Lema de Morse-Palais

En matemáticas , el lema de Morse-Palais es un resultado del cálculo de variaciones y la teoría de espacios de Hilbert . En términos generales, afirma que una función lo suficientemente suave cerca de un punto crítico puede expresarse como una forma cuadrática después de un cambio adecuado de coordenadas.

El lema de Morse-Palais fue demostrado originalmente en el caso de dimensión finita por el matemático estadounidense Marston Morse , utilizando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . Este resultado juega un papel crucial en la teoría de Morse . La generalización a los espacios de Hilbert se debe a Richard Palais y Stephen Smale .

Enunciado del lema

Sea un espacio de Hilbert real , y sea un entorno abierto del origen en Sea una función -veces continuamente diferenciable con es decir, Supongamos que y que es un punto crítico no degenerado de es decir, la segunda derivada define un isomorfismo de con su espacio dual continuo por ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (k+2)}$ ${\displaystyle k\geq 1;}$ ${\displaystyle f\in C^{k+2}(U;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f;}$ ${\displaystyle D^{2}f(0)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.}$$

Entonces existe un subvecindario de en un difeomorfismo que es con inverso, y un operador simétrico invertible tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \varphi :V\to V}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle A:H\to H,}$ $${\displaystyle f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.}$$

Corolario

Sea tal que es un punto crítico no degenerado. Entonces existe un difeomorfismo -con- -inverso y una descomposición ortogonal tal que, si se escribe entonces ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in C^{k+2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \psi :V\to V}$ $${\displaystyle H=G\oplus G^{\perp },}$$ $${\displaystyle \psi (x)=y+z\quad {\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },}$$ $${\displaystyle f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.}$$

Véase también

• Derivada de Fréchet  – Derivada definida en espacios normados

Referencias

• Lang, Serge (1972). Variedades diferenciales . Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc.