Conjunto de ecuaciones que describen las trayectorias de objetos sujetos a una fuerza gravitacional constante en condiciones normales en la Tierra . Suponiendo una aceleración constante g debido a la gravedad de la Tierra, la ley de gravitación universal de Newton se simplifica a F = mg , donde F es la fuerza ejercida sobre una masa m por el campo gravitacional de fuerza g de la Tierra . Suponer g constante es razonable para objetos que caen a la Tierra en distancias verticales relativamente cortas de nuestra experiencia cotidiana, pero no es válido para distancias mayores involucradas en el cálculo de efectos más distantes, como las trayectorias de las naves espaciales.
Galileo fue el primero en demostrar y luego formular estas ecuaciones. Utilizó una rampa para estudiar las bolas que rodaban; la rampa ralentizaba la aceleración lo suficiente como para medir el tiempo que tarda la bola en rodar una distancia conocida. [1] [2] Midió el tiempo transcurrido con un reloj de agua , utilizando una "balanza extremadamente precisa" para medir la cantidad de agua. [nota 1]
Las ecuaciones ignoran la resistencia del aire, que tiene un efecto dramático en los objetos que caen a una distancia apreciable en el aire, haciendo que se acerquen rápidamente a una velocidad terminal . El efecto de la resistencia del aire varía enormemente según el tamaño y la geometría del objeto que cae; por ejemplo, las ecuaciones son irremediablemente erróneas para una pluma, que tiene poca masa pero ofrece una gran resistencia al aire. (En ausencia de atmósfera, todos los objetos caen al mismo ritmo, como demostró el astronauta David Scott al dejar caer un martillo y una pluma sobre la superficie de la Luna ).
Las ecuaciones también ignoran la rotación de la Tierra y no describen el efecto Coriolis, por ejemplo. Sin embargo, suelen ser lo suficientemente precisos para objetos densos y compactos que caen desde alturas que no superan las estructuras más altas construidas por el hombre.
Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad g = 9,807 m/s 2 ( metros por segundo al cuadrado , que podría considerarse como "metros por segundo, por segundo"; o 32,18 pies/s 2 como "pies por segundo por segundo") aproximadamente. Es esencial un conjunto coherente de unidades para g , d , t y v . Suponiendo unidades SI , g se mide en metros por segundo al cuadrado, por lo que d debe medirse en metros, t en segundos y v en metros por segundo.
En todos los casos, se supone que el cuerpo parte del reposo y se desprecia la resistencia del aire. Generalmente, en la atmósfera de la Tierra, todos los resultados siguientes serán bastante inexactos después de sólo 5 segundos de caída (momento en el cual la velocidad de un objeto será un poco menor que el valor del vacío de 49 m/s (9,8 m/s 2 × 5 s ) debido a la resistencia del aire). La resistencia del aire induce una fuerza de arrastre sobre cualquier cuerpo que cae a través de cualquier atmósfera que no sea un vacío perfecto, y esta fuerza de arrastre aumenta con la velocidad hasta igualar la fuerza gravitacional, dejando que el objeto caiga a una velocidad terminal constante .
La velocidad terminal depende de la resistencia atmosférica, el coeficiente de resistencia del objeto, la velocidad (instantánea) del objeto y el área presentada al flujo de aire.
Aparte de la última fórmula, estas fórmulas también suponen que g varía de manera insignificante con la altura durante la caída (es decir, suponen una aceleración constante). La última ecuación es más precisa cuando cambios significativos en la distancia fraccionaria desde el centro del planeta durante la caída causan cambios significativos en g . Esta ecuación ocurre en muchas aplicaciones de la física básica.
Las siguientes ecuaciones parten de las ecuaciones generales del movimiento lineal:
y ecuación para la gravitación universal (r+d= distancia del objeto sobre el suelo desde el centro de masa del planeta):
La primera ecuación muestra que, después de un segundo, un objeto habrá caído una distancia de 1/2 × 9,8 × 1 2 = 4,9 m. Al cabo de dos segundos habrá caído 1/2 × 9,8 × 2 2 = 19,6 m; etcétera. La penúltima ecuación se vuelve tremendamente inexacta a grandes distancias. Si un objeto cae a 10.000 m de la Tierra, los resultados de ambas ecuaciones difieren sólo en un 0,08 %; sin embargo, si cae desde la órbita geosincrónica , que es de 42.164 km, entonces la diferencia cambia a casi el 64 %.
Según la resistencia del viento, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en una posición de caída libre boca abajo es de aproximadamente 195 km/h (122 mph o 54 m/s). Esta velocidad es el valor límite asintótico del proceso de aceleración, porque las fuerzas efectivas sobre el cuerpo se equilibran cada vez más a medida que se acerca a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50 % de la velocidad terminal después de sólo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90 %, 15 segundos para alcanzar el 99 % y así sucesivamente.
Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista contrae sus extremidades (ver también vuelo libre ). En este caso, la velocidad terminal aumenta a aproximadamente 320 km/h (200 mph o 90 m/s), que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza sobre su presa. La misma velocidad terminal se alcanza para una típica bala .30-06 que cae hacia abajo (cuando regresa a la tierra después de haber sido disparada hacia arriba o arrojada desde una torre), según un estudio de Artillería del Ejército de EE. UU. de 1920.
Para cuerpos astronómicos distintos de la Tierra , y para distancias cortas de caída a un nivel distinto del "suelo", g en las ecuaciones anteriores puede reemplazarse por donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo astronómico, m es la masa. del cuerpo que cae, y r es el radio desde el objeto que cae hasta el centro del cuerpo astronómico.
Eliminar el supuesto simplificador de aceleración gravitacional uniforme proporciona resultados más precisos. De la fórmula para trayectorias elípticas radiales encontramos :
El tiempo t que tarda un objeto en caer desde una altura r hasta una altura x , medido desde los centros de los dos cuerpos, viene dado por:
donde es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los dos cuerpos. Esta ecuación debe usarse siempre que haya una diferencia significativa en la aceleración gravitacional durante la caída. Tenga en cuenta que cuando esta ecuación da , como se esperaba; y cuando cede , cuál es el momento de colisión.
La fuerza centrípeta hace que la aceleración medida en la superficie giratoria de la Tierra difiera de la aceleración medida para un cuerpo en caída libre: la aceleración aparente en el marco de referencia giratorio es el vector de gravedad total menos un pequeño vector hacia el norte. eje sur de la Tierra, correspondiente a permanecer estacionario en ese marco de referencia.
