Secuencia de malabarista

En teoría de números , una secuencia de malabarista es una secuencia de números enteros que comienza con un entero positivo a ₀ , con cada término subsiguiente en la secuencia definido por la relación de recurrencia :

$${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$$

Fondo

Las secuencias de malabarista fueron publicitadas por el matemático y autor estadounidense Clifford A. Pickover . ^[1] El nombre se deriva de la naturaleza ascendente y descendente de las secuencias, como pelotas en las manos de un malabarista . ^[2]

Por ejemplo, la secuencia del malabarista que comienza con ₀ = 3 es

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.}$

Si una secuencia de malabarista llega a 1, entonces todos los términos subsiguientes son iguales a 1. Se conjetura que todas las secuencias de malabarista eventualmente llegan a 1. Esta conjetura se ha verificado para términos iniciales hasta 10 ⁶ , ^[3] pero no se ha demostrado. Por tanto, las secuencias de malabaristas presentan un problema similar a la conjetura de Collatz , sobre la cual Paul Erdős afirmó que "las matemáticas aún no están preparadas para tales problemas".

Para un término inicial dado n , se define l ( n ) como el número de pasos que la secuencia del malabarista que comienza en n toma para llegar primero a 1, y h ( n ) como el valor máximo en la secuencia del malabarista que comienza en n . Para valores pequeños de n tenemos:

Las secuencias de malabarista pueden alcanzar valores muy grandes antes de descender a 1. Por ejemplo, la secuencia de malabarista que comienza en 0 ₌ 37 alcanza un valor máximo de 24906114455136. Harry J. Smith ha determinado que la secuencia de malabarista que comienza en 0 ₌ 48443 alcanza un máximo valor en un ₆₀ con 972,463 dígitos, antes de llegar a 1 en un ₁₅₇ . ^[4]

Ver también

• Dinámica aritmética
• Conjetura de Collatz
• Relación de recurrencia

Referencias

1. Recogida, Clifford A. (1992). "Capítulo 40". Las computadoras y la imaginación . Prensa de San Martín. ISBN 978-0-312-08343-4.
2. Recogida, Clifford A. (2002). "Capítulo 45: Números de malabarista". Las matemáticas de Oz: gimnasia mental más allá del límite . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 102-106. ISBN 978-0-521-01678-0.
3. Weisstein, Eric W. "Secuencia del malabarista". MundoMatemático .
4. Carta de Harry J. Smith a Clifford A. Pickover, 27 de junio de 1992

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia del malabarista". MundoMatemático .
• Secuencia de malabarista (A094683) en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras . Ver también:
  • El número de pasos necesarios para la secuencia del malabarista (A094683) comenzó en n para llegar a 1.
  • n establece un nuevo récord para el número de iteraciones para llegar a 1 en el problema de secuencia del malabarista.
  • Número de pasos donde la secuencia Juggler alcanza un nuevo récord.
  • Número más pequeño que requiere n iteraciones para llegar a 1 en el problema de secuencia del malabarista.
  • Valores iniciales que producen un número de malabarista mayor que valores iniciales más pequeños.
• Calculadora de secuencia de malabarista en el Centro de cálculo de conjeturas de Collatz
• Páginas de números de malabarista de Harry J. Smith