Ley de senos

Propiedad de todos los triángulos en el plano euclidiano

Ley de senos

Dos triángulos marcados con los componentes de la ley de senos. α , β y γ son los ángulos asociados a los vértices en mayúsculas A , B y C , respectivamente. Las letras a , b y c minúsculas son las longitudes de los lados opuestos a ellos. ( a es opuesto a α , etc.)

En trigonometría , la ley de los senos , ley del seno , fórmula del seno o regla del seno es una ecuación que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo con los senos de sus ángulos. Según la ley, donde a , b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, y α , β y γ son los ángulos opuestos (ver figura 2), mientras que R es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo . Cuando no se utiliza la última parte de la ecuación, la ley a veces se enuncia utilizando los recíprocos ; La ley de los senos se puede utilizar para calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, una técnica conocida como triangulación . También se puede utilizar cuando se conocen dos lados y uno de los ángulos no encerrados. En algunos de estos casos, el triángulo no está determinado de forma única por estos datos (llamado caso ambiguo ) y la técnica da dos valores posibles para el ángulo encerrado. $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$ $${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$

La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas comúnmente aplicadas para encontrar longitudes y ángulos en triángulos escalenos , siendo la otra la ley de los cosenos .

La ley de los senos se puede generalizar a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante. ^[1]

Historia

El libro de HJJ ​​Winter, Eastern Science, afirma que el matemático indio del siglo VII Brahmagupta describe lo que ahora conocemos como la ley de los senos en su tratado astronómico Brāhmasphuṭasiddhānta . ^[2] En su traducción parcial de esta obra, Colebrooke traduce la declaración de Brahmagupta sobre la regla del seno como: El producto de los dos lados de un triángulo, dividido por el doble de la perpendicular, es la línea central; y el doble de esto es el diámetro de la línea central. ^[3]

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin , la ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X. Se atribuye a Abu-Mahmud Khojandi , Abu al-Wafa' Buzjani , Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur . ^[4]

El libro de los arcos desconocidos de una esfera de Ibn Muʿādh al-Jayyānī del siglo XI contiene la ley esférica de los senos. ^[5] La ley plana de los senos fue enunciada más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī . En su obra Sobre la figura sectorial , enunció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó pruebas para esta ley. ^[6]

Según Glen Van Brummelen , "La Ley de los Senos es realmente la base de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos generales". ^[7] Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

Prueba

Con el lado de longitud a como base, la altura del triángulo se puede calcular como b sen γ o como c sen β . Al igualar estas dos expresiones se obtienen y surgen ecuaciones similares al elegir el lado de longitud b o el lado de longitud c como base del triángulo. $${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,,}$$

El caso ambiguo de la solución triangular

Al utilizar la ley de los senos para hallar un lado de un triángulo, se produce un caso ambiguo en el que se pueden construir dos triángulos separados a partir de los datos proporcionados (es decir, hay dos posibles soluciones diferentes para el triángulo). En el caso que se muestra a continuación, son los triángulos ABC y ABC′ .

Dado un triángulo general, se tendrían que cumplir las siguientes condiciones para que el caso fuera ambiguo:

• La única información conocida sobre el triángulo es el ángulo α y los lados a y c .
• El ángulo α es agudo (es decir, α < 90°).
• El lado a es más corto que el lado c (es decir, a < c ).
• El lado a es más largo que la altura h desde el ángulo β , donde h = c sen α (es decir, a > h ).

Si todas las condiciones anteriores son verdaderas, entonces cada uno de los ángulos β y β′ produce un triángulo válido, lo que significa que ambas condiciones siguientes son verdaderas: $${\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}$$

A partir de allí podemos encontrar los β y b correspondientes o β′ y b′ si es necesario, donde b es el lado delimitado por los vértices A y C y b′ está delimitado por A y C′ .

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema utilizando la ley de los senos.

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Dado: lado a = 20 , lado c = 24 y ángulo γ = 40° . Se desea el ángulo α .

Utilizando la ley de los senos, concluimos que $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}$$ $${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

Téngase en cuenta que la solución potencial α = 147,61° se excluye porque eso necesariamente daría α + β + γ > 180° .

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Si las longitudes de dos lados del triángulo a y b son iguales a x , el tercer lado tiene longitud c , y los ángulos opuestos a los lados de longitudes a , b y c son α , β y γ respectivamente, entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

Relación con el círculo circunscrito

En la identidad, el valor común de las tres fracciones es en realidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo . Este resultado se remonta a Ptolomeo . ^{[8] [9]} $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}$$

Prueba

Derivando la razón de la ley del seno igual al diámetro circunscrito. Nótese que el triángulo ADB pasa por el centro del círculo circunscrito con diámetro d .

