Relación asimétrica

Una relación binaria que nunca ocurre en ambas direcciones.

En matemáticas , una relación asimétrica es una relación binaria en un conjunto donde para todo si está relacionado con entonces no está relacionado con ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a.}$

Definición formal

Preliminares

Una relación binaria en es cualquier subconjunto de Dado se escribe si y solo si lo que significa que es una abreviatura de La expresión se lee como " está relacionado con por " ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle (a,b)\in R,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle (a,b)\in R.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R.}$

Definición

La relación binaria se llama asimétrica si para todo si es verdadero entonces es falso; es decir, si entonces Esto se puede escribir en la notación de lógica de primer orden como Una definición lógicamente equivalente es: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRa}$ ${\displaystyle (a,b)\in R}$ ${\displaystyle (b,a)\not \in R.}$ $${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa).}$$

para todos al menos uno de y es falso , ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRa}$

que en lógica de primer orden puede escribirse como: Una relación es asimétrica si y sólo si es antisimétrica e irreflexiva , ^[2] por lo que esto también puede tomarse como una definición. $${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).}$$

Ejemplos

Un ejemplo de una relación asimétrica es la relación " menor que " entre números reales : si entonces necesariamente no es menor que De manera más general, cualquier orden parcial estricto es una relación asimétrica. No todas las relaciones asimétricas son órdenes parciales estrictos. Un ejemplo de una relación asimétrica no transitiva, incluso antitransitiva, es la relación piedra, papel o tijera : si gana entonces no gana y si gana y gana entonces no gana ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z.}$

Las restricciones y recíprocas de relaciones asimétricas también son asimétricas. Por ejemplo, la restricción de de los números reales a los enteros sigue siendo asimétrica, y la recíproca o dual de también es asimétrica. ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,<\,}$

Una relación asimétrica no necesita tener la propiedad conexa . Por ejemplo, la relación de subconjunto estricto es asimétrica y ninguno de los conjuntos y es un subconjunto estricto del otro. Una relación es conexa si y solo si su complemento es asimétrico. ${\displaystyle \,\subsetneq \,}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Un ejemplo de no-ejemplo es la relación "menor o igual que" . Esta no es asimétrica, porque al invertir, por ejemplo, se obtiene y ambas son verdaderas. La relación menor o igual que es un ejemplo de una relación que no es ni simétrica ni asimétrica, lo que demuestra que la asimetría no es lo mismo que "no simétrica ". ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle x\leq x}$ ${\displaystyle x\leq x}$

La relación vacía es la única relación que es ( vacuamente ) a la vez simétrica y asimétrica.

Propiedades

Las siguientes condiciones son suficientes para que una relación sea asimétrica: ^[3] ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R}$es irreflexiva y antisimétrica (esto también es necesario)
• ${\displaystyle R}$es irreflexiva y transitiva. Una relación transitiva es asimétrica si y solo si es irreflexiva: ^[4] si y la transitividad da irreflexividad contradictoria. Una relación de este tipo es un orden parcial estricto . ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRa,}$ ${\displaystyle aRa,}$
• ${\displaystyle R}$es irreflexiva y satisface la propiedad de semiorden 1 (no existen dos órdenes lineales de dos puntos mutuamente incomparables)
• ${\displaystyle R}$es antitransitivo y antisimétrico
• ${\displaystyle R}$es antitransitivo y transitivo
• ${\displaystyle R}$es antitransitivo y satisface la propiedad de semiorden 1

Véase también

• La axiomatización de los números reales de Tarski : parte de esto es el requisito de que todos los números reales sean asimétricos. ${\displaystyle \,<\,}$

Referencias

1. Gries, David ; Schneider, Fred B. (1993), Un enfoque lógico para las matemáticas discretas , Springer-Verlag, pág. 273.
2. Nievergelt, Yves (2002), Fundamentos de lógica y matemáticas: aplicaciones a la informática y la criptografía , Springer-Verlag, pág. 158.
3. Burghardt, Jochen (2018). "Leyes simples sobre propiedades no prominentes de relaciones binarias". arXiv : 1806.05036 .
4. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Cierres transitivos de relaciones binarias I (PDF) . Praga: Facultad de Matemáticas - Física de la Universidad Charles. p. 1. Archivado desde el original (PDF) el 2013-11-02 . Consultado el 20 de agosto de 2013 .Lema 1.1 (iv). Nótese que esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".