Variedad invariante

En sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , una variedad invariante es una variedad topológica que es invariante bajo la acción del sistema dinámico. ^[1] Los ejemplos incluyen la variedad lenta , la variedad central , la variedad estable , la variedad inestable , la variedad subcéntrica y la variedad inercial .

Por lo general, aunque no siempre, las variedades invariantes se construyen como una "perturbación" de un subespacio invariante en torno a un equilibrio. En sistemas disipativos, una variedad invariante basada en los modos más graves y duraderos forma un modelo eficaz, reducido y de baja dimensión de la dinámica. ^[2]

Definición

Consideremos la ecuación diferencial con flujo como solución de la ecuación diferencial con . Un conjunto se denomina conjunto invariante para la ecuación diferencial si, para cada , la solución , definida en su intervalo máximo de existencia, tiene su imagen en . Alternativamente, la órbita que pasa por cada uno se encuentra en . Además, se denomina variedad invariante si es una variedad . ^[3] ${\displaystyle dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle x(t)=\phi _{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in S}$ ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{0}\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Sistema dinámico 2D simple

Para cualquier parámetro fijo , considere las variables gobernadas por el par de ecuaciones diferenciales acopladas ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x(t),y(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=ax-xy\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-y+x^{2}-2y^{2}.}$

El origen es un equilibrio. Este sistema tiene dos variedades invariantes de interés a través del origen.

• La línea vertical es invariante cuando la ecuación se convierte en , lo que garantiza que siga siendo cero. Esta variedad invariante, , es una variedad estable del origen (cuando ) ya que todas las condiciones iniciales conducen a soluciones que se aproximan asintóticamente al origen. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle x(0)=0,\ y(0)>-1/2}$
• La parábola es invariante para todos los parámetros . Se puede ver esta invariancia considerando la derivada temporal y encontrando que es cero en como se requiere para una variedad invariante. Para esta parábola es la variedad inestable del origen. Para esta parábola es una variedad central , más precisamente una variedad lenta , del origen. ${\displaystyle y=x^{2}/(1+2a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(y-{\tfrac {x^{2}}{1+2a}}\right)}$ ${\displaystyle y={\tfrac {x^{2}}{1+2a}}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a=0}$
• Porque sólo hay una variedad estable invariante alrededor del origen, la variedad estable incluye todos los . ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle (x,y),\ y>-1/2}$

Variedades invariantes en sistemas dinámicos no autónomos

Una ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,}$

representa un sistema dinámico no autónomo , cuyas soluciones son de la forma con . En el espacio de fases extendido de tal sistema, cualquier superficie inicial genera una variedad invariante ${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).}$

Una cuestión fundamental es entonces cómo se pueden localizar, de entre esta gran familia de variedades invariantes, aquellas que tienen la mayor influencia en la dinámica global del sistema. Estas variedades invariantes más influyentes en el espacio de fases extendido de un sistema dinámico no autónomo se conocen como Estructuras Coherentes Lagrangianas . ^[4]

Véase también

• Conjunto hiperbólico
• Estructura coherente lagrangiana
• Subvariedad espectral

Referencias

1. Hirsh MW, Pugh CC, Shub M., Variedades invariantes, Lect. Notes. Math., 583, Springer, Berlín — Heidelberg, 1977
2. AJ Roberts. La utilidad de una descripción de la evolución de un sistema dinámico a partir de una variedad invariante. SIAM J. Math. Anal., 20:1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Archivado el 20 de agosto de 2008 en Wayback Machine.
3. C. Chicone. Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones, volumen 34 de Textos de matemáticas aplicadas. Springer, 2006, pág. 34
4. Haller, G. (2015). "Estructuras coherentes lagrangianas". Revista anual de mecánica de fluidos . 47 (1): 137–162. Código Bibliográfico :2015AnRFM..47..137H. doi :10.1146/annurev-fluid-010313-141322.