En matemáticas combinatorias , una geometría de Dowling , llamada así por Thomas A. Dowling, es un matroide asociado a un grupo . Existe una geometría de Dowling de cada rango para cada grupo. Si el rango es al menos 3, la geometría de Dowling determina de forma única el grupo. Las geometrías de Dowling tienen un papel en la teoría de matroides como objetos universales (Kahn y Kung, 1982); en ese sentido son análogas a las geometrías proyectivas , pero basadas en grupos en lugar de cuerpos .
Una red de Dowling es una red geométrica de planos asociados a una geometría de Dowling. La red y la geometría son matemáticamente equivalentes: conocer una determina la otra. Las redes de Dowling y, por implicación, las geometrías de Dowling, fueron introducidas por Dowling (1973a,b).
Una red de Dowling o geometría de rango n de un grupo G a menudo se denota Q n ( G ).
En su primer artículo (1973a) Dowling definió la red de Dowling de rango n del grupo multiplicativo de un cuerpo finito F . Es el conjunto de todos aquellos subespacios del espacio vectorial F n que son generados por subconjuntos del conjunto E que consiste en vectores con como máximo dos coordenadas distintas de cero. La geometría de Dowling correspondiente es el conjunto de subespacios vectoriales unidimensionales generados por los elementos de E .
En su segundo artículo (1973b) Dowling dio una definición intrínseca de la red de Dowling de rango n de cualquier grupo finito G . Sea S el conjunto {1,..., n }. Un conjunto etiquetado como G ( T , α ) es un conjunto T junto con una función α : T → G . Dos conjuntos etiquetados como G , ( T , α ) y ( T , β ), son equivalentes si hay un elemento de grupo, g , tal que β = gα . Una clase de equivalencia se denota [ T , α ]. Una partición G parcial de S es un conjunto γ = {[ B 1 , α 1 ], ..., [ B k , α k ]} de clases de equivalencia de conjuntos etiquetados como G tales que B 1 , ..., B k son subconjuntos no vacíos de S que son disjuntos por pares. ( k puede ser igual a 0.) Se dice que una G -partición parcial γ es ≤ otra, γ *, si
Esto da un ordenamiento parcial del conjunto de todas las G -particiones parciales de S. El conjunto parcialmente ordenado resultante es la red de Dowling Q n ( G ).
Las definiciones son válidas incluso si F o G son infinitos, aunque Dowling sólo mencionó campos y grupos finitos.
Doubilet, Rota y Stanley (1972) dieron una definición gráfica . Nosotros damos la definición gráfica ligeramente más simple (pero esencialmente equivalente) de Zaslavsky (1991), expresada en términos de gráficos de ganancia .
Tome n vértices, y entre cada par de vértices, v y w , tome un conjunto de | G | aristas paralelas etiquetadas por cada uno de los elementos del grupo G . Las etiquetas están orientadas, en el sentido de que, si la etiqueta en la dirección de v a w es el elemento del grupo g , entonces la etiqueta de la misma arista en la dirección opuesta, de w a v , es g −1 . Por lo tanto, la etiqueta de una arista depende de la dirección de la arista; tales etiquetas se denominan ganancias . También agregue a cada vértice un bucle cuya ganancia sea cualquier valor distinto de 1. (1 es el elemento de identidad del grupo ). Esto da un grafo que se llama GK n o (observe el círculo en relieve). (Se necesita una definición ligeramente diferente para el grupo trivial; las aristas agregadas deben ser medias aristas ).
Un ciclo en el gráfico tiene entonces una ganancia. El ciclo es una secuencia de aristas, e 1 e 2 ··· e k . Supongamos que las ganancias de estas aristas, en una dirección fija alrededor del ciclo, son g 1 , g 2 , ..., g k . Entonces la ganancia del ciclo es el producto, g 1 g 2 ··· g k . El valor de esta ganancia no está completamente bien definido, ya que depende de la dirección elegida para el ciclo y de la que se denomina la "primera" arista del ciclo. Lo que es independiente de estas elecciones es la respuesta a la siguiente pregunta: ¿la ganancia es igual a 1 o no? Si es igual a 1 bajo un conjunto de elecciones, entonces también es igual a 1 bajo todos los conjuntos de elecciones.
Para definir la geometría de Dowling, especificamos los circuitos (conjuntos mínimos dependientes). Los circuitos del matroide son
Por lo tanto, la geometría de Dowling Q n ( G ) es el matroide de trama (o matroide de polarización) del gráfico de ganancia GK n o (el círculo en relieve indica la presencia de bucles). Otras definiciones equivalentes se describen en el artículo sobre gráficos de ganancia .
Una razón para el interés en las redes de Dowling es que el polinomio característico es muy simple. Si L es la red de Dowling de rango n de un grupo finito G que tiene m elementos, entonces
una fórmula excepcionalmente simple para cualquier red geométrica.
También existe una geometría de Dowling, de rango 3 únicamente, asociada con cada cuasigrupo ; véase Dowling (1973b). Esto no se generaliza de manera directa a rangos superiores. Existe una generalización debida a Zaslavsky (2012) que involucra cuasigrupos n -arios.
![{\displaystyle p_{L}(y)=(y-1)(ym-1)\cdots (y-[n-1]m-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcd912b73b5a1a423da61ee6d4f4c214993185f)