En los sistemas dinámicos , una subvariedad espectral (SSM) es la única variedad invariante más suave que sirve como la extensión no lineal de un subespacio espectral de un sistema dinámico lineal bajo la adición de no linealidades. [2] La teoría SSM proporciona condiciones para cuando las propiedades invariantes de los espacios propios de un sistema dinámico lineal se pueden extender a un sistema no lineal y, por lo tanto, motiva el uso de SSM en la reducción de dimensionalidad no lineal .
con matriz constante y las no linealidades contenidas en la función suave .
Supongamos que para todos los valores propios de , es decir, el origen es un punto fijo asintóticamente estable. Ahora seleccione un lapso de vectores propios de . Entonces, el espacio propio es un subespacio invariante del sistema linealizado.
Al agregar la no linealidad al sistema lineal, generalmente se perturba en infinitas variedades invariantes. Entre estas variedades invariantes, la más suave se denomina subvariedad espectral.
Un resultado equivalente para SSM inestables es válido para .
Existencia
Se garantiza que la subvariedad espectral tangente a en el origen existe siempre que los valores propios en el espectro de satisfagan ciertas condiciones de no resonancia . [3] En particular, no puede haber una combinación lineal igual a uno de los valores propios fuera del subespacio espectral. Si existe tal resonancia externa, se puede incluir el modo resonante y extender el análisis a un SSM de dimensiones superiores perteneciente al subespacio espectral extendido.
Las subvariedades espectrales son útiles para una reducción rigurosa de la dimensionalidad no lineal en sistemas dinámicos. La reducción de un espacio de fase de alta dimensión a una variedad de menor dimensión puede conducir a importantes simplificaciones al permitir una descripción precisa del principal comportamiento asintótico del sistema. [5] Para un sistema dinámico conocido, los SSM se pueden calcular analíticamente resolviendo las ecuaciones de invariancia, y se pueden emplear modelos reducidos sobre SSM para predecir la respuesta al forzamiento. [6]
Además, estas variedades también se pueden extraer directamente de los datos de trayectoria de un sistema dinámico con el uso de algoritmos de aprendizaje automático. [7]
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