Resistencia a la radiación

La resistencia a la radiación es la parte de la resistencia eléctrica del punto de alimentación de una antena causada por la emisión de ondas de radio desde la antena. ^{[a] [1] [2]} Un transmisor de radio aplica una corriente alterna de radiofrecuencia a una antena, que irradia la energía de la corriente en forma de ondas de radio . Debido a que la antena absorbe la energía que irradia desde el transmisor, los terminales de entrada de la antena presentan una resistencia a la corriente del transmisor.

La resistencia a la radiación es una resistencia efectiva , debido a la potencia transportada desde la antena en forma de ondas de radio. ^{[1] [2] A diferencia de} la resistencia óhmica convencional , la resistencia a la radiación no es una oposición a la corriente ( resistividad ) de los materiales conductores imperfectos de los que está hecha la antena. La resistencia a la radiación ( ) se define convencionalmente como el valor de la resistencia eléctrica que disiparía la misma cantidad de potencia en forma de calor que la disipada por las ondas de radio emitidas desde la antena. ^{[1] [3] [4]} Según la ley de Joule , es igual a la potencia total radiada en forma de ondas de radio por la antena, dividida por el cuadrado de la corriente RMS en los terminales de la antena: ^{[4] [b] [c]} ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ I_{\mathsf {RMS}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}=P_{\mathsf {rad}}/I_{\mathsf {RMS}}^{2}~.}$

Las resistencias del punto de alimentación y de la radiación están determinadas por la geometría de la antena, la frecuencia de operación y la ubicación de la antena (particularmente con respecto al suelo). La relación entre la resistencia del punto de alimentación ( ) y la resistencia de radiación ( ) depende de la posición en la antena en la que se conecta la línea de alimentación. ^{[d] [7] [1]} La relación entre la resistencia del punto de alimentación y la resistencia de radiación es particularmente simple cuando el punto de alimentación se coloca (como es habitual) en el punto de voltaje mínimo posible / corriente máxima posible de la antena; en ese caso, la resistencia total del punto de alimentación en los terminales de la antena es igual a la suma de la resistencia de radiación más la resistencia de pérdida debido a las pérdidas "óhmicas" en la antena y el suelo cercano: Cuando la antena se alimenta en algún otro punto, la fórmula requiere un factor de corrección que se analiza a continuación. En una antena receptora, la resistencia de radiación representa la resistencia de la fuente de la antena, y la parte de la potencia de radio recibida consumida por la resistencia de radiación representa las ondas de radio re-irradiadas (dispersadas) por la antena. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {loss}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}=R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}\ .}$

Causa

Las ondas electromagnéticas son radiadas por cargas eléctricas cuando se aceleran . ^{[2] [10]} En una antena transmisora, las ondas de radio se generan mediante corrientes eléctricas que varían en el tiempo , que consisten en electrones que se aceleran a medida que fluyen de un lado a otro en la antena de metal, impulsados ​​por el campo eléctrico debido al voltaje oscilante aplicado a la antena por el transmisor de radio . ^{[11] [12]} Una onda electromagnética aleja el momento del electrón que la emitió. La causa de la resistencia a la radiación es la reacción de radiación , la fuerza de retroceso sobre el electrón cuando emite un fotón de onda de radio , que reduce su momento . ^{[13] [14] [2]} Esto se llama fuerza de Abraham-Lorentz . La fuerza de retroceso está en una dirección opuesta al campo eléctrico en la antena que acelera el electrón, reduciendo la velocidad promedio de los electrones para un voltaje de accionamiento dado, por lo que actúa como una resistencia que se opone a la corriente.

Resistencia a la radiación y resistencia a la pérdida

La resistencia de radiación es solo una parte de la resistencia del punto de alimentación en los terminales de la antena. Una antena tiene otras pérdidas de energía que aparecen como resistencia adicional en los terminales de la antena: resistencia óhmica de los elementos metálicos de la antena, pérdidas de tierra por corrientes inducidas en el suelo y pérdidas dieléctricas en materiales aislantes . Cuando el punto de alimentación está (como es habitual) en un mínimo de tensión y un máximo de corriente, la resistencia total del punto de alimentación es igual a la suma de la resistencia de radiación y la resistencia de pérdida. ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {loss}}\ }$

${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}=R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}\ }$

La potencia suministrada a la antena se divide proporcionalmente entre estas dos resistencias. ^{[1] [15]} ${\displaystyle P_{\mathsf {in}}}$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {in}}=I_{\mathsf {in}}^{2}(R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}})\ }$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {in}}=P_{\mathsf {rad}}+P_{\mathsf {loss}}}$

dónde

${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}=I_{\mathsf {in}}^{2}R_{\mathsf {rad}}\quad }$y ${\displaystyle \quad P_{\mathsf {loss}}=I_{\mathsf {in}}^{2}R_{\mathsf {loss}}\ }$

