Intento de formalizar todas las matemáticas, basándose en un conjunto finito de axiomas.
En matemáticas , el programa de Hilbert , formulado por el matemático alemán David Hilbert a principios de la década de 1920, [1] fue una propuesta de solución a la crisis fundacional de las matemáticas , cuando se descubrió que los primeros intentos de aclarar los fundamentos de las matemáticas adolecían de paradojas e inconsistencias. Como solución, Hilbert propuso basar todas las teorías existentes en un conjunto finito y completo de axiomas y proporcionar una prueba de que estos axiomas eran consistentes . Hilbert propuso que la coherencia de sistemas más complicados, como el análisis real , podría demostrarse en términos de sistemas más simples. En última instancia, la coherencia de todas las matemáticas podría reducirse a la aritmética básica .
Los teoremas de incompletitud de Gödel , publicados en 1931, demostraron que el programa de Hilbert era inalcanzable para áreas clave de las matemáticas. En su primer teorema, Gödel demostró que cualquier sistema consistente con un conjunto computable de axiomas que sea capaz de expresar la aritmética nunca puede ser completo: es posible construir un enunciado que pueda demostrarse que es verdadero, pero que no puede derivarse de la reglas formales del sistema. En su segundo teorema, demostró que tal sistema no podía probar su propia consistencia, por lo que ciertamente no puede usarse para probar con certeza la consistencia de algo más fuerte. Esto refutó la suposición de Hilbert de que un sistema finitista podría usarse para probar la consistencia de sí mismo y, por lo tanto, no podría probar todo lo demás.
Declaración del programa de Hilbert
El objetivo principal del programa de Hilbert era proporcionar bases seguras para todas las matemáticas. En particular, esto debería incluir:
- Una formulación de todas las matemáticas; en otras palabras, todos los enunciados matemáticos deben escribirse en un lenguaje formal preciso y manipularse según reglas bien definidas.
- Completitud: una prueba de que todos los enunciados matemáticos verdaderos pueden demostrarse en el formalismo.
- Consistencia: prueba de que no se puede obtener ninguna contradicción en el formalismo de las matemáticas. Esta prueba de coherencia debería utilizar preferentemente sólo razonamientos "finitistas" sobre objetos matemáticos finitos.
- Conservación: prueba de que cualquier resultado sobre "objetos reales" obtenido mediante el razonamiento sobre "objetos ideales" (como conjuntos incontables) se puede demostrar sin utilizar objetos ideales.
- Decidibilidad: debe existir un algoritmo para decidir la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático.
Teoremas de incompletitud de Gödel
Kurt Gödel demostró que la mayoría de los objetivos del programa de Hilbert eran imposibles de alcanzar, al menos si se interpretaban de la manera más obvia. El segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que cualquier teoría consistente lo suficientemente poderosa como para codificar la suma y multiplicación de números enteros no puede probar su propia consistencia. Esto presenta un desafío para el programa de Hilbert:
- No es posible formalizar todos los enunciados matemáticos verdaderos dentro de un sistema formal, ya que cualquier intento de tal formalismo omitirá algunos enunciados matemáticos verdaderos. No existe una extensión completa y consistente ni siquiera de la aritmética de Peano basada en un conjunto de axiomas recursivamente enumerables.
- Una teoría como la aritmética de Peano ni siquiera puede probar su propia consistencia, por lo que un subconjunto "finitista" restringido de ella ciertamente no puede probar la consistencia de teorías más poderosas como la teoría de conjuntos.
- No existe ningún algoritmo para decidir la verdad (o demostrabilidad) de los enunciados en ninguna extensión consistente de la aritmética de Peano. En rigor, esta solución negativa al Entscheidungsproblem apareció unos años después del teorema de Gödel, porque en aquel momento la noción de algoritmo no estaba definida con precisión.
El programa de Hilbert después de Gödel
Muchas líneas de investigación actuales en lógica matemática , como la teoría de la prueba y las matemáticas inversas , pueden verse como continuaciones naturales del programa original de Hilbert. Gran parte se puede salvar cambiando ligeramente sus objetivos (Zach 2005), y con las siguientes modificaciones parte se completó con éxito:
- Aunque no es posible formalizar todas las matemáticas, sí es posible formalizar esencialmente todas las matemáticas que cualquiera utiliza. En particular, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , combinada con la lógica de primer orden , proporciona un formalismo satisfactorio y generalmente aceptado para casi todas las matemáticas actuales.
- Aunque no es posible demostrar completitud para sistemas que pueden expresar al menos la aritmética de Peano (o, más generalmente, que tienen un conjunto computable de axiomas), es posible demostrar formas de completitud para muchos otros sistemas interesantes. Un ejemplo de teoría no trivial cuya integridad se ha demostrado es la teoría de campos algebraicamente cerrados de una característica dada .
- La pregunta de si existen pruebas de consistencia finita de teorías sólidas es difícil de responder, principalmente porque no existe una definición generalmente aceptada de "prueba finita". La mayoría de los matemáticos en teoría de la prueba parecen considerar que las matemáticas finitas están contenidas en la aritmética de Peano y, en este caso, no es posible dar pruebas finitas de teorías razonablemente sólidas. Por otro lado, el propio Gödel sugirió la posibilidad de dar pruebas de consistencia finita utilizando métodos finitos que no pueden formalizarse en la aritmética de Peano, por lo que parece haber tenido una visión más liberal sobre qué métodos finitos podrían permitirse. Unos años más tarde, Gentzen hizo una prueba de coherencia para la aritmética de Peano. La única parte de esta prueba que no era claramente finita era una cierta inducción transfinita hasta el ordinal ε 0 . Si esta inducción transfinita se acepta como método finito, entonces se puede afirmar que existe una prueba finita de la consistencia de la aritmética de Peano. Gaisi Takeuti y otros han dado pruebas de consistencia a subconjuntos más poderosos de aritmética de segundo orden , y uno puede nuevamente debatir sobre cuán finitarias o constructivas son exactamente estas pruebas. (Las teorías que han demostrado ser consistentes mediante estos métodos son bastante sólidas e incluyen la mayoría de las matemáticas "ordinarias").
- Aunque no existe un algoritmo para decidir la verdad de los enunciados en la aritmética de Peano, existen muchas teorías interesantes y no triviales para las que se han encontrado tales algoritmos. Por ejemplo, Tarski encontró un algoritmo que puede decidir la verdad de cualquier afirmación en geometría analítica (más precisamente, demostró que la teoría de campos cerrados reales es decidible). Dado el axioma de Cantor-Dedekind , este algoritmo puede considerarse como un algoritmo para decidir la verdad de cualquier enunciado en geometría euclidiana . Esto es sustancial ya que pocas personas considerarían la geometría euclidiana como una teoría trivial.
Ver también
Referencias
- ^ Zach, Richard (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2023), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 5 de julio de 2023.
- G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493–565. Traducido como 'La consistencia de la aritmética', en The Collected Papers of Gerhard Gentzen , ME Szabo (ed.), 1969.
- D. Hilbert. 'Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre'. Mathematische Annalen 104:485–94. Traducido por W. Ewald como 'The Grounding of Elementary Number Theory', págs. 266-273 en Mancosu (ed., 1998) De Brouwer a Hilbert: El debate sobre los fundamentos de las matemáticas en la década de 1920 , Oxford University Press. Nueva York.
- SG Simpson, 1988. Realizaciones parciales del programa de Hilbert (pdf). Revista de lógica simbólica 53:349–363.
- R. Zach , 2006. El programa de Hilbert antes y ahora. Filosofía de la Lógica 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO].
enlaces externos