Tramo lineal

En álgebra lineal, subespacio generado

El plano rayado es el espacio lineal de u y v tanto en R ² como en R ³ .

En matemáticas , el espacio lineal (también llamado envoltura lineal ^[1] o simplemente espacio ) de un conjunto de elementos de un espacio vectorial es el subespacio lineal más pequeño de que lo contiene. Es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de los elementos de S , ^[2] y la intersección de todos los subespacios lineales que lo contienen, a menudo denotado espacio( S ) ^[3] o ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \langle S\rangle .}$

Por ejemplo, en geometría , dos vectores linealmente independientes abarcan un plano .

Para expresar que un espacio vectorial V es un espacio lineal de un subconjunto S , comúnmente se utiliza una de las siguientes frases: S abarca V ; S es un conjunto abarcador de V ; V es abarcado o generado por S ; S es un conjunto generador o un conjunto generador de V .

Los tramos se pueden generalizar a muchas estructuras matemáticas , en cuyo caso, la subestructura más pequeña que contiene se denomina generalmente subestructura generada por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K , el espacio abarcado por un conjunto S de vectores (no necesariamente finito) se define como la intersección W de todos los subespacios de V que contienen a S . Por lo tanto, es el subespacio más pequeño (para la inclusión de conjuntos ) que contiene a W . Se lo denomina el subespacio abarcado por S , o por los vectores en S . A la inversa, S se denomina conjunto abarcado por W , y decimos que S abarca a W .

De esta definición se deduce que el espacio de S es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos (vectores) de S , y puede definirse como tal. ^{[4] [5] [6]} Es decir, $${\displaystyle \operatorname {span} (S)={\biggl \{}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\;\mathbf {v} _{1},...\mathbf {v} _{n}\in S,\;\lambda _{1},...\lambda _{n}\in K{\biggr \}}}$$

Cuando S está vacío , la única posibilidad es n = 0 y la expresión anterior para se reduce a la suma vacía . ^[a] La convención estándar para la suma vacía implica, por lo tanto, una propiedad que es inmediata con las otras definiciones. Sin embargo, muchos libros de texto introductorios simplemente incluyen este hecho como parte de la definición. ${\displaystyle \operatorname {span} (S)}$ ${\displaystyle {\text{span}}(\emptyset )=\{\mathbf {0} \},}$

Cuando es finito , se tiene ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ $${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\{\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid \lambda _{1},...\lambda _{n}\in K\}}$$

Ejemplos

El espacio vectorial real tiene como conjunto generador {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Este conjunto generador en particular también es una base . Si (−1, 0, 0) se reemplazara por (1, 0, 0), también formaría la base canónica de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Otro conjunto generador para el mismo espacio está dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, pero este conjunto no es una base, porque es linealmente dependiente .

El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } no es un conjunto generador de , ya que su generador es el espacio de todos los vectores en cuyo último componente es cero. Ese espacio también está generador por el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, ya que (1, 1, 0) es una combinación lineal de (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Por lo tanto, el espacio generador no es Se puede identificar con eliminando los terceros componentes iguales a cero. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El conjunto vacío es un conjunto abarcador de {(0, 0, 0)}, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los espacios vectoriales posibles en , y {(0, 0, 0)} es la intersección de todos estos espacios vectoriales. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El conjunto de monomios x ⁿ , donde n es un entero no negativo, abarca el espacio de polinomios .

Teoremas

Equivalencia de definiciones

El conjunto de todas las combinaciones lineales de un subconjunto S de V , un espacio vectorial sobre K , es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a S .

Demostración. Primero demostramos que el lapso S es un subespacio de V . Como S es un subconjunto de V , solo necesitamos demostrar la existencia de un vector cero 0 en el lapso S , que el lapso S es cerrado bajo la adición, y que el lapso S es cerrado bajo la multiplicación escalar. Dejando , es trivial que el vector cero de V exista en el lapso S , ya que . Sumando dos combinaciones lineales de S también se obtiene una combinación lineal de S : , donde todos , y multiplicando una combinación lineal de S por un escalar se obtendrá otra combinación lineal de S : . Por lo tanto, el lapso S es un subespacio de V . ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}$ ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

Supóngase que W es un subespacio lineal de V que contiene a S . De ello se deduce que , puesto que cada v _i es una combinación lineal de S (trivialmente). Puesto que W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, entonces cada combinación lineal debe estar contenida en W . Por lo tanto, el espacio S está contenido en cada subespacio de V que contiene a S , y la intersección de todos esos subespacios, o el subespacio más pequeño de esos, es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de S . ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

El tamaño del conjunto generador es al menos el tamaño del conjunto linealmente independiente

Todo conjunto generador S de un espacio vectorial V debe contener al menos tantos elementos como cualquier conjunto de vectores linealmente independientes de V.

Demostración. Sea un conjunto generador y un conjunto linealmente independiente de vectores de V . Queremos demostrar que . ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

Como S genera V , entonces también debe generar V , y debe ser una combinación lineal de S . Por lo tanto , es linealmente dependiente, y podemos eliminar un vector de S que sea una combinación lineal de los otros elementos. Este vector no puede ser ninguno de los w _i , ya que W es linealmente independiente. El conjunto resultante es , que es un conjunto generador de V . Repetimos este paso n veces, donde el conjunto resultante después del p ésimo paso es la unión de y m - p vectores de S . ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$

Se asegura hasta el paso n que siempre habrá algún v _i que eliminar de S para cada adjunto de v , y por lo tanto hay al menos tantos v _i como w _i , es decir . Para verificar esto, suponemos por contradicción que . Luego, en el paso m , tenemos el conjunto y podemos adjuntar otro vector . Pero, como es un conjunto generador de V , es una combinación lineal de . Esto es una contradicción, ya que W es linealmente independiente. ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$

El conjunto abarcador se puede reducir a una base

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Cualquier conjunto de vectores que abarca V se puede reducir a una base para V , descartando vectores si es necesario (es decir, si hay vectores linealmente dependientes en el conjunto). Si se cumple el axioma de elección , esto es cierto sin la suposición de que V tiene dimensión finita. Esto también indica que una base es un conjunto de expansión mínima cuando V es de dimensión finita.

Generalizaciones

Generalizando la definición de la amplitud de puntos en el espacio, un subconjunto X del conjunto base de un matroide se denomina conjunto generador si el rango de X es igual al rango de todo el conjunto base ^[7].

La definición de espacio vectorial también se puede generalizar a módulos. ^{[8] [9]} Dado un R -módulo A y una colección de elementos a ₁ , ..., a _n de A , el submódulo de A abarcado por a ₁ , ..., a _n es la suma de módulos cíclicos que consisten en todas las R -combinaciones lineales de los elementos a _i . Como en el caso de los espacios vectoriales, el submódulo de A abarcado por cualquier subconjunto de A es la intersección de todos los submódulos que contienen ese subconjunto. $${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}}$$

Tramo lineal cerrado (análisis funcional)

En el análisis funcional , un espacio lineal cerrado de un conjunto de vectores es el conjunto cerrado mínimo que contiene el espacio lineal de ese conjunto.

Supóngase que X es un espacio vectorial normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X. El espacio lineal cerrado de E , denotado por o , es la intersección de todos los subespacios lineales cerrados de X que contienen a E. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$

Una formulación matemática de esto es

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}$

El espacio lineal cerrado del conjunto de funciones x ⁿ en el intervalo [0, 1], donde n es un entero no negativo, depende de la norma utilizada. Si se utiliza la norma L 2 , entonces el espacio lineal cerrado es el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en el intervalo. Pero si se utiliza la norma máxima , el espacio lineal cerrado será el espacio de funciones continuas en el intervalo. En cualquier caso, el espacio lineal cerrado contiene funciones que no son polinomios y, por lo tanto, no están en el espacio lineal en sí. Sin embargo, la cardinalidad del conjunto de funciones en el espacio lineal cerrado es la cardinalidad del continuo , que es la misma cardinalidad que para el conjunto de polinomios.

Notas

El espacio lineal de un conjunto es denso en el espacio lineal cerrado. Además, como se indica en el lema siguiente, el espacio lineal cerrado es, de hecho, la clausura del espacio lineal.

Los espacios lineales cerrados son importantes cuando se trata con subespacios lineales cerrados (que son en sí mismos muy importantes, véase el lema de Riesz ).

Un lema útil

Sea X un espacio normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X. Entonces

1. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$es un subespacio lineal cerrado de X que contiene a E ,
2. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}$, es decir, es el cierre de , ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (E)}$
3. ${\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}$

(Por lo tanto, la forma habitual de encontrar el intervalo lineal cerrado es encontrar primero el intervalo lineal y luego el cierre de ese intervalo lineal).

Véase también

• Casco afín
• Combinación cónica
• Casco convexo

Notas al pie

1. Esto es lógicamente válido ya que cuando n = 0 , las condiciones para los vectores y las constantes están vacías y, por lo tanto, se satisfacen vacíamente .

Citas

1. Enciclopedia de Matemáticas (2020). Envolvente lineal.
2. Axler (2015) pág. 29, § 2.7
3. Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
4. Hefferon (2020) pág. 100, cap. 2, Definición 2.13
5. Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
6. Roman (2005) págs. 41-42
7. Oxley (2011), pág. 28.
8. Roman (2005) pág. 96, cap. 4
9. Mac Lane y Birkhoff (1999) pág. 193, cap. 6

Fuentes

Libros de texto

• Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (PDF) (3.ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (PDF) (4.ª ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Álgebra (3.ª ed.). AMS Chelsea Publishing . ISBN 978-0821816462.
• Oxley, James G. (2011). Matroid Theory . Oxford Graduate Texts in Mathematics. Vol. 3 (2.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 9780199202508.
• Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada (PDF) (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Análisis funcional lineal . Springer. ISBN 978-1848000049.
• Lay, David C. (2021) Álgebra lineal y sus aplicaciones (sexta edición) . Pearson.

Web

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno ; Schilling, Anne (13 de febrero de 2010). "Álgebra lineal: como introducción a las matemáticas abstractas" (PDF) . Universidad de California, Davis . Consultado el 27 de septiembre de 2011 .
• Weisstein, Eric Wolfgang . "Vector Space Span". MathWorld . Consultado el 16 de febrero de 2021 .
• «Casco lineal». Enciclopedia de Matemáticas . 5 de abril de 2020 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .

Enlaces externos

• Combinaciones lineales y amplitudes: comprensión de las combinaciones lineales y amplitudes de vectores, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (6 de agosto de 2016). «Combinaciones lineales, vectores de amplitud y base». Essence of Linear Algebra. Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021 – vía YouTube .