La potencia consumida por la resistencia de radiación se convierte en ondas de radio, la función deseada de la antena, mientras que la potencia consumida por la resistencia de pérdida se convierte en calor, lo que representa un desperdicio de potencia del transmisor. ^[1] Por lo tanto, para una pérdida de potencia mínima, es deseable que la resistencia de radiación sea mucho mayor que la resistencia de pérdida. La relación entre la resistencia de radiación y la resistencia total del punto de alimentación es igual a la eficiencia ( ) de la antena. ${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ P_{\mathsf {loss}}\ }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \ \eta ={P_{\mathsf {rad}} \over P_{\mathsf {in}}}={R_{\mathsf {rad}} \over R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}}\ }$

Para transferir la máxima potencia a la antena, el transmisor y la línea de alimentación deben tener una impedancia adaptada a la antena. Esto significa que la línea de alimentación debe presentar a la antena una resistencia igual a la resistencia de entrada y una reactancia (capacitancia o inductancia) igual pero opuesta a la reactancia de la antena. Si estas impedancias no están adaptadas, la antena reflejará parte de la potencia hacia el transmisor, por lo que no se irradiará toda la potencia. En el caso de las antenas "grandes", la resistencia de radiación suele ser la parte principal de su resistencia de entrada, por lo que determina qué adaptación de impedancia es necesaria y qué tipos de línea de transmisión se adaptarían bien a la antena. ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$

Efecto del punto de alimentación

Cuando el punto de alimentación se coloca en una ubicación distinta del punto de voltaje mínimo/corriente máxima, o si no se produce un mínimo de voltaje "plano" en la antena, entonces la relación simple ya no se cumple. ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}=R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}\ }$

En una antena resonante , la corriente y el voltaje forman ondas estacionarias a lo largo de la longitud del elemento de antena, por lo que la magnitud de la corriente en la antena varía sinusoidalmente a lo largo de su longitud. El punto de alimentación , el lugar donde se conecta la línea de alimentación del transmisor, puede ubicarse en cualquier lugar a lo largo del elemento de antena. Dado que la resistencia del punto de alimentación depende de la corriente de entrada, varía con el punto de alimentación. ^[5] Es más baja para los puntos de alimentación ubicados en un punto de corriente máxima (un antinodo ), ^[c] y más alta para los puntos de alimentación ubicados en un punto de corriente mínima, un nodo , como al final del elemento (teóricamente, en un elemento de antena infinitesimalmente delgado, la resistencia de radiación es infinita en un nodo, pero el espesor finito de los elementos de antena reales le da un valor alto pero finito, del orden de miles de ohmios). ^[16]

La elección del punto de alimentación se utiliza a veces como una forma conveniente de adaptar la impedancia de una antena a su línea de alimentación, conectando la línea de alimentación a la antena en un punto en el que su resistencia de entrada es igual a la impedancia de la línea de alimentación .

Para dar un valor significativo para la eficiencia de la antena, la resistencia de radiación y la resistencia de pérdida deben referirse al mismo punto en la antena, a menudo los terminales de entrada. ^{[17] [18]} La resistencia de radiación se calcula por convención con respecto a la corriente máxima posible en la antena. ^{[5] Cuando la antena se alimenta en un punto de corriente máxima, como en el} dipolo de media onda alimentado por el centro común o el monopolo de cuarto de onda alimentado por la base , ese valor es principalmente la resistencia de radiación. Sin embargo, si la antena se alimenta en algún otro punto, la resistencia de radiación equivalente en ese punto se puede calcular fácilmente a partir de la relación de las corrientes de antena ^{[16] [18]} ${\displaystyle \ I_{\mathsf {0}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad\ 0}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad\ 1}}\ }$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}=I_{\mathsf {0}}^{2}R_{\mathsf {rad\ 0}}=I_{\mathsf {1}}^{2}R_{\mathsf {rad\ 1}}\ }$

${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad\ 1}}=\left({I_{\mathsf {0}} \over I_{\mathsf {1}}}\right)^{2}R_{\mathsf {rad\ 0}}\approx \left({\frac {\ \sin \theta _{\mathsf {0}}\ }{\sin \theta _{\mathsf {1}}}}\right)^{2}R_{\mathsf {rad\ 0}}\ }$

donde y son las longitudes eléctricas (en grados eléctricos o radianes) desde el nodo actual (normalmente medido desde la punta de una antena lineal). ${\displaystyle \ \theta _{\mathsf {0}}\ }$ ${\displaystyle \ \theta _{\mathsf {1}}\ }$

Antenas receptoras

En una antena receptora, la resistencia de radiación representa la resistencia de la fuente de la antena como una fuente de energía ( equivalente de Thevenin ). Debido a la reciprocidad electromagnética , una antena tiene la misma resistencia de radiación cuando recibe ondas de radio que cuando transmite. Si la antena está conectada a una carga eléctrica, como un receptor de radio , la potencia recibida de las ondas de radio que golpean la antena se divide proporcionalmente entre la resistencia de radiación y la resistencia de pérdida de la antena y la resistencia de carga. ^{[8] [9]} La potencia disipada en la resistencia de radiación se debe a las ondas de radio re-irradiadas (dispersadas) por la antena. ^{[8] [9]} La potencia máxima se entrega al receptor cuando está adaptado en impedancia a la antena. Si la antena no tiene pérdidas, la mitad de la potencia absorbida por la antena se entrega al receptor, la otra mitad se re-irradia. ^{[8] [9]}

Resistencia a la radiación de las antenas comunes

En todas las fórmulas que se enumeran a continuación, la resistencia de radiación es la denominada resistencia de "espacio libre", que tendría la antena si estuviera montada a varias longitudes de onda de distancia del suelo (sin incluir la distancia a un contrapeso elevado , si lo hubiera). Las antenas instaladas tendrán resistencias de radiación más altas o más bajas si están montadas cerca del suelo (menos de 1  longitud de onda ) además de la resistencia de pérdida del campo eléctrico cercano de la antena que penetra el suelo. ^{[d] [1]}

Las cifras anteriores suponen que las antenas están hechas de conductores delgados y suficientemente alejadas de grandes estructuras metálicas, que las antenas dipolo están suficientemente lejos del suelo y que los monopolos están montados sobre un plano de tierra perfectamente conductor .

La resistencia de radiación del dipolo de media onda de espesor cero de 73 Ω (aproximadamente 67 Ω de espesor finito) es lo suficientemente cercana a la impedancia característica de los cables coaxiales comunes de 50 Ω y 75 Ω como para que pueda alimentarse directamente sin necesidad de una red de adaptación de impedancia . Esta es una de las razones del amplio uso del dipolo de media onda como elemento accionado en antenas. ^[21]

Relación entre monopolos y dipolos

La resistencia de radiación de una antena monopolar creada al reemplazar un lado de una antena dipolo por un plano de tierra perpendicular es la mitad de la resistencia de la antena dipolo original. Esto se debe a que el monopolo irradia solo en la mitad del espacio, el espacio sobre el plano, por lo que el patrón de radiación es idéntico a la mitad del patrón dipolar y, por lo tanto, con la misma corriente de entrada, irradia solo la mitad de la potencia. ^[22]

Esto no resulta obvio a partir de las fórmulas de la tabla porque las diferentes longitudes utilizan el mismo símbolo; sin embargo, la antena monopolar derivada tiene solo la mitad de longitud que la antena dipolo original. Esto se puede demostrar calculando la resistencia de radiación de un dipolo corto (longitud ), que es el doble de la longitud del monopolo correspondiente ( ): ${\displaystyle \ell \,;}$ ${\displaystyle \ \ell _{\mathsf {di}}\ }$ ${\displaystyle \ \ell _{\mathsf {mon}}\ }$

${\displaystyle R_{\mathsf {rad,dip}}=20\pi ^{2}\left({\frac {\ \ell _{\mathsf {dip}}\ }{\lambda }}\right)^{2}=20\pi ^{2}\left({\frac {2\ell _{\mathsf {mon}}}{\lambda }}\right)^{2}=80\pi ^{2}\left({\frac {\ell _{\mathsf {mon}}}{\lambda }}\right)^{2}\qquad }$(longitud del dipolo ). ${\displaystyle \ell _{\mathsf {dip}}=2\ell _{\mathsf {mon}}}$

Comparando esto con la fórmula del monopolo corto se muestra que el dipolo tiene el doble de resistencia a la radiación que el monopolo:

${\displaystyle R_{\mathsf {rad,mon}}=40\pi ^{2}\left({\frac {\ \ell _{\mathsf {mon}}\ }{\lambda }}\right)^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad }$(monopolo de longitud ). ${\displaystyle \ell _{\mathsf {mon}}}$

Esto confirma la consistencia de modelar físicamente un dipolo alimentado centralmente como dos monopolos, colocados de extremo a extremo, con puntos de alimentación adyacentes.

