En matemáticas , la ley de la tricotomía establece que todo número real es positivo, negativo o cero. [1]
De manera más general, una relación binaria R en un conjunto X es tricotómica si para todo x e y en X , se cumple exactamente uno de xRy , yRx y x = y . Escribiendo R como <, esto se expresa en lógica formal como:
Una ley de tricotomía en algún conjunto X de números generalmente expresa que alguna relación de orden dada tácitamente en X es tricotómica. Un ejemplo es la ley "Para números reales arbitrarios x e y , se aplica exactamente uno de x < y , y < x o x = y "; algunos autores incluso fijan y en cero, [1] basándose en la estructura de grupo aditiva ordenada linealmente del número real . Este último es un grupo dotado de un orden tricotómico.
En lógica clásica, este axioma de tricotomía es válido para comparaciones ordinarias entre números reales y, por tanto, también para comparaciones entre números enteros y entre números racionales . [ se necesita aclaración ] La ley no se cumple en general en la lógica intuicionista . [ cita necesaria ]
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Bernays , la ley de la tricotomía se cumple entre los números cardinales de conjuntos bien ordenables incluso sin el axioma de elección . Si se cumple el axioma de elección, entonces la tricotomía se cumple entre números cardinales arbitrarios (porque en ese caso todos son bien ordenables ). [4]
![{\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y) ]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x< y)\,\land \,\lno (y<x)\,\land \,x=y])\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d5452ff0b5decba77dbc02d05ee38c55f2d86)