Serie de campanas

En matemáticas , la serie de Bell es una serie de potencias formal que se utiliza para estudiar las propiedades de las funciones aritméticas. La serie de Bell fue introducida y desarrollada por Eric Temple Bell .

Dada una función aritmética y un primo , defina la serie de potencia formal , llamada serie de Bell de módulo como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se denomina teorema de unicidad : dadas las funciones multiplicativas y , se tiene si y solo si : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=g}$

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$para todos los números primos . ${\displaystyle p}$

Se pueden multiplicar dos series (a veces llamado teorema de multiplicación ): Para dos funciones aritméticas cualesquiera y , sea su convolución de Dirichlet . Entonces, para cada primo , se tiene: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h=f*g}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

En particular, esto hace que sea trivial encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet .

Si es completamente multiplicativo , entonces formalmente: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

Ejemplos

La siguiente es una tabla de la serie de Bell de funciones aritméticas conocidas.

• La función de Möbius tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• La función de Möbius al cuadrado tiene ${\displaystyle \mu _{p}^{2}(x)=1+x.}$
• El totiente de Euler tiene ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet tiene ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1.}$
• La función de Liouville tiene ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• La función potencia Id _k tiene Aquí, Id _k es la función completamente multiplicativa . ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$
• La función divisor tiene ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}.}$
• La función constante , con valor 1, satisface , es decir, es la serie geométrica . ${\displaystyle 1_{p}(x)=(1-x)^{-1}}$
• Si es la potencia de la función omega prima , entonces ${\displaystyle f(n)=2^{\omega (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)}$ ${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}.}$
• Supóngase que f es multiplicativa y g es cualquier función aritmética que satisface para todos los primos p y . Entonces ${\displaystyle f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}.}$
• Si denota la función de Möbius de orden k, entonces ${\displaystyle \mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)}$ ${\displaystyle (\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}.}$

Véase también

• Números de campana

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001