Expansión asintótica

Serie de funciones en matemáticas.

En matemáticas , una expansión asintótica , serie asintótica o expansión de Poincaré (según Henri Poincaré ) es una serie formal de funciones que tiene la propiedad de que truncar la serie después de un número finito de términos proporciona una aproximación a una función dada como argumento de la función. tiende hacia un punto particular, a menudo infinito. Las investigaciones de Dingle (1973) revelaron que la parte divergente de una expansión asintótica tiene significado latente, es decir, contiene información sobre el valor exacto de la función expandida.

La teoría de las series asintóticas fue creada por Poincaré (e independientemente por Stieltjes ) en 1886. ^[1]

El tipo más común de expansión asintótica es una serie de potencias en potencias positivas o negativas. Los métodos para generar tales expansiones incluyen la fórmula de suma de Euler-Maclaurin y transformaciones integrales como las transformadas de Laplace y Mellin . La integración repetida por partes a menudo conducirá a una expansión asintótica.

Dado que una serie de Taylor convergente también se ajusta a la definición de expansión asintótica, la frase "serie asintótica" generalmente implica una serie no convergente . A pesar de la no convergencia, la expansión asintótica es útil cuando se trunca a un número finito de términos. La aproximación puede proporcionar beneficios al ser más manejable matemáticamente que la función que se está expandiendo, o al aumentar la velocidad de cálculo de la función expandida. Normalmente, la mejor aproximación se obtiene cuando la serie se trunca en el término más pequeño. Esta forma de truncar de manera óptima una expansión asintótica se conoce como superasintótica . ^[2] El error suele tener la forma ~ exp(− c /ε) donde ε es el parámetro de expansión. Por tanto, el error supera todos los órdenes en el parámetro de expansión. Es posible mejorar el error superasintótico, por ejemplo, empleando métodos de resumen como el resumen de Borel a la cola divergente. Estos métodos suelen denominarse aproximaciones hiperasintóticas .

Consulte el análisis asintótico y la notación O grande para conocer la notación utilizada en este artículo.

Definicion formal

Primero definimos una escala asintótica y luego damos la definición formal de una expansión asintótica.

Si es una secuencia de funciones continuas en algún dominio, y si es un punto límite del dominio, entonces la secuencia constituye una escala asintótica si para cada n , ${\displaystyle \ \varphi _{n}\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .}$

( puede considerarse infinito). En otras palabras, una secuencia de funciones es una escala asintótica si cada función en la secuencia crece estrictamente más lentamente (en el límite ) que la función anterior. ${\displaystyle \ L\ }$ ${\displaystyle \ x\to L\ }$

Si es una función continua en el dominio de la escala asintótica, entonces f tiene una expansión asintótica de orden con respecto a la escala como serie formal ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ N\ }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}$

si

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)}$

o la condición más débil

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\ }$

Está satisfecho. Aquí está la pequeña notación o. Si uno u otro es válido para todos , entonces escribimos ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \ N\ }$

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .}$

En contraste con una serie convergente para , en la que la serie converge para cualquier fijo en el límite , se puede pensar en la serie asintótica como convergente para fijo en el límite ( posiblemente infinita). ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ x\to L\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

Ejemplos

Gráficas del valor absoluto del error fraccionario en la expansión asintótica de la función Gamma (izquierda). El eje horizontal es el número de términos de la expansión asintótica. Los puntos azules son para x  = 2 y los puntos rojos son para x  = 3 . Se puede ver que el menor error se produce cuando hay 14 términos para x  = 2 y 20 términos para x  = 3 , más allá de los cuales el error diverge.

• Función gamma ( aproximación de Stirling )
  $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• integral exponencial
  $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• Integral logarítmica
  $${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$$
• Función zeta de Riemann
  $${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$$
  donde están los números de Bernoulli y es un factorial creciente . Esta expansión es válida para todos los complejos s y a menudo se usa para calcular la función zeta usando un valor suficientemente grande de N , por ejemplo . ${\displaystyle B_{2m}}$ ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$ ${\displaystyle N>|s|}$
• función de error
  $${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
  donde (2 norte  − 1)!! es el doble factorial .

Ejemplo resuelto

Las expansiones asintóticas ocurren a menudo cuando se usa una serie ordinaria en una expresión formal que obliga a tomar valores fuera de su dominio de convergencia . Así, por ejemplo, se puede empezar con la serie ordinaria

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}$

La expresión de la izquierda es válida en todo el plano complejo , mientras que la de la derecha converge sólo para . Multiplicar e integrar ambos lados produce ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}$

después de la sustitución en el lado derecho. La integral del lado izquierdo, entendida como valor principal de Cauchy , se puede expresar en términos de la integral exponencial . La integral del lado derecho puede reconocerse como la función gamma . Evaluando ambos, se obtiene la expansión asintótica ${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}$

Aquí, el lado derecho claramente no es convergente para ningún valor distinto de cero de t . Sin embargo, truncando la serie de la derecha a un número finito de términos, se puede obtener una aproximación bastante buena al valor de para t suficientemente pequeño . Sustituir y observar eso da como resultado la expansión asintótica dada anteriormente en este artículo. ${\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Integración por partes

Usando integración por partes, podemos obtener una fórmula explícita ^[3]

$${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ ${\displaystyle n\sim |z|}$ ${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

Propiedades

Unicidad para una escala asintótica dada

Para una escala asintótica dada, la expansión asintótica de la función es única. ^[4] Es decir, los coeficientes se determinan de forma única de la siguiente manera: ${\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \pm \infty }$

No unicidad para una función dada

Una función dada puede tener muchas expansiones asintóticas (cada una con una escala asintótica diferente). ^[4] ${\displaystyle f(x)}$

subdominancia

Una expansión asintótica puede ser una expansión asintótica a más de una función. ^[4]

Ver también

Campos relacionados

• Análisis asintótico
• Perturbación singular

Métodos asintóticos

• El lema de Watson
• Transformación de Mellin
• El método de Laplace
• Aproximación de fase estacionaria
• Método de equilibrio dominante
• Método de descenso más pronunciado.

Notas

1. Jahnke, Hans Niels (2003). Una historia del análisis . Historia de las matemáticas. Providence (RI): sociedad matemática estadounidense. pag. 190.ISBN​ 978-0-8218-2623-2.
2. Boyd, John P. (1999), "La invención del diablo: series asintóticas, superasintóticas e hiperasintóticas" (PDF) , Acta Applicandae Mathematicae , 56 (1): 1–98, doi :10.1023/A:1006145903624, hdl : 2027.42 /41670.
3. O'Malley, Robert E. (2014), O'Malley, Robert E. (ed.), "Aproximaciones asintóticas", Desarrollos históricos en perturbaciones singulares , Cham: Springer International Publishing, págs. 27–51, doi : 10.1007 /978-3-319-11924-3_2, ISBN 978-3-319-11924-3, consultado el 4 de mayo de 2023
4. SJA Malham, "Una introducción al análisis asintótico", Universidad Heriot-Watt .

Referencias

• Ablowitz, MJ y Fokas, AS (2003). Variables complejas: introducción y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge .
• Bender, CM y Orszag, SA (2013). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I: métodos asintóticos y teoría de perturbaciones . Medios de ciencia y negocios de Springer .
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Expansiones asintóticas de integrales , Publicaciones de Dover .
• Carrier, GF, Krook, M. y Pearson, CE (2005). Funciones de una variable compleja: Teoría y técnica . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada .
• Copson, ET (1965), Expansiones asintóticas , Cambridge University Press .
• Dingle, RB (1973), Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press.
• Erdélyi, A. (1955), Expansiones asintóticas , Publicaciones de Dover .
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Expansiones asintóticas compuestas , Springer.
• Hardy, GH (1949), Serie Divergente , Oxford University Press .
• Olver, F. (1997). Asintóticas y funciones especiales . AK Peters/Prensa CRC.
• París, RB, Kaminsky, D. (2001), Asintóticas e integrales de Mellin-Barnes , Cambridge University Press .
• Whittaker, ET , Watson, GN (1963), Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press .

enlaces externos

• "Expansión asintótica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Series asintóticas