Correlación financiera

Medida de la relación entre dos o más variables financieras a lo largo del tiempo

Las correlaciones financieras miden la relación entre los cambios de dos o más variables financieras a lo largo del tiempo. Por ejemplo, los precios de las acciones y los bonos con interés fijo suelen moverse en direcciones opuestas: cuando los inversores venden acciones, suelen utilizar los ingresos obtenidos para comprar bonos y viceversa. En este caso, los precios de las acciones y los bonos están correlacionados negativamente.

Las correlaciones financieras desempeñan un papel fundamental en las finanzas modernas . Según el modelo de valoración de activos de capital (CAPM, por sus siglas en inglés; un modelo reconocido por un premio Nobel ), un aumento en la diversificación aumenta la relación riesgo/rendimiento. Las medidas de riesgo incluyen el valor en riesgo , el déficit esperado y la varianza del rendimiento de la cartera . ^[1]

Correlación financiera y coeficiente de correlación producto-momento de Pearson

Existen varias medidas estadísticas del grado de correlaciones financieras. El coeficiente de correlación producto-momento de Pearson se aplica a veces a las correlaciones financieras. Sin embargo, las limitaciones del enfoque de correlación de Pearson en finanzas son evidentes. En primer lugar, las dependencias lineales evaluadas por el coeficiente de correlación de Pearson no aparecen a menudo en finanzas. En segundo lugar, las medidas de correlación lineal son solo medidas de dependencia natural si la distribución conjunta de las variables es elíptica . Sin embargo, solo unas pocas distribuciones financieras, como la distribución normal multivariada y la distribución t de Student multivariada, son casos especiales de distribuciones elípticas, para las que la medida de correlación lineal puede interpretarse de manera significativa. En tercer lugar, un coeficiente de correlación producto-momento de Pearson cero no significa necesariamente independencia, porque solo se consideran los dos primeros momentos. Por ejemplo, ( y  ≠ 0) conducirá a un coeficiente de correlación de Pearson de cero, lo que podría ser engañoso. ^[2] Dado que el enfoque de Pearson no es satisfactorio para modelar correlaciones financieras, los analistas cuantitativos han desarrollado medidas de correlación financiera específicas. Para estimar con precisión las correlaciones es necesario que el proceso de modelado de las marginales incorpore características como la asimetría y la curtosis . No tener en cuenta estos atributos puede dar lugar a un grave error de estimación en las correlaciones y covarianzas que tienen sesgos negativos (hasta el 70% de los valores reales). ^[3] En una aplicación práctica de la optimización de carteras, la estimación precisa de la matriz de varianza-covarianza es primordial. Por lo tanto, la previsión con simulación de Montecarlo con la cópula gaussiana y distribuciones marginales bien especificadas es eficaz. ^[4] ${\displaystyle Y=X^{2}}$

Medidas de correlación financiera

Movimientos brownianos de correlación

Steven Heston aplicó un enfoque de correlación ^[5] para correlacionar negativamente los rendimientos estocásticos de las acciones y la volatilidad estocástica . Las ecuaciones centrales del modelo original de Heston son las dos ecuaciones diferenciales estocásticas , SDE ${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}}$ ${\displaystyle \ \sigma (t)}$

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=\mu \,dt+\sigma (t)\,dz_{1}(t)}$(1)

y

${\displaystyle d\sigma ^{2}(t)=g[\sigma _{L}^{2}-\sigma ^{2}(t)]\,dt+\xi \sigma (t)\,dz_{2}(t)}$(2)

donde S es el stock subyacente, es la tasa de crecimiento esperada de , y es la volatilidad estocástica de en el momento t. En la ecuación (2), g es la tasa de reversión a la media (gravedad), que atrae la varianza a su media de largo plazo , y es la volatilidad de la volatilidad σ(t). dz(t) es el movimiento browniano estándar , es decir , es iid , en particular es una extracción aleatoria de una distribución normal estandarizada n~(0,1). En la ecuación (1), el subyacente sigue el movimiento browniano geométrico estándar, que también se aplica en el modelo Black–Scholes–Merton , que sin embargo supone una volatilidad constante. La correlación entre los procesos estocásticos (1) y (2) se introduce correlacionando los dos movimientos brownianos y . La correlación instantánea entre los movimientos brownianos es ${\displaystyle \ \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ \sigma (t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}(t)}$ ${\displaystyle \sigma _{L}^{2}}$ ${\displaystyle \ \xi }$ ${\displaystyle dz(t)=\varepsilon _{t}{\sqrt {dt}}}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle dz_{1}}$ ${\displaystyle dz_{2}}$ ${\displaystyle \ \rho }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} [dz_{1}(t),dz_{2}(t)]=\rho \,dt}$(3).