Como se muestra en la figura, sea un círculo con inscrito y otro inscrito que pasa por el centro del círculo O . El tiene un ángulo central de y por lo tanto , por el teorema de Tales . Como es un triángulo rectángulo, donde es el radio del círculo que lo circunscribe. ^[9] Los ángulos y se encuentran en el mismo círculo y subtienden la misma cuerda c ; por lo tanto, por el teorema del ángulo inscrito , . Por lo tanto, ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle ADB}$ ${\displaystyle \angle AOD}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \triangle ABD}$ $${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}$$ ${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\gamma }}$ ${\displaystyle {\delta }}$ ${\displaystyle {\gamma }={\delta }}$ $${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}$$

Reordenamiento de rendimientos $${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

Repitiendo el proceso de creación con otros puntos se obtiene ${\displaystyle \triangle ADB}$

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}$

Relación con el área del triángulo

El área de un triángulo está dada por , donde es el ángulo encerrado por los lados de longitudes a y b . Sustituyendo la ley del seno en esta ecuación se obtiene ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}$$

Tomando como radio circunscripto, ^[10] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.}$

También se puede demostrar que esta igualdad implica donde T es el área del triángulo y s es el semiperímetro. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}$

La segunda igualdad anterior se simplifica fácilmente a la fórmula de Heron para el área.

La regla del seno también se puede utilizar para derivar la siguiente fórmula para el área del triángulo: denotando la semisuma de los senos de los ángulos como , tenemos ^[11] ${\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}$

${\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}}$

donde es el radio del círculo circunscrito: . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

La ley esférica de los senos

La ley esférica de los senos trata de triángulos en una esfera, cuyos lados son arcos de círculos máximos .

Supongamos que el radio de la esfera es 1. Sean a , b y c las longitudes de los arcos máximos que son los lados del triángulo. Como es una esfera unitaria, a , b y c son los ángulos en el centro de la esfera subtendidos por esos arcos, en radianes. Sean A , B y C los ángulos opuestos a esos respectivos lados. Estos son ángulos diedros entre los planos de los tres círculos máximos.

Entonces la ley esférica de los senos dice: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

Prueba de vectores

Consideremos una esfera unitaria con tres vectores unitarios OA , OB y ​​OC dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo. Por lo tanto, los ángulos α , β y γ son los ángulos a , b y c , respectivamente. El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro. Introduzcamos una base cartesiana con OA a lo largo del eje z y OB en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC se proyecta hacia ON en el plano xy y el ángulo entre ON y el eje x es A. Por lo tanto, los tres vectores tienen componentes: $${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$$

El triple producto escalar , OA ⋅ ( OB × OC ) es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico OA , OB y ​​OC . Este volumen es invariante al sistema de coordenadas específico usado para representar OA , OB y ​​OC . El valor del triple producto escalar OA ⋅ ( OB × OC ) es el determinante 3 × 3 con OA , OB y ​​OC como sus filas. Con el eje z a lo largo de OA el cuadrado de este determinante es Repitiendo este cálculo con el eje z a lo largo de OB da (sin c sen a sen B ) ² , mientras que con el eje z a lo largo de OC es (sin a sen b sen C ) ² . Igualando estas expresiones y dividiendo por (sin a sen b sen c ) ² se obtiene donde V es el volumen del paralelepípedo formado por el vector de posición de los vértices del triángulo esférico. En consecuencia, se deduce el resultado. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}$$

Es fácil ver cómo para triángulos esféricos pequeños, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula planar en el límite, ya que y lo mismo para sen b y sen c . $${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$$

Prueba geométrica

Consideremos una esfera unitaria con: $${\displaystyle OA=OB=OC=1}$$

Construir punto y punto tales que ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}$

Construir un punto tal que ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}$

Por lo tanto, se puede ver que y ${\displaystyle \angle ADA'=B}$ ${\displaystyle \angle AEA'=C}$

Tenga en cuenta que es la proyección de en el plano . Por lo tanto ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle OBC}$ ${\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}$

Por trigonometría básica, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}}$$

Pero ${\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}$

Combinándolos tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}}$$

Aplicando un razonamiento similar, obtenemos la ley esférica del seno: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$$

Otras pruebas

Se puede construir una prueba puramente algebraica a partir de la ley esférica de los cosenos . A partir de la identidad y la expresión explícita para de la ley esférica de los cosenos Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de la regla del seno esférico se sigue inmediatamente. ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$ ${\displaystyle \cos A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a,\;b,\;c}$

La figura utilizada en la prueba geométrica anterior es utilizada y también proporcionada por Banerjee ^[12] (ver la Figura 3 en este documento) para derivar la ley del seno utilizando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.

