En matemáticas , una forma de Clifford-Klein es un espacio de doble clase lateral .
donde G es un grupo de Lie reductivo , H un subgrupo cerrado de G y Γ un subgrupo discreto de G que actúa de forma propiamente discontinua en el espacio homogéneo G / H . Un subgrupo discreto adecuado Γ puede existir o no, para un G y H dados . Si Γ existe, queda la cuestión de si Γ\ G / H puede tomarse como un espacio compacto , llamado forma compacta de Clifford–Klein .
Cuando H es compacto, los resultados clásicos muestran que existe una forma compacta de Clifford-Klein. De lo contrario, puede que no exista, y hay varios resultados negativos.
Según Moritz Epple , las formas de Clifford-Klein comenzaron cuando W. K. Clifford utilizó cuaterniones para torcer su espacio. "Cada torsión poseía una familia de líneas invariantes que llenaban el espacio", los paralelos de Clifford . Formaban "una estructura particular incrustada en el espacio 3-elíptico", la superficie de Clifford , que demostraba que "la misma geometría local puede estar ligada a espacios que son globalmente diferentes". Wilhelm Killing pensaba que para la libre movilidad de los cuerpos rígidos hay cuatro espacios: euclidiano, hiperbólico, elíptico y esférico. Son espacios de curvatura constante pero la curvatura constante difiere de la libre movilidad: es local, la otra es tanto local como global. La contribución de Killing a las formas espaciales de Clifford-Klein implicó la formulación en términos de grupos , la búsqueda de nuevas clases de ejemplos y la consideración de la relevancia científica de los espacios de curvatura constante. Asumió la tarea de desarrollar teorías físicas de las formas espaciales de CK. Karl Schwarzchild escribió “La medida admisible de la curvatura del espacio” y señaló en un apéndice que el espacio físico puede en realidad ser un espacio no estándar de curvatura constante.