Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades de George Boole , publicada en 1854, es la segunda de las dos monografías de Boole sobre lógica algebraica . Boole fue profesor de matemáticas en lo que entonces era el Queen's College, Cork (ahora University College Cork ), en Irlanda .
El historiador de la lógica John Corcoran escribió una introducción accesible a Laws of Thought [1] y una comparación punto por punto de Prior Analytics y Laws of Thought [2] . Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó plenamente la lógica de Aristóteles . Los objetivos de Boole eran “ir por debajo, por encima y más allá” de la lógica de Aristóteles mediante:
Más específicamente, Boole estaba de acuerdo con lo que decía Aristóteles ; los «desacuerdos» de Boole, si se los puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. En primer lugar, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica de Aristóteles a fórmulas en forma de ecuaciones, lo que en sí mismo es una idea revolucionaria. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas de la lógica, la adición de Boole de la resolución de ecuaciones a la lógica (otra idea revolucionaria) implicaba la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los «silogismos perfectos») deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de múltiples términos, mientras que Aristóteles sólo podía manejar proposiciones y argumentos de sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir “Ningún cuadrángulo que sea un cuadrado es un rectángulo que sea un rombo” de “Ningún cuadrado que sea un cuadrángulo es un rombo que sea un rectángulo” o de “Ningún rombo que sea un rectángulo es un cuadrado que sea un cuadrángulo”.
El trabajo de Boole fundó la disciplina de la lógica algebraica. A menudo, pero equivocadamente, se le atribuye el mérito de ser la fuente de lo que hoy conocemos como álgebra de Boole . Sin embargo, de hecho, el álgebra de Boole difiere del álgebra de Boole moderna: en el álgebra de Boole, A+B no se puede interpretar mediante la unión de conjuntos, debido a la permisibilidad de términos no interpretables en el cálculo de Boole. Por lo tanto, las álgebras según la explicación de Boole no se pueden interpretar mediante conjuntos bajo las operaciones de unión, intersección y complemento, como es el caso del álgebra de Boole moderna. La tarea de desarrollar la explicación moderna del álgebra de Boole recayó en los sucesores de Boole en la tradición de la lógica algebraica ( Jevons 1869, Peirce 1880, Jevons 1890, Schröder 1890, Huntington 1904).
En la explicación que hace Boole de su álgebra, los términos se razonan de manera ecuacional, sin que se les asigne una interpretación sistemática. En algunos pasajes, Boole habla de términos que se interpretan mediante conjuntos, pero también reconoce términos que no siempre pueden interpretarse de esa manera, como el término 2AB, que surge en las manipulaciones ecuacionales. A estos términos los clasifica como términos no interpretables , aunque en otros lugares menciona algunos casos en los que estos términos se interpretan mediante números enteros.
Boole justifica la coherencia de todo el proyecto mediante lo que Stanley Burris denominó posteriormente la "regla de los 0 y los 1", que justifica la afirmación de que los términos no interpretables no pueden ser el resultado último de manipulaciones ecuacionales a partir de fórmulas iniciales significativas (Burris 2000). Boole no aportó ninguna prueba de esta regla, pero la coherencia de su sistema fue demostrada por Theodore Hailperin, que proporcionó una interpretación basada en una construcción bastante sencilla de anillos a partir de los números enteros para proporcionar una interpretación de la teoría de Boole (Hailperin 1976).
En todo discurso, ya se trate del espíritu que conversa con sus propios pensamientos o del individuo en su trato con los demás, hay un límite asumido o expreso dentro del cual se confinan los objetos de su operación. El discurso más libre es aquel en el que las palabras que empleamos se entienden en la aplicación más amplia posible, y para ellas los límites del discurso son coextensivos con los del universo mismo. Pero lo más habitual es que nos limitemos a un campo menos amplio. A veces, al hablar de los hombres, damos a entender (sin expresar la limitación) que sólo hablamos de los hombres en ciertas circunstancias y condiciones, como de los hombres civilizados, o de los hombres en el vigor de la vida, o de los hombres en alguna otra condición o relación. Ahora bien, cualquiera que sea la extensión del campo dentro del cual se encuentran todos los objetos de nuestro discurso, ese campo puede llamarse apropiadamente el universo del discurso . Además, este universo del discurso es, en el sentido más estricto, el tema último del discurso.
—George Boole , [3]