secuencia de despedida

Secuencia creciente de fracciones reducidas.

Diagrama de Farey para F ₉ representado con arcos circulares. En la imagen SVG, coloque el cursor sobre una curva para resaltarla y sus términos.

Diagrama de Farey a F ₉ .

Patrón simétrico formado por los denominadores de la secuencia de Farey, F ₉ .

Patrón simétrico formado por los denominadores de la secuencia de Farey, F ₂₅ .

En matemáticas , la secuencia de Farey de orden n es la secuencia de fracciones completamente reducidas , ya sea entre 0 y 1, o sin esta restricción, ^[a] que cuando en sus términos más bajos tienen denominadores menores o iguales a n , dispuestas en orden creciente tamaño.

Con la definición restringida, cada secuencia de Farey comienza con el valor 0, denotado por la fracción0/1, y termina con el valor 1, denotado por la fracción1/1(aunque algunos autores omiten estos términos).

Una secuencia de Farey a veces se denomina serie de Farey , lo cual no es estrictamente correcto, porque los términos no están sumados. ^[2]

Ejemplos

Las secuencias de Farey de órdenes 1 a 8 son:

F ₁ = {0/1_, 1/1}

F ₂ = {0/1_, 1/2_, 1/1}

F ₃ = {0/1_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 1/1}

F ₄ = {0/1_, 1/4_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 3/4_, 1/1}

F5 ₌ {0/1_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 1/1}

F ₆ = {0/1_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 1/1}

F ₇ = {0/1_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 1/1}

F ₈ = {0/1_, 1/8_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 3/8_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 5/8_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 7/8_, 1/1}

Estallido de sol de Farey

Trazar numeradores de F _{6 frente a denominadores}

Explosiones estelares de iteraciones 1 a 10 superpuestas

Al trazar los numeradores versus los denominadores de una secuencia de Farey se obtiene una forma como la de la derecha, que se muestra para F ₆ .

Reflejar esta forma alrededor de los ejes diagonal y principal genera el resplandor solar de Farey , que se muestra a continuación. El resplandor solar de Farey de orden n conecta los puntos enteros visibles de la cuadrícula desde el origen en el cuadrado de lado 2 n , centrado en el origen. Usando el teorema de Pick , el área del resplandor solar es 4(| F _n |−1), donde | F _norte | es el número de fracciones en Fn.

Explosión solar de Farey de orden 6, con 1 punto interior (rojo) y 96 puntos límite (verde) que dan un área de 1 +96/2− 1 = 48, según el teorema de Pick

Historia

La historia de la 'serie Farey' es muy curiosa — Hardy & Wright (1979) ^[3]

... una vez más, el hombre cuyo nombre fue dado a una relación matemática no fue el descubridor original hasta donde llegan los registros. —Beiler (1964) ^[4]

Las secuencias de Farey llevan el nombre del geólogo británico John Farey, Sr. , cuya carta sobre estas secuencias se publicó en la Philosophical Magazine en 1816. Farey conjeturó, sin ofrecer pruebas, que cada nuevo término en una expansión de la secuencia de Farey es el mediante de sus vecinos. . La carta de Farey fue leída por Cauchy , quien proporcionó una prueba en sus Ejercicios de matemáticas , y atribuyó este resultado a Farey. De hecho, otro matemático, Charles Haros , había publicado resultados similares en 1802 que ni Farey ni Cauchy conocían. ^[4] Por tanto, fue un accidente histórico el que vinculó el nombre de Farey con estas secuencias. Este es un ejemplo de la ley de eponimia de Stigler .

Propiedades

Longitud de secuencia e índice de una fracción.

La secuencia de Farey de orden n contiene todos los miembros de las secuencias de Farey de órdenes inferiores. En particular, F _n contiene todos los miembros de F _{n −1} y también contiene una fracción adicional para cada número que es menor que n y coprimo de n . Así, F ₆ se compone de F ₅ junto con las fracciones1/6y5/6.

El término medio de una secuencia de Farey F _n es siempre1/2, para n > 1. A partir de esto, podemos relacionar las longitudes de F _n y F _{n −1} usando la función totient de Euler  : ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).}$

Usando el hecho de que | F1 |_​ = 2, podemos derivar una expresión para la longitud de F _n : ^[5]

${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),}$

¿Dónde está el totiente sumatorio ? ${\displaystyle \Phi (n)}$

También tenemos :

${\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),}$

y por una fórmula de inversión de Möbius  :

${\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,}$

donde μ( d ) es la función de Möbius de teoría de números y es la función suelo . ${\displaystyle \lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor }$

El comportamiento asintótico de | F _norte | es :

${\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.}$

El índice de una fracción en la secuencia de Farey es simplemente la posición que ocupa en la secuencia. Esto es de especial relevancia ya que se utiliza en una formulación alternativa de la hipótesis de Riemann , ver más abajo. A continuación se presentan varias propiedades útiles: ${\displaystyle I_{n}(a_{k,n})=k}$ ${\displaystyle a_{k,n}}$ ${\displaystyle F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}$ ${\displaystyle a_{k,n}}$

${\displaystyle I_{n}(0/1)=0,}$

${\displaystyle I_{n}(1/n)=1,}$

${\displaystyle I_{n}(1/2)=(|F_{n}|-1)/2,}$

${\displaystyle I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,}$

${\displaystyle I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k).}$

El índice de donde y es el mínimo común múltiplo de los primeros números, viene dado por: ^[6] ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle n/(i+1)<k\leq n/i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n={\rm {lcm}}([2,i])}$

${\displaystyle I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).}$

vecinos fary

Las fracciones que son términos vecinos en cualquier secuencia de Farey se conocen como par de Farey y tienen las siguientes propiedades.

Sia/byC/dson vecinos en una secuencia de Farey, cona/b < C/d, entonces su diferenciaC/d − a/bes igual a1/bd. Desde

${\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},}$

esto equivale a decir que

${\displaystyle bc-ad=1}$.

De este modo1/3y2/5son vecinos en F ₅ y su diferencia es1/15.

Lo contrario también es cierto. Si

${\displaystyle bc-ad=1}$

para enteros positivos a , b , c y d con a < b y c < d entoncesa/byC/dserán vecinos en la secuencia de Farey de orden máx ( b,d ).

Sipag/qtiene vecinosa/byC/den alguna secuencia de Farey, con

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}}$

entoncespag/qes el mediante dea/byC/d- en otras palabras,

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}.}$

Esto se deduce fácilmente de la propiedad anterior, ya que si bp – aq = qc – pd = 1 , entonces bp + pd = qc + aq , p ( b + d ) = q ( a + c ) ,pag/q=a + c/b + d.

Se deduce que sia/byC/dson vecinos en una secuencia de Farey, entonces el primer término que aparece entre ellos a medida que se incrementa el orden de la secuencia de Farey es

${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}},}$

que aparece por primera vez en la secuencia de Farey de orden b + d .

Así, el primer término que aparece entre1/3y2/5es3/8, que aparece en F ₈ .

El número total de pares de vecinos de Farey en F _n es 2| F _norte | − 3.

El árbol de Stern-Brocot es una estructura de datos que muestra cómo se construye la secuencia a partir de 0 (=0/1) y 1 (=1/1), tomando sucesivos mediantes.

Interpretación de área equivalente

Cada par consecutivo de racionales de Farey tiene un área equivalente de 1. ^[7] Vea esto interpretando los racionales consecutivos r ₁ = p / q y r ₂ = p ′/ q ′ como vectores ( p , q ) en el plano x–y . El área de A ( p / q , p ′/ q ′) está dada por qp ′ − q ′ p . Como cualquier fracción agregada entre dos fracciones consecutivas anteriores de la secuencia de Farey se calcula como el mediante (⊕), entonces A ( r ₁ , r ₁ ⊕ r ₂ ) = A ( r ₁ , r ₁ ) + A ( r ₁ , r ₂ ) = A ( r ₁ , r ₂ ) = 1 (ya que r ₁ = 1/0 y r ₂ = 0/1, su área debe ser 1).

Vecinos de Farey y fracciones continuas.

Las fracciones que aparecen como vecinas en una secuencia de Farey tienen expansiones de fracciones continuas estrechamente relacionadas. Cada fracción tiene dos expansiones fraccionarias continuas: en una, el término final es 1; en el otro el término final es mayor en 1. Sipag/q, que aparece por primera vez en la secuencia de Farey F _q , ha continuado expansiones fraccionarias

[0; un ₁ , un ₂ , ..., un _{norte − 1} , un _norte , 1]

[0; un ₁ , un ₂ , ..., un _{norte − 1} , un _norte + 1]

entonces el vecino más cercano depag/qen F _q (que será su vecino con el denominador mayor) tiene una expansión fraccionaria continua

[0; un ₁ , un _{2 ,} ..., un ]

y su otro vecino tiene una expansión de fracción continua

[0; un ₁ , un ₂ , ..., un _{norte − 1} ]

Por ejemplo,3/8tiene las dos expansiones de fracciones continuas [0; 2, 1, 1, 1] y [0; 2, 1, 2] , y sus vecinos en F ₈ son2/5, que se puede expandir como [0; 2, 1, 1] ; y1/3, que se puede expandir como [0; 2, 1] .

Fracciones de Farey y el mínimo común múltiplo

El mcm se puede expresar como el producto de fracciones de Farey como

${\displaystyle {\text{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}}$

¿Dónde está la segunda función de Chebyshev ? ^{[8] [9]} ${\displaystyle \psi (N)}$

Fracciones de Farey y el máximo común divisor

Dado que la función totiente de Euler está directamente conectada al mcd, también lo está el número de elementos en F _n ,

${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.}$

Para 3 fracciones de Farey cualesquieraa/b,C/dymi/Fse cumple la siguiente identidad entre los mcd de los determinantes de la matriz 2x2 en valor absoluto: ^[10]

${\displaystyle \gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)}$

^[6]

Aplicaciones

Las secuencias de Farey son muy útiles para encontrar aproximaciones racionales de números irracionales. ^[11] Por ejemplo, la construcción por Eliahou ^[12] de un límite inferior en la longitud de ciclos no triviales en el proceso 3 x +1 utiliza secuencias de Farey para calcular una expansión fraccionaria continua del número log ₂ (3).

En sistemas físicos con fenómenos de resonancia, las secuencias de Farey proporcionan un método muy elegante y eficiente para calcular ubicaciones de resonancia en 1D ^[13] y 2D. ^[14]

Las secuencias de Farey son prominentes en estudios de planificación de trayectorias en cualquier ángulo en cuadrículas de celdas cuadradas, por ejemplo, en la caracterización de su complejidad computacional ^[15] u optimidad. ^[16] La conexión se puede considerar en términos de r caminos restringidos, es decir, caminos formados por segmentos de línea que atraviesan como máximo filas y como máximo columnas de celdas. Sea el conjunto de vectores tales que , , y , son coprimos. Sea el resultado de reflejar en la línea . Dejar . Entonces cualquier camino restringido por r puede describirse como una secuencia de vectores de . Hay una biyección entre y la secuencia de orden de Farey dada al mapear a . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq r}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q*}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$

Círculos de Ford

Comparación de círculos de Ford y un diagrama de Farey con arcos circulares para n de 1 a 9. Cada arco corta sus círculos correspondientes en ángulo recto. En la imagen SVG, coloque el cursor sobre un círculo o curva para resaltarlo y sus términos.

Existe una conexión entre la secuencia de Farey y los círculos de Ford .

Por cada fracciónpag/q(en sus términos más bajos) hay un círculo Ford C[pag/q], que es el círculo con radio 1/(2 q ² ) y centro en (pag/q,1/ 2 q ² ). Dos círculos de Ford para fracciones diferentes son disjuntos o son tangentes entre sí; dos círculos de Ford nunca se cruzan. Si 0 <pag/q< 1 entonces los círculos de Ford que son tangentes a C[pag/q] son ​​precisamente los círculos de Ford para fracciones vecinas depag/qen alguna secuencia de Farey.

Así C [2/5] es tangente a C [1/2], C [1/3], C [3/7], C [3/8], etc.

Los círculos de Ford aparecen también en la junta apolínea (0,0,1,1). La siguiente imagen ilustra esto junto con las líneas de resonancia de Farey. ^[17]

Junta apolínea (0,0,1,1) y diagrama de resonancia de Farey.

hipótesis de riemann

Las secuencias de Farey se utilizan en dos formulaciones equivalentes de la hipótesis de Riemann . Supongamos que los términos de son . Definir , en otras palabras, es la diferencia entre el k -ésimo término de la n -ésima secuencia de Farey y el k -ésimo miembro de un conjunto del mismo número de puntos, distribuidos uniformemente en el intervalo unitario. En 1924, Jérôme Franel ^[18] demostró que la afirmación ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}$ ${\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}}$ ${\displaystyle d_{k,n}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1}$

es equivalente a la hipótesis de Riemann, y luego Edmund Landau ^[19] comentó (justo después del artículo de Franel) que la afirmación

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2}$

También es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Otras sumas que involucran fracciones de Farey

La suma de todas las fracciones de Farey de orden n es la mitad del número de elementos:

${\displaystyle \sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.}$

La suma de los denominadores en la secuencia de Farey es el doble de la suma de los numeradores y se relaciona con la función totiente de Euler:

${\displaystyle \sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),}$

que fue conjeturada por Harold L. Aaron en 1962 y demostrada por Jean A. Blake en 1966. ^[20] Una prueba de una línea de la conjetura de Harold L. Aaron es la siguiente. La suma de los numeradores es . La suma de denominadores es . El cociente de la primera suma por la segunda suma es . ${\displaystyle {\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Sean b _j los denominadores ordenados de F _n , entonces: ^[21]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}}$

y

${\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1.}$

Sea aj / bj la j- _{ésima fracción} de Farey en Fn , _entonces

${\displaystyle \sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1,}$

lo cual se demuestra en. ^[22] Además, según esta referencia, el término dentro de la suma se puede expresar de muchas maneras diferentes:

${\displaystyle a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor ,}$

obteniendo así muchas sumas diferentes sobre los elementos de Farey con el mismo resultado. Usando la simetría alrededor de 1/2, la suma anterior se puede limitar a la mitad de la secuencia como

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil ,}$

La función de Mertens se puede expresar como una suma de fracciones de Farey como

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}$   ¿Dónde     está la secuencia de Farey de orden n ? ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Esta fórmula se utiliza en la prueba del teorema de Franel-Landau. ^[23]

Siguiente término

Existe un algoritmo sorprendentemente simple para generar los términos de F _n en orden tradicional (ascendente) o no tradicional (descendente). El algoritmo calcula cada entrada sucesiva en términos de las dos entradas anteriores utilizando la propiedad mediante proporcionada anteriormente. Sia/byC/dson las dos entradas dadas, ypag/qes la siguiente entrada desconocida, entoncesC/d = a  +  p/b  +  q. DesdeC/destá en términos más bajos, debe haber un número entero k tal que kc  =  a  +  p y kd  =  b  +  q , dando p  =  kc  −  a y q  =  kd  −  b . Si consideramos que p y q son funciones de k , entonces

${\displaystyle {\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}}$

entonces cuanto mayor es k , más se acercapag/qllega aC/d.

Para dar el siguiente término en la secuencia, k debe ser lo más grande posible, sujeto a kd  −  b  ≤  n (ya que solo estamos considerando números con denominadores no mayores que n ), por lo que k es el mayor entero ≤ norte  +  segundo/d. Volviendo a poner este valor de k en las ecuaciones para p y q se obtiene

${\displaystyle p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a}$

${\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b}$

Esto se implementa en Python de la siguiente manera:

def  farey_sequence ( n :  int ,  descending :  bool  =  False )  ->  Ninguno : """Imprime la enésima secuencia de Farey. Permite ascendente o descendente.""" a , b , c , d = 0 , 1 , 1 , n si es descendente : a , c = 1 , n - 1 print ( f " { a } / { b } " ) while 0 <= c <= n : k = ( n + b ) // d a , b , c , d = c , d , k * c - a , k * d - b print ( f " { a } / { b } " )                                                   

Las búsquedas de fuerza bruta de soluciones a ecuaciones diofánticas en racionales a menudo pueden aprovechar la serie de Farey (para buscar sólo formas reducidas). Si bien este código utiliza los dos primeros términos de la secuencia para inicializar a , b , c y d , se podría sustituir cualquier par de términos adyacentes para excluir aquellos menores (o mayores que) un umbral particular. ^[24]

Ver también

• patrón ABACABA
• Árbol de popa-brocot
• Función totiente de Euler

Notas a pie de página

1. “ La secuencia de todas las fracciones reducidas con denominadores que no exceden n, enumeradas en orden de tamaño, se llama secuencia de Farey de orden n. ” Con el comentario: “ Esta definición de las secuencias de Farey parece la más conveniente. Sin embargo, algunos autores prefieren restringir las fracciones al intervalo de 0 a 1. ” — Niven & Zuckerman (1972) ^[1]

Referencias

1. Niven, Ivan M .; Zuckerman, Herbert S. (1972). Introducción a la teoría de los números (Tercera ed.). John Wiley e hijos. Definición 6.1.
2. Guthery, Scott B. (2011). "1. El Mediante". Un motivo de las matemáticas: historia y aplicación del mediante y la secuencia de Farey . Boston: Docent Press. pag. 7.ISBN​ 978-1-4538-1057-6. OCLC  1031694495 . Consultado el 28 de septiembre de 2020 .
3. Resistente, GH ; Wright, EM (1979). Introducción a la teoría de los números (Quinta ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. Capítulo III. ISBN 0-19-853171-0.
4. Beiler, Albert H. (1964). Recreaciones en la Teoría de los Números (Segunda ed.). Dover. Capítulo XVI. ISBN 0-486-21096-0.Citado en "Serie Farey, una historia". Cortar el nudo .
5. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A005728". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
6. Tomas, Rogelio (enero de 2022). «Sumas parciales de Franel» (PDF) . Diario de secuencias enteras . 25 (1).
7. Austin, David (diciembre de 2008). "Árboles, dientes y tiempo: las matemáticas de la relojería". Sociedad Matemática Estadounidense . Rhode Island. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2020 . Consultado el 28 de septiembre de 2020 .
8. Martín, Greg (2009). "Un producto de valores de la función Gamma en fracciones con el mismo denominador". arXiv : 0907.4384 [matemáticas.CA].
9. Wehmeier, Stefan (2009). "El MCM (1,2,..., n) como producto de valores de seno muestreados sobre los puntos en secuencias de Farey". arXiv : 0909.1838 [matemáticas.CA].
10. Tomás García, Rogelio (agosto de 2020). "Igualdades entre máximos comunes divisores que involucran tres pares coprimos" (PDF) . Apuntes sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (3): 5–7. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.3.5-7 . S2CID  225280271.
11. "Aproximación de Farey". NRICH.maths.org . Archivado desde el original el 19 de noviembre de 2018 . Consultado el 18 de noviembre de 2018 .
12. Eliahou, Shalom (agosto de 1993). "El problema 3x + 1: nuevos límites inferiores en duraciones de ciclos no triviales". Matemáticas discretas . 118 (1–3): 45–56. doi : 10.1016/0012-365X(93)90052-U .
13. Zhenhua Li, A.; Harter, GT (2015). "Renacimientos cuánticos de osciladores Morse y geometría de Farey-Ford". Química. Física. Lett . 633 : 208–213. arXiv : 1308.4470 . Código Bib : 2015CPL...633..208L. doi :10.1016/j.cplett.2015.05.035. S2CID  66213897.
14. Tomás, R. (2014). «De las secuencias de Farey a los diagramas de resonancia» (PDF) . Temas especiales de revisión física: aceleradores y haces . 17 (1): 014001. Código bibliográfico : 2014PhRvS..17a4001T. doi : 10.1103/PhysRevSTAB.17.014001 .
15. Puerto, Daniel Damir; Grastien, Alban; Oz, Dindar; Aksakalli, Vural (26 de mayo de 2016). "Búsqueda de caminos óptima en cualquier ángulo en la práctica". Revista de investigación en inteligencia artificial . 56 : 89-118. doi : 10.1613/jair.5007 .
16. Hew, Patrick Chisan (19 de agosto de 2017). "La longitud de las rutas de vértice más cortas en cuadrículas de ocupación binaria en comparación con las más cortas con restricción r". Revista de investigación en inteligencia artificial . 59 : 543–563. doi : 10.1613/jair.5442 .
17. Tomás, Rogelio (2020). "Imperfecciones y correcciones". arXiv : 2006.10661 [física.acc-ph].
18. Franel, Jérôme (1924). "Les suites de Farey et le problème des nombres premiers". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Mathematisch-Physikalische Klasse (en francés): 198–201.
19. Landau, Edmund (1924). "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán): 202–206.
20. Blake, Jean A. (1966). "Algunas propiedades características de la serie Farey". El Mensual Matemático Estadounidense . 73 (1): 50–52. doi :10.2307/2313922. JSTOR  2313922.
21. Kurt Girstmair; Girstmair, Kurt (2010). "Sumas de Farey y sumas de Dedekind". El Mensual Matemático Estadounidense . 117 (1): 72–78. doi :10.4169/000298910X475005. JSTOR  10.4169/000298910X475005. S2CID  31933470.
22. Salón, RR; Shiu, P. (2003). "El índice de una secuencia de Farey". Matemáticas de Michigan. J.​ 51 (1): 209–223. doi : 10.1307/mmj/1049832901 .
23. Edwards, Harold M. (1974). "12.2 Miscelánea. La hipótesis de Riemann y la serie Farey" . En Smith, Paul A .; Ellenberg, Samuel (eds.). Función Zeta de Riemann . Matemática Pura y Aplicada. Nueva York: Prensa académica . págs. 263–267. ISBN 978-0-08-087373-2. OCLC  316553016 . Consultado el 30 de septiembre de 2020 .
24. Routledge, Norman (marzo de 2008). "Serie Computación Farey". La Gaceta Matemática . vol. 92, núm. 523, págs. 55–62.

Otras lecturas

• Hatcher, Allen (2022), Topología de números , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-1470456115
• Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1989). Matemáticas concretas: una base para la informática (2ª ed.). Boston, MA: Addison-Wesley. págs. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN 0-201-55802-5.— en particular, consulte §4.5 (págs. 115–123), Problema adicional 4.61 (págs. 150, 523–524), §4.9 (págs. 133–139), §9.3, Problema 9.3.6 (págs. 462– 463).
• Vepstas, Linas. "El signo de interrogación de Minkowski, GL (2, Z) y el grupo modular" (PDF) .— revisa los isomorfismos del árbol de Stern-Brocot.
• Vepstas, Linas. "Simetrías de mapas de duplicación de períodos" (PDF) .— revisa las conexiones entre Farey Fractions y Fractals.
• Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). "La secuencia Haros-Farey a doscientos años. Un estudio". Acta Univ. Matemáticas Apulensis. Informar. (5): 1–38. "págs. 1 a 20" (PDF) . Acta Univ. Apulensis . "págs. 21 a 38" (PDF) . Acta Univ. Apulensis .
• Matveev, Andrey O. (2017). Secuencias de Farey: dualidad y mapas entre subsecuencias . Berlín, DE: De Gruyter. ISBN 978-3-11-054662-0.Erratas + Código

enlaces externos

• Hatcher, Allen. "Topología de los Números" (PDF) .Copia en línea del libro.
• Bogomolny, Alejandro . "Serie Farey". Cortar el nudo .
• Bogomolny, Alejandro . "Árbol de popa-brocot". Cortar el nudo .
• Pennestri, Ettore. "Una mesa Brocot de base 120".
• "Serie Farey", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Árbol Stern-Brocot". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A005728 (Número de fracciones en la serie de Farey de orden n)
• Secuencia OEIS A006842 (Numeradores de la serie Farey de orden n)
• Secuencia OEIS A006843 (Denominadores de la serie Farey de orden n)
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Bonahon, Francis . Fracciones divertidas y círculos de Ford (vídeo). Brady Harán . Consultado el 9 de junio de 2015 , a través de YouTube.