Gráfica C*-álgebra

En matemáticas , una C*-álgebra de grafos es una C*-álgebra universal construida a partir de un grafo dirigido . Las C*-álgebras de grafos son generalizaciones directas de las álgebras de Cuntz y de las álgebras de Cuntz-Krieger, pero se ha demostrado que la clase de C*-álgebras de grafos también incluye varias otras clases de C*-álgebras ampliamente estudiadas . Como resultado, las C*-álgebras de grafos proporcionan un marco común para investigar muchas clases bien conocidas de C*-álgebras que antes se estudiaban de forma independiente. Entre otros beneficios, esto proporciona un contexto en el que se pueden formular teoremas que se aplican simultáneamente a todas estas subclases y que contienen resultados específicos para cada subclase como casos especiales.

Aunque las álgebras C* de grafos incluyen numerosos ejemplos, proporcionan una clase de álgebras C* que son sorprendentemente fáciles de estudiar y mucho más manejables que las álgebras C* generales. El grafo no sólo determina la álgebra C* asociada especificando relaciones para los generadores, sino que también proporciona una herramienta útil para describir y visualizar las propiedades de la álgebra C*. Esta cualidad visual ha llevado a que las álgebras C* de grafos se denominen " álgebras de operadores que podemos ver". ^{[1] [2]} Otra ventaja de las álgebras C* de grafos es que gran parte de su estructura y muchos de sus invariantes se pueden calcular fácilmente. Utilizando datos procedentes del grafo, se puede determinar si la álgebra C* asociada tiene propiedades particulares, describir la red de ideales y calcular invariantes K-teóricos .

Terminología gráfica

La terminología para los grafos utilizada por los algebristas de C* difiere ligeramente de la utilizada por los teóricos de grafos . El término grafo se toma típicamente para significar un grafo dirigido que consiste en un conjunto numerable de vértices , un conjunto numerable de aristas y mapas que identifican el rango y la fuente de cada arista, respectivamente. Un vértice se llama sumidero cuando ; es decir, no hay aristas en con fuente . Un vértice se llama emisor infinito cuando es infinito; es decir, hay infinitas aristas en con fuente . Un vértice se llama vértice singular si es un sumidero o un emisor infinito, y un vértice se llama vértice regular si no es un vértice singular. Nótese que un vértice es regular si y solo si el número de aristas en con fuente es finito y distinto de cero. Un grafo se llama finito por filas si no tiene emisores infinitos; es decir, si cada vértice es un vértice regular o un sumidero. ${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s)}$ ${\displaystyle E^{0}}$ ${\displaystyle E^{1}}$ ${\displaystyle r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle s^{-1}(v)=\emptyset }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle s^{-1}(v)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$

Un camino es una secuencia finita de aristas con para todos . Un camino infinito es una secuencia numerablemente infinita de aristas con para todos . Un ciclo es un camino con , y una salida para un ciclo es una arista tal que y para algún . Un ciclo se llama ciclo simple si para todos . ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$ ${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots }$ ${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$ ${\displaystyle r(e_{n})=s(e_{1})}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$ ${\displaystyle f\in E^{1}}$ ${\displaystyle s(f)=s(e_{i})}$ ${\displaystyle f\neq e_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$ ${\displaystyle s(e_{i})\neq s(e_{1})}$ ${\displaystyle 2\leq i\leq n}$

Las siguientes son dos condiciones gráficas importantes que surgen en el estudio de las C*-álgebras gráficas.

Condición (L): Cada ciclo en el gráfico tiene una salida.

Condición (K): No existe ningún vértice en el grafo que se encuentre en exactamente un ciclo simple. Es decir, un grafo satisface la condición (K) si y solo si cada vértice del grafo no se encuentra en ningún ciclo o se encuentra en dos o más ciclos simples.

Las relaciones Cuntz-Krieger y la propiedad universal

Una familia de Cuntz-Krieger ${\displaystyle E}$ es una colección en un C*-álgebra tal que los elementos de son isometrías parciales con rangos mutuamente ortogonales, los elementos de son proyecciones mutuamente ortogonales y se satisfacen las siguientes tres relaciones (llamadas relaciones de Cuntz-Krieger ): ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{s_{e}:e\in E^{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{p_{v}:v\in E^{0}\right\}}$

1. (CK1) para todos , ${\displaystyle s_{e}^{*}s_{e}=p_{r(e)}}$ ${\displaystyle e\in E^{1}}$
2. (CK2) siempre que sea un vértice regular, y ${\displaystyle p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$ ${\displaystyle v}$
3. (CK3) para todos . ${\displaystyle s_{e}s_{e}^{*}\leq p_{s(e)}}$ ${\displaystyle e\in E^{1}}$

El álgebra C* de grafos correspondiente a , denotado por , se define como el álgebra C* generada por una familia de Cuntz-Krieger que es universal en el sentido de que siempre que es una familia de Cuntz-Krieger en un álgebra C* existe un -homomorfismo con para todos y para todos . La existencia de para cualquier grafo fue establecida por Kumjian, Pask y Raeburn. ^[3] La unicidad de (hasta el -isomorfismo ) se sigue directamente de la propiedad universal . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{t_{e},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle \phi (s_{e})=t_{e}}$ ${\displaystyle e\in E^{1}}$ ${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle *}$

Convención de dirección de bordes

Es importante tener en cuenta que existen convenciones en competencia con respecto a la "dirección de las aristas" en las relaciones de Cuntz-Krieger. A lo largo de este artículo, y en la forma en que se enuncian las relaciones anteriormente, utilizamos la convención establecida por primera vez en los artículos seminales sobre álgebras C* de grafos. ^{[3] [4]} La convención alternativa, que se utiliza en el libro CBMS de Raeburn sobre álgebras de grafos, ^[5] intercambia los roles del mapa de rango y el mapa de origen en las relaciones de Cuntz-Krieger. El efecto de este cambio es que el álgebra C* de un grafo para una convención es igual al álgebra C* del grafo con las aristas invertidas cuando se utiliza la otra convención. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

Gráficas de filas finitas

En las relaciones de Cuntz-Krieger, (CK2) se impone solo en vértices regulares. Además, si es un vértice regular, entonces (CK2) implica que (CK3) se cumple en . Además, si es un sumidero, entonces (CK3) se cumple vacuamente en . Por lo tanto, si es un grafo finito en filas, la relación (CK3) es superflua y una colección de isometrías parciales con rangos mutuamente ortogonales y proyecciones mutuamente ortogonales es una familia de Cuntz-Krieger si y solo si la relación en (CK1) se cumple en todas las aristas en y la relación en (CK2) se cumple en todos los vértices en que no sean sumideros. El hecho de que las relaciones de Cuntz-Krieger adopten una forma más simple para grafos finitos en filas tiene consecuencias técnicas para muchos resultados en el tema. No solo es más fácil demostrar los resultados en el caso finito en filas, sino que también se simplifican los enunciados de los teoremas al describir C*-álgebras de grafos finitos en filas. Históricamente, gran parte del trabajo inicial sobre álgebras C* de grafos se realizó exclusivamente en el caso de filas finitas. Incluso en el trabajo moderno, donde se permiten emisores infinitos y se consideran álgebras C* de grafos generales, es común enunciar el caso de filas finitas de un teorema por separado o como corolario , ya que los resultados suelen ser más intuitivos y transparentes en esta situación. ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Ejemplos

El álgebra C* de grafos se ha calculado para muchos grafos. A la inversa, para ciertas clases de álgebras C* se ha demostrado cómo construir un grafo cuya álgebra C* sea isomorfa o equivalente de Morita a una álgebra C* dada de esa clase. ${\displaystyle *}$

La siguiente tabla muestra una serie de grafos dirigidos y sus C*-álgebras. Utilizamos la convención de que una flecha doble dibujada de un vértice a otro y etiquetada indica que hay una cantidad infinita de aristas desde el primer vértice al segundo. ${\displaystyle \infty }$

Se ha demostrado que la clase de álgebras C* de grafos contiene varias clases de álgebras C*. Las álgebras C* de cada una de las siguientes clases pueden realizarse como álgebras C* de grafos hasta el isomorfismo : ${\displaystyle *}$

• Álgebras de Cuntz
• Álgebras de Cuntz-Krieger
• C*-álgebras de dimensión finita
• álgebras AF estables

Las C*-álgebras de cada una de las siguientes clases pueden realizarse como C*-álgebras gráficas hasta la equivalencia de Morita:

• Álgebras AF ^[6]
• Álgebras de Kirchberg con grupo K _{1 libre}

Correspondencia entre gráficos y propiedades C*-algebraicas

Un aspecto destacable de las C*-álgebras de grafos es que el grafo no sólo describe las relaciones para los generadores de , sino que también se puede demostrar que varias propiedades de la teoría de grafos de son equivalentes a las propiedades C*-algebraicas de . De hecho, gran parte del estudio de las C*-álgebras de grafos se ocupa de desarrollar un léxico para la correspondencia entre estas propiedades y establecer teoremas de la forma "El grafo tiene una cierta propiedad de la teoría de grafos si y sólo si la C*-álgebra tiene una propiedad C*-algebraica correspondiente ". La siguiente tabla proporciona una breve lista de algunas de las equivalencias más conocidas. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$

La acción del calibre

La propiedad universal produce una acción natural del grupo circular sobre como sigue: Si es una familia de Cuntz-Krieger universal, entonces para cualquier número complejo unimodular , la colección es una familia de Cuntz-Krieger, y la propiedad universal de implica que existe un -homomorfismo con para todos y para todos . Para cada el -homomorfismo es un inverso para , y por lo tanto es un automorfismo . Esto produce una acción fuertemente continua al definir . La acción de calibre a veces se denomina acción de calibre canónica sobre . Es importante señalar que la acción de calibre canónica depende de la elección de la familia de Cuntz-Krieger generadora . La acción de calibre canónica es una herramienta fundamental en el estudio de . Aparece en enunciados de teoremas, y también se utiliza tras bastidores como un dispositivo técnico en demostraciones. ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \left\{zs_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \gamma _{z}:C^{*}(E)\to C^{*}(E)}$ ${\displaystyle \gamma _{z}(s_{e})=zs_{e}}$ ${\displaystyle e\in E^{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{z}(p_{v})=p_{v}}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \gamma _{\overline {z}}}$ ${\displaystyle \gamma _{z}}$ ${\displaystyle \gamma _{z}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} C^{*}(E)}$ ${\displaystyle \gamma (z):=\gamma _{z}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$

Los teoremas de unicidad

Existen dos teoremas de unicidad bien conocidos para las C*-álgebras de grafos: el teorema de unicidad invariante de norma y el teorema de unicidad de Cuntz-Krieger. Los teoremas de unicidad son resultados fundamentales en el estudio de las C*-álgebras de grafos y sirven como piedras angulares de la teoría. Cada uno proporciona condiciones suficientes para que un -homomorfismo de en una C*-álgebra sea inyectivo . En consecuencia, los teoremas de unicidad se pueden utilizar para determinar cuándo una C*-álgebra generada por una familia de Cuntz-Krieger es isomorfa a ; en particular, si es una C*-álgebra generada por una familia de Cuntz-Krieger, la propiedad universal de produce un -homomorfismo sobreyectivo , y cada uno de los teoremas de unicidad proporciona condiciones bajo las cuales es inyectivo y, por lo tanto, un isomorfismo. Los enunciados formales de los teoremas de unicidad son los siguientes: ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle \phi }$

Teorema de unicidad invariante de calibre: Sea un grafo y sea el álgebra C* asociada al grafo. Si es un álgebra C* y es un homomorfismo que satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle *}$

1. existe una acción de calibre tal que para todo , donde denota la acción de calibre canónica en , y ${\displaystyle \beta :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} A}$ ${\displaystyle \phi \circ \beta _{z}=\gamma _{z}\circ \phi }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$
2. ${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$Para todos , ${\displaystyle v\in E^{0}}$

entonces es inyectiva. ${\displaystyle \phi }$

Teorema de unicidad de Cuntz-Krieger: Sea un grafo que satisface la condición (L), y sea el álgebra C* del grafo asociado. Si es un álgebra C* y es un -homomorfismo con para todo , entonces es inyectiva. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle \phi }$

El teorema de unicidad de invariancia de calibre implica que si es una familia de Cuntz-Krieger con proyecciones distintas de cero y existe una acción de calibre con y para todos , , y , entonces genera un C*-álgebra isomorfa a . El teorema de unicidad de Cuntz-Krieger muestra que cuando el grafo satisface la Condición (L) la existencia de la acción de calibre es innecesaria; si un grafo satisface la Condición (L), entonces cualquier familia de Cuntz-Krieger con proyecciones distintas de cero genera un C*-álgebra isomorfa a . ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta _{z}(p_{v})=p_{v}}$ ${\displaystyle \beta _{z}(s_{e})=zs_{e}}$ ${\displaystyle v\in E^{0}}$ ${\displaystyle e\in E^{1}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$

Estructura ideal

La estructura ideal de se puede determinar a partir de . Un subconjunto de vértices se denomina hereditario si para todos , implica . Un subconjunto hereditario se denomina saturado si siempre que es un vértice regular con , entonces . Los subconjuntos hereditarios saturados de están parcialmente ordenados por inclusión y forman una red con encuentro y unión definidos como el subconjunto hereditario saturado más pequeño que contiene . ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$ ${\displaystyle e\in E^{1}}$ ${\displaystyle s(e)\in H}$ ${\displaystyle r(e)\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{r(e):e\in E^{0},s(e)=v\}\subseteq H}$ ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$

Si es un subconjunto hereditario saturado, se define como un ideal bilateral cerrado en generado por . Un ideal bilateral cerrado de se denomina invariante de calibre si para todos y . Los ideales invariantes de calibre están parcialmente ordenados por inclusión y forman una red con encuentro y articulación definidos como el ideal generado por . Para cualquier subconjunto hereditario saturado , el ideal es invariante de calibre. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I_{H}}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle \gamma _{z}(a)\in C^{*}(E)}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$ ${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$ ${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I_{H}}$

El siguiente teorema muestra que los ideales invariantes de calibre corresponden a subconjuntos hereditarios saturados.

Teorema: Sea un grafo con número finito de filas. Entonces se cumple lo siguiente: ${\displaystyle E}$

1. La función es un isomorfismo reticular de la red de subconjuntos hereditarios saturados de sobre la red de ideales invariantes de calibre de con inversa dada por . ${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle I\mapsto \left\{v\in E^{0}:p_{v}\in I\right\}}$
2. Para cualquier subconjunto hereditario saturado , el cociente es -isomorfo a , donde es el subgrafo de con conjunto de vértices y conjunto de aristas . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{*}(E)/I_{H}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle C^{*}(E\setminus H)}$ ${\displaystyle E\setminus H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$ ${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$
3. Para cualquier subconjunto hereditario saturado , el ideal es equivalente a Morita , donde es el subgrafo de con un conjunto de vértices y un conjunto de aristas . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I_{H}}$ ${\displaystyle C^{*}(E_{H})}$ ${\displaystyle E_{H}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$ ${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$
4. Si satisface la condición (K), entonces cada ideal de es invariante de calibre, y los ideales de están en correspondencia biunívoca con los subconjuntos hereditarios saturados de . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Desingularización

La desingularización de Drinen-Tomforde , a menudo llamada simplemente desingularización , es una técnica utilizada para extender los resultados de las C*-álgebras de grafos finitos por filas a las C*-álgebras de grafos contables. Si es un grafo, una desingularización de es un grafo finito por filas tal que es equivalente de Morita a . ^[7] Drinen y Tomforde describieron un método para construir una desingularización a partir de cualquier grafo contable: Si es un grafo contable, entonces para cada vértice que emite un número infinito de aristas, primero se elige una lista de las aristas salientes como , luego se adjunta una cola de la forma ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle C^{*}(F)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle s^{-1}(v_{0})=\{e_{0},e_{1},e_{2},\ldots \}}$

hasta en , y finalmente se borran los bordes del gráfico y se redistribuye cada uno a lo largo de la cola dibujando un nuevo borde desde hasta para cada . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle r(e_{i})}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$

A continuación se muestran algunos ejemplos de esta construcción. Para el primer ejemplo, observe que si es el gráfico ${\displaystyle E}$

entonces una desingularización viene dada por el gráfico ${\displaystyle F}$

Para el segundo ejemplo, supongamos que el grafo tiene un vértice y una cantidad infinita de aristas (cada una de las cuales comienza y termina en este vértice). Entonces, el grafo da una desingularización. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$ ${\displaystyle F}$

La desingularización se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de las C*-álgebras de grafos, ^[8] y puede simplificar las pruebas de resultados al permitir probar primero el resultado en el caso de filas finitas (normalmente mucho más fácil) y luego extender el resultado a grafos contables a través de la desingularización, a menudo con poco esfuerzo adicional.

