Partición de Markov

Una partición de Markov en matemáticas es una herramienta utilizada en la teoría de sistemas dinámicos , que permite aplicar los métodos de dinámica simbólica al estudio de la dinámica hiperbólica . Al utilizar una partición de Markov, se puede hacer que el sistema se asemeje a un proceso de Markov de tiempo discreto , con las características dinámicas de largo plazo del sistema representadas como un desplazamiento de Markov . La denominación "Markov" es apropiada porque la dinámica resultante del sistema obedece a la propiedad de Markov . La partición de Markov permite así aplicar técnicas estándar de dinámica simbólica , incluido el cálculo de valores esperados , correlaciones , entropía topológica , funciones zeta topológicas, determinantes de Fredholm y similares.

Motivación

Sea un sistema dinámico discreto. Un método básico para estudiar su dinámica es encontrar una representación simbólica : una codificación fiel de los puntos de mediante secuencias de símbolos de manera que la función se convierta en la función de desplazamiento . ${\displaystyle (M,\varphi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$

Supongamos que se ha dividido en una serie de piezas que se consideran pequeñas y localizadas, sin prácticamente ninguna superposición. El comportamiento de un punto bajo las iteraciones de se puede rastrear registrando, para cada , la parte que contiene . Esto da como resultado una secuencia infinita en el alfabeto que codifica el punto. En general, esta codificación puede ser imprecisa (la misma secuencia puede representar muchos puntos diferentes) y el conjunto de secuencias que surgen de esta manera puede ser difícil de describir. Bajo ciertas condiciones, que se hacen explícitas en la definición rigurosa de una partición de Markov, la asignación de la secuencia a un punto de se convierte en una función casi uno a uno cuya imagen es un sistema dinámico simbólico de un tipo especial llamado desplazamiento de tipo finito . En este caso, la representación simbólica es una herramienta poderosa para investigar las propiedades del sistema dinámico . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}(x)}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,r\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\varphi )}$

Definición formal

Una partición de Markov ^[1] es una cubierta finita del conjunto invariante de la variedad por un conjunto de rectángulos curvilíneos tales que ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}\}}$

• Para cualquier par de puntos , que ${\displaystyle x,y\in E_{i}}$ ${\displaystyle W_{s}(x)\cap W_{u}(y)\in E_{i}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}\cap \operatorname {Int} E_{j}=\emptyset }$para ${\displaystyle i\neq j}$
• Si y , entonces ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} E_{i}}$ ${\displaystyle \varphi (x)\in \operatorname {Int} E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{u}(\varphi x)\cap E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}}$

Aquí, y son las variedades inestable y estable de x , respectivamente, y simplemente denota el interior de . ${\displaystyle W_{u}(x)}$ ${\displaystyle W_{s}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Estas dos últimas condiciones pueden entenderse como una declaración de la propiedad de Markov para la dinámica simbólica; es decir, el movimiento de una trayectoria desde una cubierta abierta a la siguiente está determinado únicamente por la cubierta más reciente, y no por la historia del sistema. Es esta propiedad de la cubierta la que merece el apelativo de "Markov". La dinámica resultante es la de un desplazamiento de Markov ; que esto sea así se debe a los teoremas de Yakov Sinai (1968) ^[2] y Rufus Bowen (1975) ^[3] , que colocan así la dinámica simbólica sobre una base firme.

Se encuentran variantes de la definición, correspondientes a condiciones sobre la geometría de las piezas . ^[4] ${\displaystyle E_{i}}$

Ejemplos

Se han construido particiones de Markov en varias situaciones.

• Difeomorfismos de Anosov del toro . ^{[ cita requerida ]}
• Billar dinámico , en cuyo caso la cobertura es contable. ^{[ cita requerida ]}

Las particiones de Markov hacen que las órbitas homoclínicas y heteroclínicas sean particularmente fáciles de describir. ^{[ cita requerida ]}

El sistema tiene la partición de Markov y, en este caso, la representación simbólica de un número real en es su expansión binaria. Por ejemplo: . La asignación de puntos de a sus secuencias en la partición de Markov está bien definida excepto en los racionales diádicos -moralmente hablando, esto se debe a que , de la misma manera que en las expansiones decimales. ${\displaystyle ([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)}$ ${\displaystyle E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle x\in E_{0},Tx\in E_{1},T^{2}x\in E_{1},T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110...)_{2}}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}}$ ${\displaystyle 1=0.999\dots }$

Referencias

1. Gaspard, Pierre (1998). Caos, dispersión y mecánica estadística . Cambridge Nonlinear Science Series. Vol. 9. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-39511-3.Zbl 0915.00011  .
2. Sinaĭ, Ja. G. (1968), "Particiones de Markov y difeomorfismos U", Akademija Nauk SSSR , 2 (1): 64–89, MR  0233038. Sinaĭ, Ja. G. (1968), "Construcción de particiones de Markov", Akademija Nauk SSSR , 2 (3): 70–80, MR  0250352.
3. Pytheas Fogg (2002), pág. 208.
4. Pytheas Fogg (2002), pág. 206.

• Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). Introducción a la dinámica simbólica y la codificación. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55124-3.Zbl 1106.37301  .
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0.Zbl 1014.11015  .