Integración homológica

Concepto de matemáticas

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y la teoría de la medida geométrica , la integración homológica o integración geométrica es un método para extender la noción de integral a las variedades . En lugar de funciones o formas diferenciales , la integral se define sobre corrientes en una variedad.

La teoría es "homológica" porque las corrientes mismas se definen por dualidad con formas diferenciales. Es decir, el espacio D ^k de k -corrientes en una variedad M se define como el espacio dual , en el sentido de distribuciones , del espacio de k -formas Ω ^k en M . Por lo tanto, existe un emparejamiento entre k -corrientes T y k -formas α , denotado aquí por

${\displaystyle \langle T,\alpha \rangle .}$

Bajo este emparejamiento de dualidad, la derivada exterior

${\displaystyle d:\Omega ^{k-1}\to \Omega ^{k}}$

pasa a un operador de límite

${\displaystyle \partial :D^{k}\to D^{k-1}}$

definido por

${\displaystyle \langle \partial T,\alpha \rangle =\langle T,d\alpha \rangle }$

para todo α  ∈ Ω ^k . Esta es una construcción homológica en lugar de cohomológica .

Referencias

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR  0257325, Zbl  0176.00801.
• Whitney, H. (1957), Teoría de la integración geométrica , Princeton Mathematical Series, vol. 21, Princeton, NJ y Londres: Princeton University Press y Oxford University Press , pp. XV+387, MR  0087148, Zbl  0083.28204.