partición de markov

Una partición de Markov en matemáticas es una herramienta utilizada en la teoría de sistemas dinámicos , que permite aplicar los métodos de la dinámica simbólica al estudio de la dinámica hiperbólica . Al utilizar una partición de Markov, se puede hacer que el sistema se parezca a un proceso de Markov de tiempo discreto , con las características dinámicas a largo plazo del sistema representadas como un desplazamiento de Markov . La denominación 'Markov' es apropiada porque la dinámica resultante del sistema obedece a la propiedad de Markov . La partición de Markov permite así aplicar técnicas estándar de la dinámica simbólica , incluido el cálculo de valores esperados , correlaciones , entropía topológica , funciones zeta topológicas, determinantes de Fredholm y similares.

Motivación

Sea un sistema dinámico discreto. Un método básico para estudiar su dinámica es encontrar una representación simbólica : una codificación fiel de los puntos de por secuencias de símbolos de manera que el mapa se convierta en el mapa de desplazamiento . ${\displaystyle (M,\varphi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$

Supongamos que se ha dividido en una serie de piezas que se consideran pequeñas y localizadas, sin prácticamente superposiciones. El comportamiento de un punto bajo las iteraciones de se puede rastrear registrando, para cada uno , la parte que contiene . Esto da como resultado una secuencia infinita en el alfabeto que codifica el punto. En general, esta codificación puede ser imprecisa (la misma secuencia puede representar muchos puntos diferentes) y el conjunto de secuencias que surgen de esta manera puede ser difícil de describir. Bajo ciertas condiciones, que se hacen explícitas en la definición rigurosa de una partición de Markov, la asignación de la secuencia a un punto de se convierte en un mapa casi uno a uno cuya imagen es un sistema dinámico simbólico de un tipo especial llamado desplazamiento de tipo finito . En este caso, la representación simbólica es una poderosa herramienta para investigar las propiedades del sistema dinámico . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}(x)}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,r\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\varphi )}$

Definicion formal

Una partición de Markov ^[1] es una cobertura finita del conjunto invariante de la variedad por un conjunto de rectángulos curvilíneos tales que ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}\}}$

• Para cualquier par de puntos , eso ${\displaystyle x,y\in E_{i}}$ ${\displaystyle W_{s}(x)\cap W_{u}(y)\in E_{i}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}\cap \operatorname {Int} E_{j}=\emptyset }$para ${\displaystyle i\neq j}$
• Si y , entonces ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} E_{i}}$ ${\displaystyle \varphi (x)\in \operatorname {Int} E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{u}(\varphi x)\cap E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}}$

Aquí, y son las variedades inestable y estable de x , respectivamente, y simplemente denota el interior de . ${\displaystyle W_{u}(x)}$ ${\displaystyle W_{s}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Estas dos últimas condiciones pueden entenderse como un enunciado de la propiedad de Markov para la dinámica simbólica; es decir, el movimiento de una trayectoria de una cubierta abierta a la siguiente está determinado únicamente por la cubierta más reciente y no por la historia del sistema. Es esta propiedad de la cubierta la que merece la denominación de "Markov". La dinámica resultante es la de un desplazamiento de Markov ; que este sea efectivamente el caso se debe a los teoremas de Yakov Sinai (1968) ^[2] y Rufus Bowen (1975), ^[3] que colocan así la dinámica simbólica sobre una base firme.

Se encuentran variantes de la definición, correspondientes a condiciones sobre la geometría de las piezas . ^[4] ${\displaystyle E_{i}}$

Ejemplos

Se han construido particiones de Markov en varias situaciones.

• Difeomorfismos del toroide de Anosov . ^{[ cita necesaria ]}
• Billar dinámico , en cuyo caso la cobertura es contable. ^{[ cita necesaria ]}

Las particiones de Markov hacen que las órbitas homoclínicas y heteroclínicas sean particularmente fáciles de describir. ^{[ cita necesaria ]}

El sistema tiene la partición de Markov , y en este caso la representación simbólica de un número real es su expansión binaria. Por ejemplo: . La asignación de puntos de a sus secuencias en la partición de Markov está bien definida excepto en los racionales diádicos; moralmente hablando, esto se debe a que , de la misma manera que en las expansiones decimales. ${\displaystyle ([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)}$ ${\displaystyle E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle x\in E_{0},Tx\in E_{1},T^{2}x\in E_{1},T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110...)_{2}}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}}$ ${\displaystyle 1=0.999\dots }$

Referencias

1. Gaspard, Pierre (1998). Caos, dispersión y mecánica estadística . Serie de ciencias no lineales de Cambridge. vol. 9. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-39511-3. Zbl  0915.00011.
2. Sinaĭ, Ja. G. (1968), "Particiones de Markov y difeomorfismos U", Akademija Nauk SSSR , 2 (1): 64–89, MR  0233038. Sinaĭ, Ja. G. (1968), "Construcción de particiones de Markov", Akademija Nauk SSSR , 2 (3): 70–80, MR  0250352.
3. Pytheas Fogg (2002), pág. 208.
4. Pytheas Fogg (2002), pág. 206.

• Lind, Douglas; Marco, Brian (1995). Una introducción a la dinámica simbólica y la codificación. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55124-3. Zbl  1106.37301.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl  1014.11015.