La técnica de desingularización puede no funcionar para grafos que contienen un vértice que emite un número incontable de aristas. Sin embargo, en el estudio de las C*-álgebras es común restringir la atención a las C*-álgebras separables . Dado que una C*-álgebra de grafos es separable precisamente cuando el grafo es contable, gran parte de la teoría de las C*-álgebras de grafos se ha centrado en los grafos contables. ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Teoría K

Los K-grupos de un grafo C*-álgebra pueden calcularse completamente en términos de información proveniente del grafo. Si es un grafo finito en filas, la matriz de vértices de es la matriz con entrada definida como el número de aristas en desde hasta . Como es finito en filas, tiene entradas en y cada fila de tiene solo un número finito de entradas distintas de cero. (De hecho, de aquí proviene el término "finito en filas"). En consecuencia, cada columna de la transpuesta contiene solo un número finito de entradas distintas de cero, y obtenemos una función dada por la multiplicación por la izquierda. Del mismo modo, si denota la matriz identidad , entonces proporciona una función dada por la multiplicación por la izquierda. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$ ${\displaystyle A_{E}}$ ${\displaystyle A_{E}(v,w)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A_{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle A_{E}}$ ${\displaystyle A_{E}^{t}}$ ${\textstyle A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$ ${\textstyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$

Teorema: Sea un grafo finito en filas sin sumideros y sea la matriz de vértices de . Entonces da una función bien definida por multiplicación por la izquierda. Además, Además, si es unital (o, equivalentemente, es finito), entonces el isomorfismo lleva la clase de la unidad en a la clase del vector en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A_{E}}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})\quad {\text{ and }}\quad K_{1}(C^{*}(E))\cong \ker(I-A_{E}^{t}).}$$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle E^{0}}$ ${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$ ${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))}$ ${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$

Como es isomorfo a un subgrupo del grupo libre , podemos concluir que es un grupo libre. Se puede demostrar que en el caso general (es decir, cuando se permite que contenga sumideros o emisores infinitos) sigue siendo un grupo libre. Esto permite producir ejemplos de C*-álgebras que no son C*-álgebras de grafos: Cualquier C*-álgebra con un K ₁ -grupo no libre no es equivalente de Morita (y por lo tanto no es isomorfo) a un C*-álgebra de grafos. ${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$ ${\textstyle \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• C*-álgebra de gráficos k
• Álgebra de trayectorias de Leavitt

Notas

1. Conferencia NSF-CBMS de 2004 sobre álgebras de gráficos [1]
2. Premio NSF [2]
3. Álgebras de Cuntz-Krieger de grafos dirigidos, Alex Kumjian, David Pask e Iain Raeburn, Pacific J. Math. 184 (1998), núm. 1, 161–174.
4. Las C*-álgebras de grafos finitos en filas, Teresa Bates, David Pask, Iain Raeburn y Wojciech Szymański, New York J. Math. 6 (2000), 307–324.
5. Álgebras gráficas, Iain Raeburn, Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, 103. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; por la American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. vi+113 pp. ISBN  0-8218-3660-9
6. Visualización de álgebras AF como álgebras de grafos , Doug Drinen, Proc. Amer. Math. Soc., 128 (2000), págs. 1991–2000.
7. Las C*-álgebras de grafos arbitrarios, Doug Drinen y Mark Tomforde, Rocky Mountain J. Math. 35 (2005), núm. 1, 105–135.
8. Capítulo 5 de Álgebras de grafos, Iain Raeburn, Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, 103. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; por la American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. vi+113 pp. ISBN 0-8218-3660-9