Función zeta de Dedekind

Generalización de la función zeta de Riemann para campos numéricos algebraicos

En matemáticas , la función zeta de Dedekind de un cuerpo numérico algebraico K , generalmente denotada como ζ _K ( s ), es una generalización de la función zeta de Riemann (que se obtiene en el caso en que K es el cuerpo de números racionales Q ). Puede definirse como una serie de Dirichlet , tiene una expansión del producto de Euler , satisface una ecuación funcional , tiene una continuación analítica de una función meromórfica en el plano complejo C con solo un polo simple en s  = 1, y sus valores codifican datos aritméticos de K . La hipótesis de Riemann extendida establece que si ζ _K ( s ) = 0 y 0 < Re( s ) < 1, entonces Re( s ) = 1/2.

La función zeta de Dedekind lleva el nombre de Richard Dedekind , quien la introdujo en su suplemento de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^[1]

Definición y propiedades básicas.

Sea K un cuerpo numérico algebraico . Su función zeta de Dedekind se define por primera vez para números complejos s con parte real Re( s ) > 1 mediante la serie de Dirichlet.

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} }(I))^{s}}}}$

donde I abarca los ideales distintos de cero del anillo de números enteros  O  K _de K y N K _{/ Q (} I ) denota la norma absoluta de I (que es igual tanto al índice [ OK _: I ] de I en O _K o equivalentemente la cardinalidad del anillo cociente O _K  /  I ). Esta suma converge absolutamente para todos los números complejos s con parte real Re( s ) > 1. En el caso K  =  Q , esta definición se reduce a la de la función zeta de Riemann.

Producto Euler

La función zeta de Dedekind tiene un producto de Euler que es un producto de todos los ideales primos distintos de cero de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N_{K/\mathbf {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ for Re}}(s)>1.}$

Ésta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de ideales en . Porque es distinto de cero. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)}$

Continuación analítica y ecuación funcional.

Erich Hecke demostró por primera vez que ζ _K ( s ) tiene una continuación analítica de una función meromorfa que es analítica en todos los puntos del plano complejo excepto en un polo simple en s  = 1. El residuo en ese polo viene dado por el número de clase analítica fórmula y se compone de importantes datos aritméticos que involucran invariantes del grupo unitario y del grupo de clases de K.

La función zeta de Dedekind satisface una ecuación funcional que relaciona sus valores en s y 1 −  s . Específicamente, sea Δ _K el discriminante de K , sea r ₁ (resp. r _{2 ) el número de} lugares reales (resp. lugares complejos) de K , y sea

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

y

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}$

donde Γ( s ) es la función gamma . Entonces, las funciones

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbf {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)\qquad \Xi _{K}(s)={\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{2}}+is)}$

satisfacer la ecuación funcional

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s).\qquad \Xi _{K}(-s)=\Xi _{K}(s)\;}$

Valores especiales

De manera análoga a la función zeta de Riemann, los valores de la función zeta de Dedekind en números enteros codifican (al menos conjeturalmente) datos aritméticos importantes del campo K. Por ejemplo, la fórmula analítica del número de clase relaciona el residuo en s  = 1 con el número de clase h ( K ) de K , el regulador R ( K ) de K , el número w ( K ) de raíces de unidad en K , el absoluto discriminante de K , y el número de lugares reales y complejos de K . Otro ejemplo es en s  = 0 donde tiene un cero cuyo orden r es igual al rango del grupo unitario de O _K y el término principal está dado por

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}s^{-r}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.}$

De la ecuación funcional se deduce que . Combinando la ecuación funcional y el hecho de que Γ( s ) es infinito en todos los números enteros menores o iguales a cero se obtiene que ζ _K ( s ) desaparece en todos los números enteros pares negativos. Incluso desaparece en todos los enteros impares negativos a menos que K sea totalmente real (es decir, r ₂  = 0; por ejemplo, Q o un campo cuadrático real ). En el caso totalmente real, Carl Ludwig Siegel demostró que ζ _K ( s ) es un número racional distinto de cero en números enteros negativos e impares. Stephen Lichtenbaum conjeturó valores específicos para estos números racionales en términos de la teoría K algebraica de K. ${\displaystyle r=r_{1}+r_{2}-1}$

Relaciones con otrosl-funciones

Para el caso en el que K es una extensión abeliana de Q , su función zeta de Dedekind se puede escribir como un producto de las funciones L de Dirichlet . Por ejemplo, cuando K es un campo cuadrático esto muestra que la razón

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}}}$

es la función L L ( s , χ), donde χ es un símbolo de Jacobi utilizado como carácter de Dirichlet . Que la función zeta de un campo cuadrático sea un producto de la función zeta de Riemann y una determinada función L de Dirichlet es una formulación analítica de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.

