Métodos de H-infinito en la teoría de control

Los métodos H _∞ (es decir, " H -infinito ")se utilizan en la teoría de control para sintetizar controladores con el fin de lograr una estabilización con un rendimiento garantizado. Para utilizar métodos H _∞ , un diseñador de control expresa el problema de control como un problema de optimización matemática y luego encuentra el controlador que resuelve esta optimización. Las técnicas H _∞ tienen la ventaja sobre las técnicas de control clásicas de que las técnicas H _∞ son fácilmente aplicables a problemas que involucran sistemas multivariados con acoplamiento cruzado entre canales; las desventajas de las técnicas H _∞ incluyen el nivel de comprensión matemática necesario para aplicarlas con éxito y la necesidad de un modelo razonablemente bueno del sistema a controlar. Es importante tener en cuenta que el controlador resultante solo es óptimo con respecto a la función de costo prescrita y no necesariamente representa el mejor controlador en términos de las medidas de rendimiento habituales utilizadas para evaluar controladores, como el tiempo de asentamiento, la energía gastada, etc. Además, las restricciones no lineales, como la saturación, generalmente no se manejan bien. Estos métodos fueron introducidos en la teoría de control a fines de la década de 1970 y principios de la década de 1980 por George Zames (minimización de sensibilidad), ^[1] J. William Helton (adaptación de banda ancha) ^[2] y Allen Tannenbaum (optimización del margen de ganancia). ^[3]

La frase control H _∞ proviene del nombre del espacio matemático sobre el cual tiene lugar la optimización: H _∞ es el espacio Hardy de funciones con valores matriciales que son analíticas y acotadas en la mitad derecha abierta del plano complejo definido por Re( s ) > 0; la norma H _∞ es el valor singular supremo de la matriz sobre ese espacio. En el caso de una función con valores escalares, los elementos del espacio Hardy que se extienden continuamente hasta el límite y son continuos en el infinito son el álgebra de discos . Para una función con valores matriciales, la norma se puede interpretar como una ganancia máxima en cualquier dirección y en cualquier frecuencia; para los sistemas SISO , esta es efectivamente la magnitud máxima de la respuesta de frecuencia.

Las técnicas H _∞ se pueden utilizar para minimizar el impacto de bucle cerrado de una perturbación: dependiendo de la formulación del problema, el impacto se medirá en términos de estabilización o rendimiento. Optimizar simultáneamente el rendimiento robusto y la estabilización robusta es difícil. Un método que se acerca a lograr esto es el modelado de bucle H ∞ , que permite al diseñador de control aplicar conceptos clásicos de modelado de bucle a la respuesta de frecuencia multivariable para obtener un buen rendimiento robusto y luego optimizar la respuesta cerca del ancho de banda del sistema para lograr una buena estabilización robusta.

Hay software comercial disponible para respaldar la síntesis del controlador H _∞ .

Formulación del problema

En primer lugar, el proceso debe representarse según la siguiente configuración estándar:

La planta P tiene dos entradas, la entrada exógena w , que incluye la señal de referencia y las perturbaciones, y las variables manipuladas u . Hay dos salidas, las señales de error z que queremos minimizar, y las variables medidas v , que utilizamos para controlar el sistema. v se utiliza en K para calcular las variables manipuladas u . Observe que todas estas son generalmente vectores , mientras que P y K son matrices .

En fórmulas, el sistema es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

Por lo tanto, es posible expresar la dependencia de z respecto de w como:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

Llamada transformación fraccionaria lineal inferior , se define (el subíndice viene de inferior ): ${\displaystyle F_{\ell }}$

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Por lo tanto, el objetivo del diseño de control es encontrar un controlador que se minimice de acuerdo con la norma. La misma definición se aplica al diseño de control. La norma infinita de la matriz de función de transferencia se define como: ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

donde es el valor singular máximo de la matriz . ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$

La norma H _∞ alcanzable del sistema de lazo cerrado se da principalmente a través de la matriz D ₁₁ (cuando el sistema P se da en la forma ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D ₁₁ , D ₁₂ , D ₂₂ , D ₂₁ )). Hay varias formas de llegar a un controlador H _∞ :

• Una parametrización de Youla-Kucera del circuito cerrado a menudo conduce a un controlador de orden muy alto.
• Los enfoques basados ​​en Riccati resuelven dos ecuaciones de Riccati para encontrar el controlador, pero requieren varias suposiciones simplificadoras.
• Una reformulación basada en la optimización de la ecuación de Riccati utiliza desigualdades matriciales lineales y requiere menos suposiciones.

Véase también

• Producto Blaschke
• Espacio resistente
• Cuadrado H
• Conformación de bucle infinito en H
• Control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG)
• Matriz del sistema de Rosenbrock

Referencias

1. Zames, George (1981). "Retroalimentación y sensibilidad óptima: transformaciones de referencia del modelo, seminormas multiplicativas e inversas aproximadas". IEEE Transactions on Automatic Control . 26 (2): 301–320. doi :10.1109/tac.1981.1102603.
2. Helton, J. William (1978). "Estructura orbital de la acción del semigrupo de transformación de Möbius en H-infinito (adaptación de banda ancha)". Adv. Math. Suppl. Stud . 3 : 129–197.
3. Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". Revista Internacional de Control . 32 (1): 1–16. doi :10.1080/00207178008922838.

Bibliografía

• Barbú, V.; Sritharan, Sivaguru S. (1998), "H-infinity Control of Fluid Dynamics" (PDF) , Actas de la Royal Society A , 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX  10.1.1.177.4397 , doi :10.1098/rspa .1998.0289, S2CID  121983192.

• Doyle, John; Francis, Bruce; Tannenbaum, Allen (1992), Teoría del control por retroalimentación , MacMillan.

• Green, M.; Limebeer, D. (1995), Control robusto lineal , Prentice Hall.

• Simon, Dan (2006), Estimación del estado óptimo: Kalman, H-infinito y enfoques no lineales, Wiley, archivado desde el original el 2010-12-30 , consultado el 2006-07-05.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (1996), Control de retroalimentación multivariable: análisis y diseño , Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (2005), Control de retroalimentación multivariable: análisis y diseño (2.ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6.