La definición (3) se puede modelar convenientemente con la identidad

${\displaystyle dz_{1}(t)={\sqrt {\rho }}dz_{2}(t)+{\sqrt {1-\rho }}\,dz_{3}(t)}$(4)

donde y son independientes, y y son independientes, t ≠ t'. ${\displaystyle dz_{2}(t)}$ ${\displaystyle dz_{3}(t)}$ ${\displaystyle dz(t)}$ ${\displaystyle dz(t')}$

La SDE de cointelación ^[6] conecta las SDE anteriores con el concepto de reversión a la media y deriva, que son conceptos que los profesionales suelen malinterpretar ^{[7] .}

El coeficiente de correlación binomial

Otra medida de correlación financiera, aplicada principalmente a la correlación de incumplimiento, ^{[¿ según quién? ]} es el enfoque de correlación binomial de Lucas (1995). ^[8] Definimos los eventos binomiales y donde es el tiempo de incumplimiento de la entidad y es el tiempo de incumplimiento de la entidad . Por lo tanto, si la entidad incumple antes o en el tiempo , la variable indicadora aleatoria tomará el valor en 1, y 0 en caso contrario. Lo mismo se aplica a . Además, y es la probabilidad de incumplimiento de y respectivamente, y es la probabilidad conjunta de incumplimiento . La desviación estándar de un evento binomial de un ensayo es , donde P es la probabilidad del resultado X. Por lo tanto, derivamos el coeficiente de dependencia de incumplimiento conjunto de los eventos binomiales y como ${\displaystyle 1_{X}=1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$ ${\displaystyle 1_{Y}=1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$ ${\displaystyle \tau _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1_{X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle P(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P(XY)}$ ${\displaystyle {\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}}$ ${\displaystyle 1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$ ${\displaystyle 1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$

${\displaystyle \rho (1_{\{\tau _{X}\leq T\}},1_{\{\tau _{Y}\leq T\}})={\frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P(Y))^{2}}}}}}$(5).

Por su construcción, la ecuación (5) sólo puede modelar eventos binomiales, por ejemplo, incumplimiento y no incumplimiento. El enfoque de correlación binomial de la ecuación (5) es un caso límite del enfoque de correlación de Pearson analizado en la sección 1. En consecuencia, las deficiencias significativas del enfoque de correlación de Pearson para el modelado financiero se aplican también al modelo de correlación binomial. ^{[ cita requerida ]}

Correlaciones de cópula

Un enfoque de correlación bastante reciente, famoso y también infame, aplicado en finanzas es el enfoque de cópulas . Las cópulas se remontan a Sklar (1959). ^[9] Las cópulas fueron introducidas en finanzas por Vasicek (1987) ^[10] y Li (2000). ^[11]

Las cópulas simplifican los problemas estadísticos. Permiten unir múltiples distribuciones univariadas en una única distribución multivariada. Formalmente, una función cópula C transforma una función n-dimensional en el intervalo [0,1] en una unidimensional:

${\displaystyle C:[0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}$(6).

Más explícitamente, sea un vector aleatorio uniforme con y . Entonces existe una función cópula tal que ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}=u_{1},...,u_{n},u_{i}\in [0,1]}$ ${\displaystyle i\in N}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=F[F_{1}^{-1}(u_{1}),\ldots ,F_{n}^{-1}(u_{n})]}$(7)

donde F es la función de distribución acumulativa conjunta y , i = 1, ..., n _i son las distribuciones marginales univariadas. es la inversa de . Si las distribuciones marginales son continuas, se deduce que C es única. Para las propiedades y demostraciones de la ecuación (11), véase Sklar (1959) y Nelsen (2006). ^[12] Existen numerosos tipos de funciones cópula. Se pueden categorizar ampliamente en cópulas de un parámetro como la cópula gaussiana y la cópula arquimediana, que comprenden las cópulas de Gumbel, Clayton y Frank. Las cópulas de dos parámetros que se citan a menudo son la t de Student, la de Fréchet y la de Marshall-Olkin. Para una descripción general de estas cópulas, véase Nelsen (2006). En finanzas, las cópulas se aplican típicamente para derivar probabilidades de incumplimiento correlacionadas en una cartera, ^{[ ¿ según quién? ]} por ejemplo en una obligación de deuda colateralizada , CDO. Li fue el primero en hacer esto en 2006. Definió los márgenes uniformes como probabilidades de incumplimiento acumuladas Q para la entidad i en un tiempo fijo t, : ${\displaystyle \ F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle \ F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}^{-1}(u_{i})}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}(t)}$

${\displaystyle \ u_{i}=Q_{i}(t)}$(8).

Por lo tanto, de las ecuaciones (7) y (8) derivamos la cópula temporal gaussiana predeterminada CGD,

${\displaystyle C_{GD}(u_{1},\ldots ,u_{n})=M_{n,R}[N_{1}^{-1}(Q_{1}(t)),\ldots ,N_{n}^{-1}(Q_{n}(t))]}$(9).

En la ecuación (9), los términos asignan las probabilidades de incumplimiento acumuladas Q del activo i para el tiempo t, percentil a percentil a normal estándar. Las distribuciones marginales normales estándar asignadas se unen luego a una única distribución de n variables mediante la aplicación de la estructura de correlación de la distribución normal multivariada con la matriz de correlación R. La probabilidad de n incumplimientos correlacionados en el tiempo t está dada por . ${\displaystyle N_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle Q_{i}(t)}$ ${\displaystyle N_{i}^{-1}Q_{i}(t)}$ ${\displaystyle M_{n,R}}$ ${\displaystyle M_{n,R}}$

Las cópulas y la crisis financiera de 2007-2008

Se han escrito numerosos artículos no académicos que demonizan el enfoque de cópula y lo culpan por la crisis financiera mundial de 2007/2008; véase, por ejemplo, Salmon 2009, ^[13] Jones 2009, ^[14] y Lohr 2009. ^[15] Hay tres críticas principales al enfoque de cópula: (a) dependencia de la cola, (b) calibración, (c) gestión de riesgos .

(a) Dependencia de la cola

En una crisis, las correlaciones financieras suelen aumentar (véanse los estudios de Das, Duffie, Kapadia y Saita (2007) ^[16] y Duffie, Eckner, Horel y Saita (2009) ^[17] y las referencias allí citadas). Por lo tanto, sería deseable aplicar un modelo de correlación con altos co-movimientos en la cola inferior de la distribución conjunta. Se puede demostrar matemáticamente que la cópula gaussiana tiene una dependencia de cola relativamente baja, como se ve en los siguientes diagramas de dispersión. ^{[ cita requerida ]}

Figura 1: Diagramas de dispersión de diferentes modelos de cópula

Como se ve en la Figura 1b, la cópula t de Student muestra una mayor dependencia de cola y podría ser más adecuada para modelar correlaciones financieras. Además, como se ve en la Figura 1(c), la cópula de Gumbel muestra una alta dependencia de cola, especialmente para co-movimientos negativos. Suponiendo que las correlaciones aumentan cuando los precios de los activos disminuyen, la cópula de Gumbel también podría ser un buen enfoque de correlación para el modelado financiero. ^[18]

(b) Calibración

Otra crítica a la cópula gaussiana es la dificultad de calibrarla a precios de mercado. En la práctica, normalmente se utiliza un único parámetro de correlación (no una matriz de correlación) para modelar la correlación predeterminada entre dos entidades cualesquiera en una obligación de deuda colateralizada, CDO. Conceptualmente, este parámetro de correlación debería ser el mismo para toda la cartera de CDO. Sin embargo, los operadores alteran aleatoriamente el parámetro de correlación para diferentes tramos , con el fin de derivar los diferenciales de tramo deseados. Los operadores aumentan la correlación para los tramos "extremos" como el tramo de acciones o los tramos senior, lo que se conoce como la sonrisa de correlación. Esto es similar a la sonrisa de volatilidad implícita que se cita a menudo en el modelo Black-Scholes-Merton. Aquí los operadores aumentan la volatilidad implícita especialmente para las opciones de venta fuera del dinero, pero también para las opciones de compra fuera del dinero para aumentar el precio de la opción. ^{[ cita requerida ]} .

En un marco de optimización de media-varianza, la estimación precisa de la matriz de varianza-covarianza es primordial. Por lo tanto, la previsión con simulación de Montecarlo con la cópula gaussiana y distribuciones marginales bien especificadas es eficaz. ^[19] Es importante permitir que el proceso de modelado tenga en cuenta características empíricas en los rendimientos de las acciones, como la autorregresión, la volatilidad asimétrica, la asimetría y la curtosis. No tener en cuenta estos atributos conduce a un grave error de estimación en las correlaciones y varianzas que tienen sesgos negativos (hasta el 70% de los valores verdaderos). ^[20]

(c) Gestión de riesgos

Otra crítica al enfoque de cópula es que el modelo de cópula es estático y, en consecuencia, solo permite una gestión de riesgos limitada, véase Finger (2009) ^[21] o Donnelly y Embrechts (2010). ^[22] Los modelos de cópula originales de Vasicek (1987) y Li (2000) y varias extensiones del modelo como Hull y White (2004) ^[23] o Gregory y Laurent (2004) ^[24] tienen un horizonte temporal de un período, es decir, son estáticos. En particular, no hay un proceso estocástico para las variables subyacentes críticas intensidad de incumplimiento y correlación de incumplimiento. Sin embargo, incluso en estas primeras formulaciones de cópula, las pruebas retrospectivas y las pruebas de estrés de las variables para diferentes horizontes temporales pueden proporcionar sensibilidades valiosas, véase Whetten y Adelson (2004) ^[25] y Meissner, Hector y Rasmussen (2008). ^[26] Además, las variables de cópula pueden convertirse en una función del tiempo, como en Hull, Predescu y White (2005). ^[27] Esto todavía no crea un proceso estocástico completamente dinámico con deriva y ruido, lo que permite una cobertura flexible y una gestión de riesgos. Las mejores soluciones son los marcos de cópula verdaderamente dinámicos, consulte la sección "Cópulas dinámicas" a continuación.

Complacencia irracional

Antes de la crisis financiera mundial de 2007-2008, numerosos participantes del mercado confiaban en el modelo de cópula de manera acrítica e ingenua. ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, la crisis de 2007-2008 no fue tanto una cuestión de un modelo de correlación particular, sino más bien una cuestión de "complacencia irracional". En el período extremadamente benigno de 2003 a 2006, se ignoraron en gran medida las coberturas adecuadas, la gestión adecuada del riesgo y los resultados de las pruebas de estrés. ^{[ cita requerida ]} El mejor ejemplo es la filial londinense de AIG, que había vendido swaps de incumplimiento crediticio y obligaciones de deuda colateralizadas por un monto cercano a los 500 mil millones de dólares sin realizar ninguna cobertura importante. Para un artículo esclarecedor sobre la gestión inadecuada del riesgo antes de la crisis, véase "Una visión personal de la crisis: Confesiones de un gestor de riesgos" (The Economist 2008). ^[28] En particular, si cualquier modelo de correlación crediticia se alimenta con datos de entrada benignos como intensidades de incumplimiento bajas y correlación de incumplimiento baja, las cifras de salida de riesgo serán benignas, 'basura que entra, basura que sale' en la terminología de modelado. ^{[ cita requerida ]}

Cópulas dinámicas

Una mejora fundamental de los modelos de cópula son las cópulas dinámicas, introducidas por Albanese et al. (2005) ^[29] y (2007). ^[30] El enfoque de "condicionamiento dinámico" modela la evolución de superredes multifactoriales, que correlacionan los procesos de retorno de cada entidad en cada paso de tiempo. Las cópulas dinámicas binomiales aplican métodos combinatorios para evitar las simulaciones de Monte Carlo. Las cópulas gaussianas dinámicas más ricas aplican la simulación de Monte Carlo y tienen el costo de requerir tecnología informática potente.

Modelado de correlación de incumplimiento condicionalmente independiente (CID)

Para evitar especificar la correlación predeterminada entre cada par de entidades en una cartera, a menudo se aplica una factorización. ^{[ cita requerida ]} Esto conduce al modelo de incumplimiento condicionalmente independiente (CID). El modelo CID más ampliamente aplicado es el modelo de cópula gaussiana de un factor (OFGC). Era el modelo de mercado de facto para la fijación de precios de los CDO antes de la crisis financiera mundial de 2007/2008. ^{[ cita requerida ]} La ecuación central del modelo OFGC

${\displaystyle x_{i}={\sqrt {\rho }}M+{\sqrt {1-\rho }}Z_{i}}$(10)

donde y son sorteos aleatorios de y . Como resultado, la variable latente , a veces interpretada como el valor del activo de i, véase Turc, Very, Benhamou y Alvarez et al. (2005), ^{[31] [ se necesita una mejor fuente ]} también es n~(0,1). El factor común puede interpretarse como el entorno económico, posiblemente representado por el rendimiento del S&P 500. es el componente idiosincrásico, la "fortaleza" de la entidad i, posiblemente medida por el rendimiento del precio de las acciones de la entidad i. De la ecuación (10) vemos que la correlación entre las entidades i se modela indirectamente condicionando la variable latente al factor común . Por ejemplo, para p = 1, las variables latentes de todas las entidades , por lo que son idénticas en cada simulación. Para p = 0, todas las variables latentes para todas las entidades , por lo tanto son independientes. Es importante destacar que, una vez que fijamos el valor de M, los valores predeterminados de las n entidades son (condicionalmente en M) mutuamente independientes. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle N(0,1)}$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i=1,...,n,\ x_{i}=M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\ x_{i}=Z_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