En general, si K es una extensión de Galois de Q con grupo de Galois G , su función zeta de Dedekind es la función Artin L de la representación regular de G y, por tanto, tiene una factorización en términos de funciones Artin L de representaciones irreducibles de Artin de G. .

La relación con las funciones L de Artin muestra que si L / K es una extensión de Galois, entonces es holomorfa ( "divide" ): para extensiones generales , el resultado se seguiría de la conjetura de Artin para las funciones L. ^[2] ${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$ ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ ${\displaystyle \zeta _{L}(s)}$

Además, ζ _K ( s ) es la función zeta de Hasse-Weil de Spec O K _[ ^3] y la función L motívica del motivo procedente de la cohomología de Spec K. ^[4]

Campos aritméticamente equivalentes

Dos campos se denominan aritméticamente equivalentes si tienen la misma función zeta de Dedekind. Wieb Bosma y Bart de Smit (2002) utilizaron triples de Gassmann para dar algunos ejemplos de pares de campos no isomorfos que son aritméticamente equivalentes. En particular, algunos de estos pares tienen números de clase diferentes, por lo que la función zeta de Dedekind de un campo numérico no determina su número de clase.

Perlis (1977) demostró que dos campos numéricos K y L son aritméticamente equivalentes si y sólo si todos los números primos p, excepto un número finito, tienen los mismos grados de inercia en los dos campos, es decir, si los ideales primos en K están sobre p , entonces las tuplas deben ser las mismas para K y L para casi todos los p . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle (\dim _{\mathbf {Z} /p}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i})}$

Notas

1. Narkiewicz 2004, §7.4.1
2. Martinet (1977) p.19
3. Deninger 1994, §1
4. Flach 2004, §1.1

Referencias

• Bosma, Wieb; de Smit, Bart (2002), "Sobre campos numéricos aritméticamente equivalentes de pequeño grado", en Kohel, David R.; Fieker, Claus (eds.), Teoría algorítmica de números (Sydney, 2002) , Lecture Notes in Comput. Ciencia, vol. 2369, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 67–79, doi :10.1007/3-540-45455-1_6, ISBN 978-3-540-43863-2, señor  2041074
• Sección 10.5.1 de Cohen, Henri (2007), Teoría de números, Volumen II: Herramientas analíticas y modernas , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 240, Nueva York: Springer, doi :10.1007/978-0-387-49894-2, ISBN 978-0-387-49893-5, señor  2312338
• Deninger, Christopher (1994), " L -funciones de motivos mixtos", en Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motivos, Parte 1 , Actas de simposios de matemática pura, vol. 55, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 517–525, ISBN 978-0-8218-1635-6
• Flach, Mathias (2004), "La conjetura del número equivariante de Tamagawa: una encuesta", en Burns, David; Popescu, cristiano; Arenas, Jonathan; et al. (eds.), Las conjeturas de Stark: trabajos recientes y nuevas direcciones (PDF) , Matemáticas contemporáneas, vol. 358, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 79-125, ISBN 978-0-8218-3480-0
• Martinet, J. (1977), "Teoría de caracteres y funciones L de Artin", en Fröhlich, A. (ed.), Campos numéricos algebraicos, Proc. Síntoma. Matemáticas de Londres. Soc., Univ. Durham 1975 , Academic Press, págs. 1–87, ISBN 0-12-268960-7, Zbl  0359.12015
• Narkiewicz, Władysław (2004), Teoría elemental y analítica de números algebraicos , Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlín: Springer-Verlag, Capítulo 7, ISBN 978-3-540-21902-6, señor  2078267
• Perlis, Robert (1977), "Sobre la ecuación ", Journal of Number Theory , 9 (3): 342–360, doi : 10.1016/0022-314X(77)90070-1 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta _{K'}(s)}$