En el campo matemático de la teoría de nudos , un nudo quiral es un nudo que no es equivalente a su imagen especular (cuando es idéntico mientras está invertido). Un nudo orientado que es equivalente a su imagen especular es un nudo anfiquiral , también llamado nudo aquiral . La quiralidad de un nudo es un nudo invariante . La quiralidad de un nudo se puede clasificar además dependiendo de si es invertible o no .
Sólo hay cinco tipos de simetría de nudos, indicados por quiralidad e invertibilidad: completamente quiral, invertible, positivamente anficario no invertible, negativamente anficario no invertible y completamente anficario invertible. [1]
La posible quiralidad de ciertos nudos se sospechó desde 1847 cuando Johann Listing afirmó que el trébol era quiral, [2] y esto fue demostrado por Max Dehn en 1914. PG Tait encontró todos los nudos anfiquiales hasta 10 cruces y conjeturó que todos los nudos anfiquiales tenían un número par de cruces . Mary Gertrude Haseman encontró todos los nudos anfiquiales de 12 cruces y muchos de 14 cruces a fines de la década de 1910. [3] [4] Pero un contraejemplo a la conjetura de Tait, un nudo anfiquial de 15 cruces, fue encontrado por Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite y Jeff Weeks en 1998. [5] Sin embargo, la conjetura de Tait se demostró verdadera para nudos primos , alternados . [6]
El nudo quiral más simple es el nudo de trébol , que Max Dehn demostró que es quiral . Todos los nudos de toro no triviales son quirales. El polinomio de Alexander no puede distinguir un nudo de su imagen especular, pero el polinomio de Jones puede en algunos casos; si V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), entonces el nudo es quiral, sin embargo, la inversa no es cierta. El polinomio HOMFLY es incluso mejor para detectar la quiralidad, pero no se conoce ningún invariante de nudo polinómico que pueda detectar completamente la quiralidad. [7]
Un nudo quiral que puede deformarse suavemente hacia sí mismo con la orientación opuesta se clasifica como un nudo invertible . [8] Los ejemplos incluyen el nudo de trébol.
Si un nudo no es equivalente a su inverso o su imagen especular, es un nudo completamente quiral, por ejemplo el nudo 9 32. [8]
Un nudo anficario es aquel que tiene un homeomorfismo de inversión de la orientación de la esfera 3 , α, que fija el nudo en su conjunto. Todos los nudos anficarios alternados tienen un número de cruces par . El primer nudo anficario con un número de cruces impar es un nudo de 15 cruces descubierto por Hoste et al. [6]
Si un nudo es isotópico tanto respecto de su reverso como de su imagen especular, es completamente anficario. El nudo más simple con esta propiedad es el nudo en forma de ocho .
Si el autohomeomorfismo, α, conserva la orientación del nudo, se dice que es anficario positivo. Esto es equivalente a que el nudo sea isotópico respecto de su espejo. Ningún nudo con un número de cruces menor que doce es anficario positivo y no invertible. [8]
Si el autohomeomorfismo, α, invierte la orientación del nudo, se dice que es anficario negativo. Esto es equivalente a que el nudo sea isotópico al reverso de su imagen especular. El nudo no invertible con esta propiedad que tiene menos cruces es el nudo 8 17 . [8]