A partir de 2010, el OFGC es la base para la gestión del riesgo crediticio en Basilea II . ^{[ cita requerida ]} Las ventajas del modelo son la simplicidad y la intuición. Una de las principales deficiencias del modelo es que los operadores, al fijar el precio de los CDO, alteran aleatoriamente el parámetro de correlación para los diferentes tramos de CDO para lograr los diferenciales de tramo deseados. Sin embargo, conceptualmente, el parámetro de correlación debería ser idéntico para toda la cartera. ^{[ cita requerida ]}

Modelado predeterminado de contagio

El modelo de incumplimiento por contagio puede considerarse una variación del modelo CID. Como se analiza en la sección 2.3, en el marco CID, la correlación se modela condicionando un factor de mercado común M, que afecta a todas las entidades en el mismo grado. Cuanto menor sea el sorteo aleatorio para M, mayor será la intensidad de incumplimiento de todas las entidades (a menos que ρ = 0). Por lo tanto, el modelo CID puede dilucidar la agrupación de incumplimientos. En contraste, los enfoques de contagio modelan la intensidad de incumplimiento de una entidad como una función del incumplimiento de otra entidad. Por lo tanto, el modelo de incumplimiento por contagio incorpora el riesgo de contraparte, es decir, el impacto directo de una entidad en incumplimiento sobre la intensidad de incumplimiento de otra entidad. En particular, después de un incumplimiento de una entidad en particular, la intensidad de incumplimiento de todos los activos en la cartera aumenta. Este contagio de incumplimiento generalmente se desvanece exponencialmente a niveles de intensidad de incumplimiento no contagiosos. Véanse los artículos de Davis y Lo (2001) ^[32] y Jarrow y Yu (2001), ^[33] , quienes fueron pioneros en el modelo de incumplimiento por contagio.

Enfoques de correlación de arriba hacia abajo

En el marco de modelado de correlación crediticia, un enfoque de correlación relativamente nuevo es el modelado descendente. En este caso, la evolución de la distribución de intensidad de la cartera se deriva directamente, es decir, se hace abstracción de las intensidades de incumplimiento de las entidades individuales. Los modelos descendentes se aplican normalmente en la práctica si:

• Las intensidades predeterminadas de las entidades individuales no están disponibles o no son confiables.
• Las intensidades predeterminadas de las entidades individuales son innecesarias. Este puede ser el caso cuando se evalúa una cartera homogénea, como un índice de entidades homogéneas.
• El gran tamaño de una cartera hace que el modelado de las intensidades de incumplimiento individuales sea problemático.

Los modelos de arriba hacia abajo suelen ser más parsimoniosos, computacionalmente más eficientes y a menudo se pueden calibrar mejor a los precios del mercado que los modelos de abajo hacia arriba. Aunque se ignora información aparentemente importante, como las intensidades predeterminadas de las entidades individuales, un modelo de arriba hacia abajo normalmente puede capturar mejor las propiedades de la cartera, como la volatilidad o las relaciones de correlación. Además, la información predeterminada de las entidades individuales a menudo se puede inferir mediante técnicas de adelgazamiento aleatorio; véase Giesecke, Goldberg y Ding (2007) ^[34] para obtener más detalles.

En el marco de arriba hacia abajo, Schönbucher (2006) ^[35] crea una cadena de Markov de tasas de transición no homogénea en el tiempo. La correlación por defecto se introduce mediante cambios en la volatilidad de las tasas de transición. Para ciertas constelaciones de parámetros, una mayor volatilidad significa una transición más rápida a estados inferiores como predeterminados y, como consecuencia, implica una mayor correlación por defecto, y viceversa. De manera similar, Hurd y Kuznetsov (2006a) ^[36] y (2006b) ^[37] inducen la correlación mediante un cambio aleatorio en la velocidad del tiempo. Una velocidad más rápida del tiempo significa una transición más rápida a un estado inferior, posiblemente predeterminado, y como resultado aumenta la correlación por defecto, y viceversa. Para un análisis comparativo de los enfoques de correlación en finanzas, véase Albanese, Li, Lobachevskiy y Meissner (2010). ^[38]

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