ley circular

En teoría de la probabilidad , más específicamente el estudio de matrices aleatorias , la ley circular se refiere a la distribución de valores propios de una matriz aleatoria n × n con entradas independientes e idénticamente distribuidas en el límite n → ∞ .

Afirma que para cualquier secuencia de matrices aleatorias n × n cuyas entradas sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , todas con media cero y varianza igual a 1/ n , la distribución espectral limitante es la distribución uniforme sobre el disco unitario.

Conjuntos de Ginibre

El complejo conjunto Ginibre se define como for , con todas sus entradas muestreadas IID de la distribución normal estándar . ${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

El conjunto real de Ginibre se define como . ${\displaystyle X=Z_{1}}$

Valores propios

Los valores propios de se distribuyen según ^[1] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}$$

Gráfico de las partes real e imaginaria (escaladas por sqrt(1000)) de los valores propios de una matriz de 1000x1000 con entradas normales estándar e independientes.

ley global

Sea una secuencia muestreada del complejo conjunto Ginibre. Denotemos los valores propios de . Defina la medida espectral empírica de como ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$

${\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).}$

Entonces, casi con seguridad (es decir, con probabilidad uno), la secuencia de medidas converge en distribución a la medida uniforme en el disco unitario. ${\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}}$

Estadísticas de borde

Tomemos una muestra del conjunto real o complejo y sea el valor absoluto de su valor propio máximo: Tenemos el siguiente teorema para las estadísticas de borde: ^[2] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho (G_{n})}$ $${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$$

Estadísticas de borde del conjunto Ginibre  :  para y como arriba, con probabilidad uno, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}$$

Además, si y luego converge en distribución a la ley de Gumbel , es decir, la medida de probabilidad sigue con la función de distribución acumulativa . ${\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}$ $${\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}$$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}$

Este teorema refina la ley circular del conjunto de Ginibre. En palabras, la ley circular dice que el espectro de casi seguramente cae uniformemente en el disco unitario. y el teorema de la estadística de bordes establece que el radio del disco casi unitario es aproximadamente , y fluctúa en una escala de , según la ley de Gumbel. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$

Historia

Para matrices aleatorias con distribución gaussiana de entradas (los conjuntos de Ginibre ), la ley circular fue establecida en la década de 1960 por Jean Ginibre . ^[3] En la década de 1980, Vyacheslav Girko introdujo ^[4] un enfoque que permitió establecer la ley circular para distribuciones más generales. Zhidong Bai logró mayores avances ^[5] , quien estableció la ley circular bajo ciertos supuestos de suavidad en la distribución.

Los supuestos se relajaron aún más en los trabajos de Terence Tao y Van H. Vu , ^[6] Guangming Pan y Wang Zhou, ^[7] y Friedrich Götze y Alexander Tikhomirov. ^[8] Finalmente, en 2010 Tao y Vu demostraron ^[9] la ley circular bajo los supuestos mínimos establecidos anteriormente.

El resultado de la ley circular fue extendido en 1985 por Girko ^[10] a una ley elíptica para conjuntos de matrices con una cantidad fija de correlación entre las entradas por encima y por debajo de la diagonal. Aceituno, Rogers y Schomerus generalizaron aún más las leyes elípticas y circulares a la ley hipotrocoide, que incluye correlaciones de orden superior. ^[11]

Ver también

• Distribución del semicírculo de Wigner

Referencias

1. Meckes, Elizabeth (8 de enero de 2021). "Los valores propios de matrices aleatorias". arXiv : 2101.02928 [matemáticas.PR].
2. Jinete, B (28 de marzo de 2003). "Un teorema de límite en el borde de un conjunto de matrices aleatorias no hermitianas". Revista de Física A: Matemática y General . 36 (12): 3401–3409. doi :10.1088/0305-4470/36/12/331. ISSN  0305-4470.
3. Ginibre, Jean (1965). "Conjuntos estadísticos de matrices complejas, cuaterniones y reales". J. Matemáticas. Física . 6 (3): 440–449. Código bibliográfico : 1965JMP......6..440G. doi :10.1063/1.1704292. SEÑOR  0173726.
4. Girko, VL (1984). "La ley circular". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya . 29 (4): 669–679.
5. Bai, ZD (1997). "Ley circular". Anales de probabilidad . 25 (1): 494–529. doi : 10.1214/aop/1024404298 . SEÑOR  1428519.
6. Tao, T.; Vu, VH (2008). "Matrices aleatorias: la ley circular". Comunitario. Contemporáneo. Matemáticas . 10 (2): 261–307. arXiv : 0708.2895 . doi :10.1142/s0219199708002788. SEÑOR  2409368. S2CID  15888373.
7. Pan, G.; Zhou, W. (2010). "Ley circular, valores singulares extremos y teoría del potencial". J. Anal multivariado . 101 (3): 645–656. arXiv : 0705.3773 . doi :10.1016/j.jmva.2009.08.005. S2CID  7475359.
8. Götze, F.; Tikhomirov, A. (2010). "La ley circular de matrices aleatorias". Anales de probabilidad . 38 (4): 1444-1491. arXiv : 0709.3995 . doi :10.1214/09-aop522. SEÑOR  2663633. S2CID  1290255.
9. Tao, Terencia ; Vu, Van (2010). "Matrices aleatorias: Universalidad de la EDS y la Ley Circular". Anales de probabilidad . 38 (5). apéndice de Manjunath Krishnapur: 2023–2065. arXiv : 0807.4898 . doi :10.1214/10-AOP534. SEÑOR  2722794. S2CID  15769353.
10. Girko, VL (1985). "La ley elíptica". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya . 30 : 640–651.
11. Aceituno, PV; Rogers, T.; Schomerus, H. (2019). "Ley hipotrocoídica universal para matrices aleatorias con correlaciones cíclicas". Revisión física E. 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Código Bib : 2019PhRvE.100a0302A. doi : 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.