La adecuación es una técnica desarrollada por Pierre de Fermat en su tratado Methodus ad disquirendam maximam et minimam [1] (un tratado en latín que circuló en Francia c. 1636) para calcular máximos y mínimos de funciones, tangentes a curvas, área , centro de masas , mínima acción y otros problemas de cálculo . Según André Weil , Fermat "introduce el término técnico adaequalitas, adaequare, etc., que dice haber tomado prestado de Diofanto . Como muestra Diofanto V.11, significa una igualdad aproximada, y así es de hecho como Fermat explica la palabra en uno de sus escritos posteriores". (Weil 1973). [2] Diofanto acuñó la palabra παρισότης ( parisotēs ) para referirse a una igualdad aproximada. [3] Claude Gaspard Bachet de Méziriac tradujo la palabra griega de Diofanto al latín como adaequalitas . [ cita requerida ] La traducción francesa de Paul Tannery de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos utilizó las palabras adéquation y adégaler . [ cita requerida ]
Fermat utilizó la adecuación primero para encontrar máximos de funciones y luego la adaptó para encontrar líneas tangentes a curvas.
Para hallar el máximo de un término , Fermat igualó (o más precisamente adecuó) y y después de hacer álgebra podía cancelar un factor de y luego descartar cualquier término restante que involucrara Para ilustrar el método con el propio ejemplo de Fermat, considere el problema de hallar el máximo de (En palabras de Fermat, es dividir una línea de longitud en un punto , de modo que el producto de las dos partes resultantes sea un máximo. [1] ) Fermat adecuó con . Es decir (usando la notación para denotar adecuación, introducida por Paul Tannery ):
Cancelando términos y dividiendo por Fermat llegamos a
Eliminando los términos que contenían a Fermat se llegó al resultado deseado de que el máximo se producía cuando .
Fermat también utilizó su principio para dar una derivación matemática de las leyes de refracción de Snell directamente a partir del principio de que la luz toma el camino más rápido. [4]
El método de Fermat fue muy criticado por sus contemporáneos, en particular por Descartes . Victor Katz sugiere que esto se debe a que Descartes había descubierto de forma independiente la misma nueva matemática, conocida como su método de las normales , y Descartes estaba bastante orgulloso de su descubrimiento. Katz también señala que, si bien los métodos de Fermat estaban más cerca de los desarrollos futuros en el cálculo, los métodos de Descartes tuvieron un impacto más inmediato en el desarrollo. [5]
Tanto Newton como Leibniz se refirieron al trabajo de Fermat como un antecedente del cálculo infinitesimal . Sin embargo, existe un desacuerdo entre los académicos modernos sobre el significado exacto de la adecuación de Fermat. La adecuación de Fermat fue analizada en varios estudios académicos. En 1896, Paul Tannery publicó una traducción al francés de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos (Fermat, Œuvres, vol. III, págs. 121-156). Tannery tradujo el término de Fermat como “adégaler” y adoptó la “adequation” de Fermat. Tannery también introdujo el símbolo de la adecuación en fórmulas matemáticas.
Heinrich Wieleitner (1929) [6] escribió:
Fermat reemplaza A por A + E . Luego hace que la nueva expresión sea aproximadamente igual ( angenähert gleich ) a la anterior, cancela los términos iguales en ambos lados y divide por la mayor potencia posible de E . Luego cancela todos los términos que contienen E y hace que los que permanecen iguales entre sí. De ahí resulta [la requerida] A . Que E debe ser lo más pequeño posible no se dice en ninguna parte y, en el mejor de los casos, se expresa con la palabra "adaequalitas".
(Wieleitner utiliza el símbolo .)
Max Miller (1934) [7] escribió:
En este caso, los dos términos que expresan el máximo y el mínimo deberían ser aproximadamente iguales ( näherungsweise gleich ), como dice Diofanto.
(Miller utiliza el símbolo .)
Jean Itard (1948) [8] escribió:
Se sabe que la expresión "adelgazar" fue adoptada por Fermat de Diofanto, traducida por Xylander y por Bachet. Se trata de una igualdad aproximada ( égalité approximative ).
(Itard utiliza el símbolo .)
Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) [9] escribió:
Fermat elige una cantidad h , considerada suficientemente pequeña, y establece que f ( x + h ) es aproximadamente igual ( ungefähr gleich ) a f ( x ). Su término técnico es adaequare .
(Hofmann utiliza el símbolo .)
Peer Strømholm (1968) [10] escribió:
La base del método de Fermat era la comparación de dos expresiones que, aunque tenían la misma forma, no eran exactamente iguales . A esta parte del proceso la llamó " comparar por igualdad absoluta " o " comparer per igualdad absoluta ", e implicaba que la identidad estricta entre los dos lados de la "ecuación" se destruía al modificar la variable en una pequeña cantidad:
.
Creo que este era el verdadero significado de su uso del πἀρισον de Diofanto, que subraya la pequeñez de la variación. La traducción habitual de 'adaequalitas' parece ser " igualdad aproximada ", pero yo prefiero mucho más " pseudo-igualdad " para presentar el pensamiento de Fermat en este punto.
