La topología digital se ocupa de las propiedades y características de las imágenes digitales bidimensionales (2D) o tridimensionales (3D) que corresponden a propiedades topológicas (por ejemplo, conectividad ) o características topológicas (por ejemplo, límites ) de los objetos.
Los conceptos y resultados de la topología digital se utilizan para especificar y justificar algoritmos importantes de análisis de imágenes (de bajo nivel) , incluidos algoritmos de adelgazamiento , rastreo de bordes o superficies, conteo de componentes o túneles o relleno de regiones.
La topología digital fue estudiada por primera vez a finales de los años 60 por el investigador en análisis de imágenes por ordenador Azriel Rosenfeld (1931-2004), cuyas publicaciones sobre el tema desempeñaron un papel importante en el establecimiento y desarrollo de la disciplina. El término "topología digital" fue inventado por Rosenfeld, quien lo utilizó por primera vez en una publicación de 1973.
Un trabajo relacionado llamado topología de celdas de cuadrícula , que podría considerarse como un enlace a la topología combinatoria clásica , apareció en el libro de Pavel Alexandrov y Heinz Hopf , Topologie I (1935). Rosenfeld et al. propusieron conectividad digital como 4-conectividad y 8-conectividad en dos dimensiones, así como 6-conectividad y 26-conectividad en tres dimensiones. El método de etiquetado para inferir un componente conectado se estudió en la década de 1970. Theodosios Pavlidis (1982) sugirió el uso de algoritmos de teoría de grafos como el método de búsqueda en profundidad para encontrar componentes conectados. Vladimir A. Kovalevsky (1989) extendió la topología de celdas de cuadrícula 2D de Alexandrov-Hopf a tres dimensiones y más. También propuso (2008) una teoría axiomática más general de espacios topológicos localmente finitos y complejos de celdas abstractas anteriormente sugeridas por Ernst Steinitz (1908). Se trata de la topología de Alexandrov . El libro de 2008 contiene nuevas definiciones de esferas y bolas topológicas independientes de una métrica y numerosas aplicaciones para el análisis de imágenes digitales.
A principios de los años 1980 se estudiaron las superficies digitales . David Morgenthaler y Rosenfeld (1981) dieron una definición matemática de las superficies en el espacio digital tridimensional. Esta definición contiene un total de nueve tipos de superficies digitales. La variedad digital se estudió en los años 1990. Chen y Zhang propusieron intuitivamente una definición recursiva de la variedad digital k en 1993. Se encontraron muchas aplicaciones en el procesamiento de imágenes y la visión artificial.
Un resultado básico (temprano) en topología digital dice que las imágenes binarias 2D requieren el uso alternativo de adyacencia de 4 u 8 o " conectividad de píxeles " (para píxeles "de objeto" o "no objeto" ) para asegurar la dualidad topológica básica de separación y conectividad. Este uso alternativo corresponde a conjuntos abiertos o cerrados en la topología de celdas de cuadrícula 2D , y el resultado se generaliza a 3D: el uso alternativo de adyacencia de 6 o 26 corresponde a conjuntos abiertos o cerrados en la topología de celdas de cuadrícula 3D . La topología de celdas de cuadrícula también se aplica a imágenes 2D o 3D de varios niveles (por ejemplo, color), por ejemplo, basándose en un orden total de posibles valores de imagen y aplicando una "regla de etiqueta máxima" (consulte el libro de Klette y Rosenfeld, 2004).
La topología digital está muy relacionada con la topología combinatoria . Las principales diferencias entre ellas son: (1) la topología digital estudia principalmente los objetos digitales que están formados por celdas de cuadrícula (las celdas de los retículos enteros), en lugar de complejos de celdas más generales , y (2) la topología digital también se ocupa de variedades no Jordan.
Una variedad combinatoria es un tipo de variedad que es una discretización de una variedad. Por lo general, significa una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales . Una variedad digital es un tipo especial de variedad combinatoria que se define en el espacio digital, es decir, en el espacio de celdas de la cuadrícula.
Una forma digital del teorema de Gauss-Bonnet es: Sea M una variedad digital 2D cerrada en adyacencia directa (es decir, una superficie (6,26) en 3D). La fórmula para el género es
donde indica el conjunto de puntos de superficie, cada uno de los cuales tiene i puntos adyacentes en la superficie (Chen y Rong, ICPR 2008). Si M es simplemente conexo, es decir, , entonces . (Véase también característica de Euler .)
