En matemáticas , la signatura ( v , p , r ) [ aclaración necesaria ] de un tensor métrico g (o equivalentemente, una forma cuadrática real considerada como una forma bilineal simétrica real en un espacio vectorial de dimensión finita ) es el número (contado con multiplicidad) de valores propios positivos, negativos y cero de la matriz simétrica real g ab del tensor métrico con respecto a una base . En física relativista , v representa convencionalmente el número de dimensiones temporales o virtuales, y p el número de dimensiones espaciales o físicas. Alternativamente, puede definirse como las dimensiones de un subespacio nulo y positivo máximo . Por la ley de inercia de Sylvester, estos números no dependen de la elección de la base y, por lo tanto, pueden usarse para clasificar la métrica. La firma a menudo se denota por un par de números enteros ( v , p ) que implican r = 0, o como una lista explícita de signos de valores propios como (+, −, −, −) o (−, +, +, +) para las firmas (1, 3, 0) y (3, 1, 0) [ aclaración necesaria ] , respectivamente. [1]
Se dice que la firma es indefinida o mixta si tanto v como p son distintos de cero, y degenerada si r es distinto de cero. Una métrica de Riemann es una métrica con una firma definida positiva ( v , 0) . Una métrica de Lorentz es una métrica con firma ( p , 1) , o (1, p ) .
Existe otra noción de firma de un tensor métrico no degenerado dada por un único número s definido como ( v − p ) , donde v y p son como los anteriores, que es equivalente a la definición anterior cuando la dimensión n = v + p está dada o implícita. Por ejemplo, s = 1 − 3 = −2 para (+, −, −, −) y su reflejo s' = − s = +2 para (−, +, +, +) .
La firma de un tensor métrico se define como la firma de la forma cuadrática correspondiente . [2] Es el número ( v , p , r ) de valores propios positivos, negativos y cero de cualquier matriz (es decir, en cualquier base para el espacio vectorial subyacente) que representa la forma, contados con sus multiplicidades algebraicas . Por lo general, se requiere r = 0 , lo que es lo mismo que decir que un tensor métrico debe ser no degenerado, es decir, ningún vector distinto de cero es ortogonal a todos los vectores.
Por la ley de inercia de Sylvester, los números ( v , p , r ) son independientes de la base.
Por el teorema espectral, una matriz simétrica n × n sobre los números reales es siempre diagonalizable y, por lo tanto, tiene exactamente n valores propios reales (contados con multiplicidad algebraica ). Por lo tanto, v + p = n = dim( V ) .
Según la ley de inercia de Sylvester , la firma del producto escalar (también conocida como forma bilineal simétrica real), g , no depende de la elección de la base. Además, para cada métrica g de firma ( v , p , r ) existe una base tal que g ab = +1 para a = b = 1, ..., v , g ab = −1 para a = b = v + 1, ..., v + p y g ab = 0 en caso contrario. De ello se deduce que existe una isometría ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) si y solo si las firmas de g 1 y g 2 son iguales. Asimismo, la firma es igual para dos matrices congruentes y clasifica una matriz hasta la congruencia. De manera equivalente, la firma es constante en las órbitas del grupo lineal general GL( V ) en el espacio de tensores contravariantes simétricos de rango 2 S 2 V ∗ y clasifica cada órbita.
El número v (resp. p ) es la dimensión máxima de un subespacio vectorial en el que el producto escalar g es definido positivo (resp. definido negativo), y r es la dimensión del radical del producto escalar g o el subespacio nulo de la matriz simétrica g ab del producto escalar . Por lo tanto, un producto escalar no degenerado tiene signatura ( v , p , 0) , con v + p = n . Una dualidad de los casos especiales ( v , p , 0) corresponde a dos valores propios escalares que pueden transformarse entre sí mediante la duplicación recíproca.
La firma de la matriz identidad n × n es ( n , 0, 0) . La firma de una matriz diagonal es el número de números positivos, negativos y cero en su diagonal principal .
Las siguientes matrices tienen la misma firma (1, 1, 0) , por lo tanto son congruentes debido a la ley de inercia de Sylvester :
El producto escalar estándar definido en tiene las firmas n -dimensionales ( v , p , r ) , donde v + p = n y rango r = 0 .
En física, el espacio de Minkowski es una variedad espacio-temporal con bases v = 1 y p = 3, y tiene un producto escalar definido por la matriz:
que tiene firma y se conoce como supremacía espacial o similar al espacio; o la firma reflejada , conocida como supremacía virtual o similar al tiempo con la matriz.
Existen algunos métodos para calcular la firma de una matriz.
En matemáticas, la convención habitual para cualquier variedad de Riemann es utilizar un tensor métrico definido positivo (lo que significa que después de la diagonalización, los elementos en la diagonal son todos positivos).
En física teórica , el espacio-tiempo se modela mediante una variedad pseudo-riemanniana . La firma cuenta cuántos caracteres temporales o espaciales hay en el espacio-tiempo, en el sentido definido por la relatividad especial : tal como se usa en física de partículas , la métrica tiene un valor propio en el subespacio temporal y su valor propio reflejado en el subespacio espacial. En el caso específico de la métrica de Minkowski ,
La signatura métrica es o (+, −, −, −) si su valor propio está definido en la dirección del tiempo, o o (−, +, +, +) si el valor propio está definido en las tres direcciones espaciales x , y y z . (A veces se utiliza la convención de signos opuesta , pero con la que se da aquí s mide directamente el tiempo propio ).
Si una métrica es regular en todas partes, entonces la firma de la métrica es constante. Sin embargo, si se permiten métricas que son degeneradas o discontinuas en algunas hipersuperficies, entonces la firma de la métrica puede cambiar en estas superficies. [3] Es posible que estas métricas que cambian de firma tengan aplicaciones en la cosmología y la gravedad cuántica .
