punto y el bucle interior hasta el punto , la limazón triseca el segmento con puntos finales en el polo (donde se intersecan los dos bucles) y el punto , donde la longitud total de es tres veces la longitud que va desde el polo hasta el otro extremo del bucle interior a lo largo del segmento. ${\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}$ ${\displaystyle (3a,0)}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (3a,0)}$ ${\displaystyle 3a}$

Relación con la hipérbola trisectriz

Dada la trisectriz de Limaçon , la inversa es la ecuación polar de una hipérbola con excentricidad igual a 2, una curva que es una trisectriz. (Véase Hipérbola - trisección de ángulos .) ${\displaystyle r=1+2\cos \theta }$ ${\displaystyle r^{-1}}$

Referencias

1. Xah Lee. "Trisectrix" . Consultado el 20 de febrero de 2021 .
2. Oliver Knill. "Chonchoid of Nicomedes". Proyecto del Programa de Investigación de la Universidad de Harvard 2008. Consultado el 20 de febrero de 2021 .
3. Weisstein, Eric W. "Cicloide de Ceva". MathWorld .
4. Xah Lee. "Trisectrix" . Consultado el 20 de febrero de 2021 .
5. Yates, Robert C. (1942). El problema de la trisección (PDF) (edición del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas). Baton Rouge, Luisiana: Franklin Press. pp. 23–25.
6. "Trisectriz"  . Enciclopedia Británica . vol. 27 (11ª ed.). 1911. pág. 292.

Enlaces externos

• "El problema de la trisección" de Robert C. Yates, publicado en 1942 y reimpreso por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, disponible en el sitio ERIC del Departamento de Educación de EE. UU.

• Animación "Trisección de un ángulo con un Limaçon" de la propiedad de trisección del ángulo del bucle externo producida por el Proyecto de demostración Wolfram.
• "Limaçon" en 2dcurves.com
• "Trisectriz" en Un diccionario visual de curvas planas especiales
• "Limaçon Trisecteur" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables