Respuesta escalonada

Comportamiento temporal de un sistema controlado por funciones escalonadas de Heaviside

Una respuesta escalonada típica para un sistema de segundo orden, que ilustra un sobreimpulso , seguido de un zumbido , todo ello disminuyendo dentro de un tiempo de estabilización .

La respuesta al escalón de un sistema en un estado inicial dado consiste en la evolución temporal de sus salidas cuando sus entradas de control son funciones escalón de Heaviside . En ingeniería electrónica y teoría de control , la respuesta al escalón es el comportamiento temporal de las salidas de un sistema general cuando sus entradas cambian de cero a uno en un tiempo muy corto. El concepto puede extenderse a la noción matemática abstracta de un sistema dinámico utilizando un parámetro de evolución .

Desde un punto de vista práctico, es importante saber cómo responde el sistema a una entrada repentina, ya que las desviaciones grandes y posiblemente rápidas del estado estable a largo plazo pueden tener efectos extremos en el propio componente y en otras partes del sistema general que dependen de este componente. Además, el sistema general no puede actuar hasta que la salida del componente se estabilice en una proximidad cercana a su estado final, lo que retrasa la respuesta general del sistema. Formalmente, conocer la respuesta al escalón de un sistema dinámico proporciona información sobre la estabilidad de dicho sistema y sobre su capacidad para alcanzar un estado estacionario al partir de otro.

Descripción matemática formal

Figura 4: Representación de caja negra de un sistema dinámico, su entrada y su respuesta al escalón.

Esta sección proporciona una definición matemática formal de la respuesta al escalón en términos del concepto matemático abstracto de un sistema dinámico : aquí se enumeran todas las notaciones y suposiciones necesarias para la siguiente descripción. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

• ${\displaystyle t\in T}$es el parámetro de evolución del sistema, llamado " tiempo " para simplificar,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}$es el estado del sistema en el momento , llamado "salida" por razones de simplicidad, ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \Phi :T\times M\to M}$es la función de evolución del sistema dinámico ,
• ${\displaystyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}$es el estado inicial del sistema dinámico ,
• ${\displaystyle H(t)}$es la función escalonada de Heaviside

Sistema dinámico no lineal

Para un sistema dinámico general, la respuesta al escalón se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).}$

Es la función de evolución cuando las entradas de control (o término fuente , o entradas forzadas) son funciones de Heaviside: la notación enfatiza este concepto mostrando H ( t ) como subíndice.

Sistema dinámico lineal

Para una caja negra lineal invariante en el tiempo (LTI), supongamos , por conveniencia de notación: la respuesta al escalón se puede obtener mediante la convolución del control de la función escalón de Heaviside y la respuesta al impulso h ( t ) del sistema mismo. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\equiv S}$

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .}$

lo que para un sistema LTI equivale simplemente a integrar este último. Por el contrario, para un sistema LTI, la derivada de la respuesta al escalón da como resultado la respuesta al impulso:

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t).}$

Sin embargo, estas relaciones simples no son verdaderas para un sistema no lineal o variable en el tiempo . ^[1]

Dominio del tiempo versus dominio de la frecuencia

En lugar de la respuesta de frecuencia, el rendimiento del sistema se puede especificar en términos de parámetros que describen la dependencia temporal de la respuesta. La respuesta escalonada se puede describir mediante las siguientes cantidades relacionadas con su comportamiento temporal :

• excederse
• tiempo de subida
• tiempo de asentamiento
• zumbido

En el caso de sistemas dinámicos lineales , se puede inferir mucho acerca del sistema a partir de estas características. A continuación se presenta la respuesta en escalón de un amplificador simple de dos polos y se ilustran algunos de estos términos.

En los sistemas LTI, la función que tiene la velocidad de respuesta más pronunciada y que no genera sobreimpulsos ni oscilaciones es la función gaussiana, ya que es la única función cuya transformada de Fourier tiene la misma forma.

Amplificadores de retroalimentación

Figura 1: Modelo de retroalimentación negativa ideal; la ganancia de bucle abierto es A _OL y el factor de retroalimentación es β.

En esta sección se describe la respuesta en escalón de un amplificador de retroalimentación negativa simple que se muestra en la Figura 1. El amplificador de retroalimentación consta de un amplificador principal de bucle abierto con ganancia A _OL y un bucle de retroalimentación gobernado por un factor de retroalimentación β. Se analiza este amplificador de retroalimentación para determinar cómo su respuesta en escalón depende de las constantes de tiempo que gobiernan la respuesta del amplificador principal y de la cantidad de retroalimentación utilizada.

Un amplificador de retroalimentación negativa tiene una ganancia dada por (ver amplificador de retroalimentación negativa ):

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},}$

donde A _OL = ganancia de lazo abierto , A _FB = ganancia de lazo cerrado (la ganancia con retroalimentación negativa presente) y β = factor de retroalimentación .

Con un polo dominante

En muchos casos, el amplificador directo se puede modelar suficientemente bien en términos de un único polo dominante de constante de tiempo τ, como una ganancia de bucle abierto dada por:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},}$

con ganancia de frecuencia cero A ₀ y frecuencia angular ω = 2π f . Este amplificador directo tiene respuesta de escalón unitario

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$,

un enfoque exponencial desde 0 hacia el nuevo valor de equilibrio de A ₀ .

La función de transferencia del amplificador unipolar conduce a la ganancia de bucle cerrado:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Esta ganancia de bucle cerrado tiene la misma forma que la ganancia de bucle abierto: un filtro unipolar. Su respuesta escalonada tiene la misma forma: una caída exponencial hacia el nuevo valor de equilibrio. Pero la constante de tiempo de la función escalonada de bucle cerrado es τ / (1 + β A ₀ ), por lo que es más rápida que la respuesta del amplificador directo por un factor de 1 + β A ₀ :

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right),}$

A medida que aumenta el factor de retroalimentación β , la respuesta escalonada se hará más rápida, hasta que la suposición original de un polo dominante ya no sea precisa. Si hay un segundo polo, cuando la constante de tiempo de bucle cerrado se acerque a la constante de tiempo del segundo polo, será necesario un análisis de dos polos.

Amplificadores de dos polos

En el caso de que la ganancia de lazo abierto tenga dos polos (dos constantes de tiempo , τ ₁ , τ ₂ ), la respuesta al escalón es un poco más complicada. La ganancia de lazo abierto viene dada por:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

con ganancia de frecuencia cero A ₀ y frecuencia angular ω = 2 πf .

Análisis

La función de transferencia del amplificador de dos polos conduce a la ganancia de bucle cerrado:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Figura 2: Ubicaciones de los polos conjugados para un amplificador de retroalimentación de dos polos; Re( s ) es el eje real e Im( s ) es el eje imaginario.

La dependencia temporal del amplificador es fácil de descubrir cambiando las variables a s = j ω, con lo cual la ganancia se convierte en:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

Los polos de esta expresión (es decir, los ceros del denominador) se encuentran en:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

lo que muestra que para valores suficientemente grandes de βA ₀ la raíz cuadrada se convierte en la raíz cuadrada de un número negativo, es decir, la raíz cuadrada se vuelve imaginaria y las posiciones polares son números conjugados complejos, ya sea s ₊ o s ₋ ; ver Figura 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

con

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

y

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

Utilizando coordenadas polares con la magnitud del radio de las raíces dada por | s | (Figura 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

y la coordenada angular φ viene dada por:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

Las tablas de transformadas de Laplace muestran que la respuesta temporal de dicho sistema se compone de combinaciones de las dos funciones:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

Es decir, las soluciones son oscilaciones amortiguadas en el tiempo. En particular, la respuesta al escalón unitario del sistema es: ^[2]

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

Lo cual se simplifica a

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

cuando A ₀ tiende a infinito y el factor de retroalimentación β es uno.

Nótese que la amortiguación de la respuesta está determinada por ρ, es decir, por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto. En contraste, la frecuencia de oscilación está determinada por μ, es decir, por el parámetro de retroalimentación a través de β A ₀ . Debido a que ρ es una suma de los recíprocos de las constantes de tiempo, es interesante notar que ρ está dominado por el más corto de los dos.

Resultados

Figura 3: Respuesta escalonada de un amplificador de retroalimentación lineal de dos polos; el tiempo está en unidades de 1/ ρ , es decir, en términos de las constantes de tiempo de A _OL ; las curvas se trazan para tres valores de mu  =  μ , que está controlado por  β .

La figura 3 muestra la respuesta temporal a una entrada de escalón unitario para tres valores del parámetro μ. Se puede observar que la frecuencia de oscilación aumenta con μ, pero las oscilaciones están contenidas entre las dos asíntotas establecidas por las exponenciales [ 1 − exp(− ρt ) ] y [ 1 + exp(−ρt) ]. Estas asíntotas están determinadas por ρ y, por lo tanto, por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto, independientemente de la realimentación.

El fenómeno de oscilación en torno al valor final se denomina oscilación de oscilación . El sobreimpulso es la oscilación máxima por encima del valor final y aumenta claramente con μ. Del mismo modo, el subimpulso es la oscilación mínima por debajo del valor final, que también aumenta con μ. El tiempo de estabilización es el tiempo que tarda la desviación del valor final en descender por debajo de un nivel especificado, por ejemplo, el 10 % del valor final.

La dependencia del tiempo de asentamiento con respecto a μ no es obvia, y la aproximación de un sistema de dos polos probablemente no sea lo suficientemente precisa como para sacar conclusiones reales sobre la dependencia de la retroalimentación del tiempo de asentamiento. Sin embargo, las asíntotas [ 1 − exp(− ρt ) ] y [ 1 + exp (− ρt ) ] claramente afectan el tiempo de asentamiento, y están controladas por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto, en particular la más corta de las dos constantes de tiempo. Esto sugiere que se debe cumplir con una especificación sobre el tiempo de asentamiento mediante un diseño apropiado del amplificador de lazo abierto.

Las dos conclusiones principales de este análisis son:

1. La retroalimentación controla la amplitud de la oscilación alrededor del valor final para un amplificador de bucle abierto dado y valores dados de constantes de tiempo de bucle abierto, τ ₁ y τ ₂ .
2. El amplificador de lazo abierto decide el tiempo de estabilización. Establece la escala de tiempo de la Figura 3 y, cuanto más rápido sea el amplificador de lazo abierto, más rápida será esta escala de tiempo.

Aparte de esto, se puede notar que las desviaciones en el mundo real de este modelo lineal de dos polos ocurren debido a dos complicaciones importantes: primero, los amplificadores reales tienen más de dos polos, además de ceros; y segundo, los amplificadores reales son no lineales, por lo que su respuesta al escalón cambia con la amplitud de la señal.

Figura 4: Respuesta de escalón para tres valores de α. Arriba: α = 4; Centro: α = 2; Abajo: α = 0,5. A medida que se reduce α, la separación de polos se reduce y el sobreimpulso aumenta.

Control de sobreimpulso

A continuación se analiza cómo se puede controlar el sobreimpulso mediante la elección de parámetros adecuados.

Utilizando las ecuaciones anteriores, la cantidad de sobreimpulso se puede encontrar diferenciando la respuesta al escalón y hallando su valor máximo. El resultado para la respuesta al escalón máxima Smax _es : ^[3]

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

El valor final de la respuesta al escalón es 1, por lo que la exponencial es el sobreimpulso real en sí. Está claro que el sobreimpulso es cero si μ = 0, que es la condición:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

Esta ecuación cuadrática se resuelve para la relación de constantes de tiempo estableciendo x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 con el resultado

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

Como β A ₀ ≫ 1, se puede eliminar el 1 en la raíz cuadrada y el resultado es

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

En otras palabras, la primera constante de tiempo debe ser mucho mayor que la segunda. Para ser más aventureros que un diseño que no permita sobrepasar el límite, podemos introducir un factor α en la relación anterior:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

y sea α el valor de sobreimpulso que sea aceptable.

La figura 4 ilustra el procedimiento. La comparación del panel superior (α = 4) con el panel inferior (α = 0,5) muestra que los valores más bajos de α aumentan la tasa de respuesta, pero aumentan el sobreimpulso. El caso α = 2 (panel central) es el diseño de máxima planitud que no muestra picos en el gráfico de ganancia de Bode frente a frecuencia . Ese diseño tiene el margen de seguridad incorporado de la regla general para lidiar con realidades no ideales como polos múltiples (o ceros), no linealidad (dependencia de la amplitud de la señal) y variaciones de fabricación, cualquiera de las cuales puede conducir a un sobreimpulso excesivo. El ajuste de la separación de polos (es decir, la configuración de α) es el tema de la compensación de frecuencia , y uno de esos métodos es la división de polos .

Control del tiempo de asentamiento

La amplitud de la oscilación en la respuesta al escalón de la Figura 3 está determinada por el factor de amortiguamiento exp(− ρt ). Es decir, si especificamos una desviación aceptable de la respuesta al escalón respecto del valor final, digamos Δ, es decir:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

Esta condición se cumple independientemente del valor de β A _OL siempre que el tiempo sea mayor que el tiempo de establecimiento, digamos t _S , dado por: ^[4]

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

donde τ ₁  ≫ τ ₂ es aplicable debido a la condición de control de sobreimpulso, que hace que τ ₁  =  αβA _OL τ ₂ . A menudo, se hace referencia a la condición de tiempo de establecimiento diciendo que el período de establecimiento es inversamente proporcional al ancho de banda de ganancia unitaria, porque 1/(2 π  τ ₂ ) está cerca de este ancho de banda para un amplificador con compensación de polo dominante típica . Sin embargo, este resultado es más preciso que esta regla empírica . Como ejemplo de esta fórmula, si Δ = 1/e ⁴ = 1,8 %, la condición de tiempo de establecimiento es t _S  = 8  τ ₂ .

En general, el control del sobreimpulso establece la relación de la constante de tiempo y el tiempo de establecimiento t _S establece τ ₂ . ^{[5] [6] [7]}

Identificación de sistemas mediante la respuesta al escalón: Sistema con dos polos reales

Respuesta al escalón del sistema con . Medir el punto significativo , y . ${\displaystyle x(t)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t_{25}}$ ${\displaystyle t_{75}}$

Este método utiliza puntos significativos de la respuesta al escalón. No es necesario adivinar tangentes a la señal medida. Las ecuaciones se derivan mediante simulaciones numéricas, determinando algunas razones significativas y parámetros de ajuste de ecuaciones no lineales. Véase también. ^[8]

Aquí los pasos:

• Mida la respuesta de paso del sistema con una señal de paso de entrada . ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$
• Determinar los intervalos de tiempo y dónde la respuesta al escalón alcanza el 25% y el 75% del valor de salida en estado estable. ${\displaystyle t_{25}}$ ${\displaystyle t_{75}}$
• Determinar la ganancia en estado estable del sistema con ${\displaystyle k=A_{0}}$ ${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• Calcular $${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$ $${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$ $${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• Determinar las dos constantes de tiempo $${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$ $${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• Calcular la función de transferencia del sistema identificado dentro del dominio de Laplace. $${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

Margen de fase

Figura 5: Diagrama de ganancia de Bode para hallar el margen de fase; las escalas son logarítmicas, por lo que las separaciones etiquetadas son factores multiplicativos. Por ejemplo, f _{0 dB} = βA ₀ × f ₁ .

A continuación, la elección de la relación de polos τ ₁ / τ ₂ está relacionada con el margen de fase del amplificador de realimentación. ^[9] Se sigue el procedimiento descrito en el artículo sobre el diagrama de Bode . La Figura 5 es el diagrama de ganancia de Bode para el amplificador de dos polos en el rango de frecuencias hasta la segunda posición polar. La suposición detrás de la Figura 5 es que la frecuencia f _{0 dB} se encuentra entre el polo más bajo en f ₁  = 1/(2πτ ₁ ) y el segundo polo en f ₂  = 1/(2πτ ₂ ). Como se indica en la Figura 5, esta condición se cumple para valores de α ≥ 1.

Utilizando la Figura 5, se encuentra la frecuencia (indicada por f _{0 dB ) donde la ganancia de bucle β} A ₀ satisface la condición de ganancia unitaria o 0 dB, como se define por:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

La pendiente del lado descendente del gráfico de ganancia es (20 dB/década); por cada aumento de diez veces en la frecuencia, la ganancia cae en el mismo factor:

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

El margen de fase es la desviación de la fase en f _{0 dB} desde −180°. Por lo tanto, el margen es:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

Como f _{0 dB} / f ₁ =  βA ₀  ≫ 1, el término en f ₁ es 90°. Esto hace que el margen de fase sea:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

En particular, para el caso α = 1, φ _m = 45°, y para α = 2, φ _m = 63,4°. Sansen ^[10] recomienda α = 3, φ _m = 71,6° como una "buena posición de seguridad para empezar".

Si α se incrementa acortando τ ₂ , el tiempo de asentamiento t _S también se acorta. Si α se incrementa alargando τ ₁ , el tiempo de asentamiento t _S se altera poco. Más comúnmente, tanto τ ₁ como τ ₂ cambian, por ejemplo, si se utiliza la técnica de división de polos .

Por otra parte, para un amplificador con más de dos polos, el diagrama de la Figura 5 aún puede ajustarse a los diagramas de Bode haciendo de f ₂ un parámetro de ajuste, al que se hace referencia como posición de "segundo polo equivalente". ^[11]

Véase también

• Respuesta al impulso
• Sobreimpulso (señal)
• División de polos
• Tiempo de subida
• Tiempo de asentamiento
• Constante de tiempo

Referencias y notas

1. Yuriy Shmaliy (2007). Sistemas de tiempo continuo . Springer Science & Business Media. pág. 46. ISBN 978-1-4020-6272-8.
2. Benjamin C Kuo y Golnaraghi F (2003). Sistemas de control automático (octava edición). Nueva York: Wiley. p. 253. ISBN 0-471-13476-7.
3. Benjamin C Kuo y Golnaraghi F (2003). pag. 259. Wiley. ISBN 0-471-13476-7.
4. Esta estimación es un poco conservadora (larga) porque el factor 1 /sin(φ) en la contribución de sobreimpulso a S ( t ) ha sido reemplazado por 1 /sin( φ ) ≈ 1.
5. David A. Johns y Martin KW (1997). Diseño de circuitos integrados analógicos. Nueva York: Wiley. pp. 234-235. ISBN 0-471-14448-7.
6. Willy MC Sansen (2006). Fundamentos del diseño analógico. Dordrecht, Países Bajos: Springer. pág. §0528 pág. 163. ISBN 0-387-25746-2.
7. Según Johns y Martin, op. cit. , el tiempo de estabilización es significativo en circuitos con condensadores conmutados , por ejemplo, donde el tiempo de estabilización de un amplificador operacional debe ser menor que la mitad de un período de reloj para una transferencia de carga suficientemente rápida.
8. "Identificación de un sistema PT2 amortiguado | Hackaday.io". hackaday.io . Consultado el 6 de agosto de 2018 .
9. El margen de ganancia del amplificador no se puede encontrar utilizando un modelo de dos polos, porque el margen de ganancia requiere la determinación de la frecuencia f ₁₈₀ donde la ganancia cambia de signo, y esto nunca sucede en un sistema de dos polos. Si conocemos f ₁₈₀ para el amplificador en cuestión, el margen de ganancia se puede encontrar de manera aproximada, pero f ₁₈₀ depende entonces de la tercera posición de polo y de posiciones superiores, al igual que el margen de ganancia, a diferencia de la estimación del margen de fase, que es una estimación de dos polos.
10. Willy MC Sansen (30 de noviembre de 2006). §0526 pág. 162. Springer. ISBN 0-387-25746-2.
11. Gaetano Palumbo y Pennisi S (2002). Amplificadores de realimentación: teoría y diseño. Boston/Dordrecht/Londres: Kluwer Academic Press. pp. § 4.4 pp. 97–98. ISBN 0-7923-7643-9.

Lectura adicional

• Robert I. Demrow Tiempo de estabilización de los amplificadores operacionales [1]
• Cezmi Kayabasi Técnicas de medición del tiempo de asentamiento que logran alta precisión a altas velocidades [2]
• Vladimir Igorevic Arnol'd "Ecuaciones diferenciales ordinarias", varias ediciones de MIT Press y de Springer Verlag, capítulo 1 "Conceptos fundamentales"

Enlaces externos

• Diapositivas de Power Point de Kuo; Capítulo 7 especialmente