Caso hiperbólico

En geometría hiperbólica , cuando la curvatura es −1, la ley de los senos se convierte en $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$$

En el caso especial cuando B es un ángulo recto, se obtiene $${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$$

que es el análogo de la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.

El caso de superficies de curvatura constante

Definir una función seno generalizada, que depende también de un parámetro real : ${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}$$

La ley de los senos en curvatura constante se lee como ^[1] ${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}$$

Sustituyendo , , y , se obtienen respectivamente , , y , es decir, los casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos de la ley de senos descrita anteriormente. ^[1] ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \kappa =1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$ ${\displaystyle \sin _{0}(x)=x}$ ${\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x}$ ${\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}$

Sea la circunferencia de un círculo de radio en un espacio de curvatura constante . Entonces . Por lo tanto, la ley de senos también puede expresarse como: ${\displaystyle p_{\kappa }(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}$ $${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}$$

Esta formulación fue descubierta por János Bolyai . ^[13]

Dimensiones superiores

Un tetraedro tiene cuatro facetas triangulares . El valor absoluto del seno polar ( psin ) de los vectores normales a las tres facetas que comparten un vértice del tetraedro, dividido por el área de la cuarta faceta, no dependerá de la elección del vértice: ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}$$

De manera más general, para un símplex n -dimensional (es decir, triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), pentátopo ( n = 4 ), etc.) en un espacio euclidiano n -dimensional , el valor absoluto del seno polar de los vectores normales de las facetas que se encuentran en un vértice, dividido por la hiperárea de la faceta opuesta al vértice es independiente de la elección del vértice. Escribiendo V para el hipervolumen del símplex n -dimensional y P para el producto de las hiperáreas de sus facetas ( n − 1) -dimensionales, la razón común es $${\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$$

Véase también

• Gersonides  – Filósofo judío medieval
• Fórmula de la mitad del lado  : para resolver triángulos esféricos
• Ley de los cosenos
• Ley de las tangentes
• Ley de cotangentes
• Fórmula de Mollweide  : para comprobar soluciones de triángulos
• Solución de triángulos
• Topografía

Referencias

1. "Ley generalizada de senos". mathworld .
2. Winter, Henry James Jacques (1952). Ciencia oriental. John Murray . pág. 46.
3. Colebrooke, Henry Thomas (1817). Álgebra, con aritmética y medición del sánscrito de Brahmegupta y Bhascara. Londres: John Murray . pp. 299–300.
4. Sesiano sólo incluye a al-Wafa como colaborador. Sesiano, Jacques (2000). "Matemáticas islámicas". En Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (eds.). Matemáticas en todas las culturas: la historia de las matemáticas no occidentales . Springer . págs. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2.
5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
6. Berggren, J. Lennart (2007). "Matemáticas en el Islam medieval". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta . Princeton University Press . pág. 518. ISBN. 978-0-691-11485-9.
7. Van Brummelen, Glen (2009). Las matemáticas de los cielos y la tierra: la historia temprana de la trigonometría. Princeton University Press . p. 259. ISBN 0-691-12973-8.
8. Coxeter, HSM y Greitzer, SL Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer., págs. 1–3, 1967
9. "Ley de senos". www.pballew.net . Consultado el 18 de septiembre de 2018 .
10. Vídeos de matemáticas del Sr. T (10 de junio de 2015), Área de un triángulo y radio de su círculo circunscrito, archivado del original el 11 de diciembre de 2021 , consultado el 18 de septiembre de 2018
11. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108–109.
12. Banerjee, Sudipto (2004), "Revisitando la trigonometría esférica con proyectores ortogonales" (PDF) , The College Mathematics Journal , 35 (5), Asociación Matemática de América: 375–381, doi :10.1080/07468342.2004.11922099
13. Katok, Svetlana (1992). Grupos fucsianos . Chicago: University of Chicago Press. pág. 22. ISBN 0-226-42583-5.
14. Eriksson, Folke (1978). "La ley de los senos para tetraedros y n-símplices". Geometriae Dedicata . 7 (1): 71–80. doi :10.1007/bf00181352.

Enlaces externos

• "Teorema del seno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La ley de los senos al cortar el nudo
• Grado de curvatura
• Encontrar el seno de 1 grado
• Ley generalizada de senos a dimensiones superiores