Soluciones de onda plana sinusoidal de la ecuación de onda electromagnética.

Soluciones particulares a la ecuación de ondas electromagnéticas.

Las soluciones de ondas planas sinusoidales son soluciones particulares de la ecuación de ondas electromagnéticas .

La solución general de la ecuación de ondas electromagnéticas en medios homogéneos, lineales e independientes del tiempo se puede escribir como una superposición lineal de ondas planas de diferentes frecuencias y polarizaciones .

El tratamiento en este artículo es clásico pero, debido a la generalidad de las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica, el tratamiento se puede convertir al tratamiento de la mecánica cuántica con solo una reinterpretación de las cantidades clásicas (aparte del tratamiento de la mecánica cuántica necesario para las densidades de carga y corriente). .

La reinterpretación se basa en las teorías de Max Planck y en las interpretaciones de Albert Einstein ^{[ dudosas ]} de esas teorías y de otros experimentos. La generalización cuántica del tratamiento clásico se puede encontrar en los artículos sobre polarización de fotones y dinámica de fotones en el experimento de la doble rendija.

Explicación

Experimentalmente, cada señal luminosa se puede descomponer en un espectro de frecuencias y longitudes de onda asociadas con soluciones sinusoidales de la ecuación de onda. Se pueden utilizar filtros polarizadores para descomponer la luz en sus diversos componentes de polarización. Los componentes de polarización pueden ser lineales , circulares o elípticos .

ondas planas

La solución plana sinusoidal para una onda electromagnética que viaja en la dirección z es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&={\begin{pmatrix}E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\0\end{pmatrix}}\\[1ex]&=E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\,{\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\\[1ex]&={\begin{pmatrix}-E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\{\hphantom {-}}E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\0\end{pmatrix}}\\[1ex]&=-E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

número de onda

$${\displaystyle \omega =ck}$$

${\displaystyle \omega }$frecuencia angularvelocidad de la luzvectoresvectores unitariosr = ( x , y , z ) ${\displaystyle c}$

La onda plana está parametrizada por las amplitudes.

La radiación electromagnética se puede imaginar como una onda oscilante transversal autopropagada de campos eléctricos y magnéticos. Este diagrama muestra una onda plana polarizada linealmente que se propaga de derecha a izquierda. El campo magnético (etiquetado M) está en un plano horizontal y el campo eléctrico (etiquetado E) está en un plano vertical.

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0,x}&=\left|\mathbf {E} \right|\cos \theta \\[1.56ex]E_{0,y}&=\left|\mathbf {E} \right|\sin \theta \end{aligned}}}$$

fases

$${\displaystyle \alpha _{x},\alpha _{y}}$$

$${\displaystyle \theta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \tan ^{-1}\left({\frac {E_{0,y}}{E_{0,x}}}\right).}$$

$${\displaystyle \left|\mathbf {E} \right|^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(E_{0,x}\right)^{2}+\left(E_{0,y}\right)^{2}.}$$

Vector de estado de polarización

vector de jones

Toda la información de polarización se puede reducir a un único vector, llamado vector de Jones , en el plano xy. Este vector, si bien surge de un tratamiento puramente clásico de la polarización, puede interpretarse como un vector de estados cuánticos . La conexión con la mecánica cuántica se establece en el artículo sobre la polarización de fotones .

El vector surge de la solución de onda plana. La solución del campo eléctrico se puede reescribir en notación compleja como

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=|\mathbf {E} |\,\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left[|\psi \rangle e^{i(kz-\omega t)}\right]}$$

$${\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}}$$

notación de soporteDirac

Vector de doble Jones

El vector de Jones tiene un dual dado por

$${\displaystyle \langle \psi |\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{-i\alpha _{x}}&\sin(\theta )e^{-i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}.}$$

Normalización del vector de Jones.

Polarización lineal.

Un vector de Jones representa una onda específica con una fase, amplitud y estado de polarización específicos. Cuando se utiliza un vector de Jones simplemente para indicar un estado de polarización, es habitual que esté normalizado . Eso requiere que el producto interno del vector consigo mismo sea la unidad:

$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=1.}$$

Simplemente se puede escalar un vector de Jones arbitrario para lograr esta propiedad. Todos los vectores de Jones normalizados representan una onda de la misma intensidad (dentro de un medio isotrópico particular). Incluso dado un vector de Jones normalizado, la multiplicación por un factor de fase puro dará como resultado un vector de Jones normalizado diferente que representa el mismo estado de polarización.

Estados de polarización

Polarización elíptica.

polarización lineal

En general, la onda está polarizada linealmente cuando los ángulos de fase son iguales, ${\displaystyle \alpha _{x},\alpha _{y}}$

$${\displaystyle \alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .}$$

Esto representa una onda polarizada en un ángulo con respecto al eje x. En ese caso el vector de Jones se puede escribir ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}e^{i\alpha }.}$$

Polarización elíptica y circular.

El caso general en el que el campo eléctrico no está confinado a una dirección sino que gira en el plano x - y se llama polarización elíptica . El vector de estado viene dado por

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\begin{pmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )e^{i\Delta \alpha }\end{pmatrix}}.}$$

En el caso especial de , esto se reduce a polarización lineal. ${\displaystyle \Delta \alpha =0}$

La polarización circular corresponde a los casos especiales de con . Los dos estados de polarización circular vienen dados por tanto por los vectores de Jones: ${\displaystyle \theta =\pm \pi /4}$ ${\displaystyle \Delta \alpha =\pi /2}$

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}.}$$

Ver también

• series de Fourier
• modo transversal
• Onda transversal
• Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger.
• ecuaciones de maxwell
• Ecuación de ondas electromagnéticas
• Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
• Polarización a partir de una transición atómica: lineal y circular.

Referencias

• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.