Además, señala que "nunca hubo en M1 (Método 1) ninguna cuestión de que la variación E se pusiera igual a cero. Las palabras que Fermat utilizó para expresar el proceso de supresión de términos que contenían E fueron 'elido', 'deleo' y 'expungo', y en francés 'i'efface' y 'i'ôte'. Es difícil creer que un hombre cuerdo que quisiera expresar su significado y buscara palabras, se topara constantemente con formas tan tortuosas de comunicar el simple hecho de que los términos desaparecían porque E era cero. (p. 51) Claus Jensen (1969) [11] escribió:
Además, al aplicar la noción de adégalité –que constituye la base del método general de Fermat para construir tangentes, y por el cual se entiende una comparación de dos magnitudes como si fueran iguales, aunque de hecho no lo sean (“tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint”)– emplearé el símbolo, hoy en día más usual , .
La cita en latín proviene de la edición de Fermat de Tannery de 1891, volumen 1, página 140. Michael Sean Mahoney (1971) [12] escribió:
El método de máximos y mínimos de Fermat, que es claramente aplicable a cualquier polinomio P(x) , se basaba originalmente en fundamentos algebraicos puramente finitistas . Suponía, contrafácticamente , la desigualdad de dos raíces iguales para determinar, mediante la teoría de ecuaciones de Viete, una relación entre esas raíces y uno de los coeficientes del polinomio, una relación que era completamente general. Esta relación condujo entonces a una solución de valor extremo cuando Fermat eliminó su supuesto contrafáctico y estableció las raíces iguales. Tomando prestado un término de Diofanto, Fermat llamó a esta igualdad contrafáctica "desigualdad".
(Mahoney utiliza el símbolo .) En la p. 164, al final de la nota al pie 46, Mahoney señala que uno de los significados de adecuación es igualdad aproximada o igualdad en el caso límite . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) [13] escribió:
Por ejemplo, para determinar cómo subdividir un segmento de longitud en dos segmentos y cuyo producto sea máximo, es decir, para encontrar el rectángulo con perímetro que tenga el área máxima, [Fermat] procede de la siguiente manera. Primero sustituyó
(usó A , E en lugar de x , e ) para la desconocida x , y luego escribió la siguiente "pseudoigualdad" para comparar la expresión resultante con la original:
Después de cancelar términos, dividió por e para obtener Finalmente descartó el término restante que contenía e , transformando la pseudoigualdad en la verdadera igualdad que da el valor de x que hace máxima. Desafortunadamente, Fermat nunca explicó la base lógica de este método con suficiente claridad o completitud para evitar desacuerdos entre los estudiosos de la historia sobre lo que quería decir o pretendía exactamente.
Kirsti Andersen (1980) [14] escribió:
Las dos expresiones de máximo o mínimo se hacen "adequal" , lo que significa algo así como lo más igual posible .
(Andersen utiliza el símbolo .) Herbert Breger (1994) [15] escribió:
Quiero plantear mi hipótesis: Fermat utilizó la palabra "adaequare" en el sentido de "poner igual" ... En un contexto matemático, la única diferencia entre "aequare" y "adaequare" parece ser que este último pone más énfasis en el hecho de que se logra la igualdad.
(Página 197f.) John Stillwell (Stillwell 2006 p. 91) escribió:
Fermat introdujo la idea de la adecuación en la década de 1630, pero se adelantó a su tiempo. Sus sucesores no estaban dispuestos a renunciar a la comodidad de las ecuaciones ordinarias y preferían utilizar la igualdad de manera flexible en lugar de utilizar la adecuación con precisión. La idea de la adecuación solo se recuperó en el siglo XX, en el llamado análisis no estándar .
Enrico Giusti (2009) [16] cita la carta de Fermat a Marin Mersenne donde Fermat escribió:
Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solución de la question" ("Esta comparación por igualdad produce dos términos desiguales que finalmente producen la igualdad (siguiendo mi método) que da nosotros la solución del problema").
Giusti señala en una nota a pie de página que esta carta parece haber escapado a la atención de Breger.
Klaus Barner (2011) [17] afirma que Fermat utiliza dos palabras latinas diferentes (aequabitur y adaequabitur) para reemplazar el signo igual, aequabitur , que hoy en día es el más común , cuando la ecuación se refiere a una identidad válida entre dos constantes, una fórmula universalmente válida (probada), o una ecuación condicional, adaequabitur , sin embargo, cuando la ecuación describe una relación entre dos variables que no son independientes (y la ecuación no es una fórmula válida). En la página 36, Barner escribe: "¿Por qué Fermat repetía continuamente su procedimiento inconsistente para todos sus ejemplos para el método de tangentes? ¿Por qué nunca mencionó la secante, con la que de hecho operaba? No lo sé".
Katz, Schaps, Shnider (2013) [18] sostienen que la aplicación de la técnica de Fermat a curvas trascendentales como la cicloide muestra que la técnica de adecuación de Fermat va más allá de un algoritmo puramente algebraico y que, contrariamente a la interpretación de Breger, los términos técnicos parisotes tal como los utiliza Diofanto y adaequalitas tal como los utiliza Fermat significan ambos "igualdad aproximada". Desarrollan una formalización de la técnica de adecuación de Fermat en las matemáticas modernas como la función de parte estándar que redondea un número hiperreal finito a su número real más cercano .