Cálculo

Calcular la resistencia a la radiación de una antena directamente a partir de la fuerza de reacción sobre los electrones es muy complicado y presenta dificultades conceptuales a la hora de tener en cuenta la fuerza propia del electrón. ^[2] En cambio, la resistencia a la radiación se calcula calculando el patrón de radiación de campo lejano de la antena, el flujo de potencia ( vector de Poynting ) en cada ángulo, para una corriente de antena dada. ^[23] Esto se integra sobre una esfera que encierra la antena para dar la potencia total radiada por la antena. Luego, la resistencia a la radiación se calcula a partir de la ley de conservación de la energía , como la resistencia que debe presentar la antena a la corriente de entrada para absorber la potencia radiada del transmisor, utilizando la ley de Joule ^[b]. ${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}={\frac {P_{\mathsf {rad}}}{\ I_{\mathsf {RMS}}^{2}\ }}~.}$

Antenas pequeñas

Las antenas eléctricamente cortas , antenas con una longitud mucho menor que una longitud de onda , son antenas de transmisión deficientes, ya que no se pueden alimentar de manera eficiente debido a su baja resistencia a la radiación.

En frecuencias inferiores a 1 MHz, el tamaño de los circuitos eléctricos ordinarios y la longitud de los cables que se utilizan en ellos son mucho menores que la longitud de onda, por lo que, cuando se los considera como antenas, irradian una fracción insignificante de la potencia que emiten en forma de ondas de radio. Esto explica por qué los circuitos eléctricos pueden utilizarse con corriente alterna sin perder energía en forma de ondas de radio. ^[g]

Como se puede ver en la tabla anterior, para antenas lineales más cortas que su longitud resonante fundamental (menor que ⁠1/ 2 ⁠  λ  para una antena dipolo, ⁠1/ 4 ⁠  λ  para un monopolo) la resistencia a la radiación disminuye con el cuadrado de su longitud; ^[24] para las antenas de bucle el cambio es aún más extremo, con bucles subresonantes (circunferencia menor a 1   λ  para un bucle continuo, o ⁠1/ 2 ⁠  λ  para un bucle dividido ) la resistencia de radiación disminuye con la cuarta potencia de la longitud del perímetro. La resistencia de pérdida está en serie con la resistencia de radiación y, a medida que la longitud disminuye, la resistencia de pérdida solo disminuye en proporción a la primera potencia de la longitud ( resistencia del cable ) o permanece constante ( resistencia de contacto ) y, por lo tanto, constituye una proporción creciente de la resistencia del punto de alimentación. Entonces, con un tamaño de antena más pequeño, medido en longitudes de onda, la pérdida por calor consume una fracción mayor de la potencia del transmisor, lo que hace que la eficiencia de la antena disminuya.

Por ejemplo, las armadas utilizan ondas de radio de unos 15-30 kHz en la banda de muy baja frecuencia (VLF) para comunicarse con submarinos sumergidos . Una onda de radio de 15 kHz tiene una longitud de onda de 20 km. Los potentes transmisores navales costeros VLF que transmiten a los submarinos utilizan grandes antenas de mástil monopolar que están limitadas por los costos de construcción a alturas de unos 300 metros (980 pies). Aunque estas antenas son enormes en comparación con un humano, a 15 kHz la altura de la antena sigue siendo de solo alrededor de 0,015 longitudes de onda, por lo que, paradójicamente, las enormes antenas VLF son eléctricamente cortas . De la tabla anterior, una antena monopolar de 0,015 λ tiene una resistencia a la radiación de aproximadamente 0,09 ohmios.

Es extremadamente difícil reducir la resistencia de pérdida de una antena a este nivel. Dado que la resistencia óhmica del enorme sistema de tierra y la bobina de carga no se puede hacer inferior a unos 0,5 ohmios, la eficiencia de una antena vertical simple es inferior al 20%, por lo que más del 80% de la potencia del transmisor se pierde en la resistencia de tierra. Para aumentar la resistencia de radiación, los transmisores VLF utilizan enormes antenas de carga superior capacitiva, como las antenas de paraguas y las antenas de techo plano , en las que se fija una red aérea de cables horizontales a la parte superior del radiador vertical para hacer una "placa de condensador" a tierra, para aumentar la corriente en el radiador vertical. Sin embargo, esto solo puede aumentar la eficiencia al 50-70% como máximo.

Las antenas receptoras pequeñas, como las antenas de ferrita de bucle utilizadas en las radios AM, también tienen una baja resistencia a la radiación y, por lo tanto, producen una salida muy baja. Sin embargo, a frecuencias inferiores a unos 20 MHz, donde la estática es omnipresente, esto no es un problema, ya que una señal débil de la antena puede simplemente amplificarse en el receptor sin que el ruido del amplificador agregue una cantidad apreciable al ruido ya sustancial que acompaña a la señal, manteniendo laS/nortetan bueno (o malo) como antes.

Definición de variables

Notas al pie

1. La resistencia de radiación R _rad es por definición el valor medido en un nodo de tensión. Solo es compatible con una parte de la resistencia del punto de alimentación en el caso especial (común) de que el punto de alimentación se coloque en el máximo de corriente. Si la antena se alimenta en cualquier otro punto, independientemente de la reactancia (si la hay), la parte de su impedancia resistiva debida a la radiación se transformará y deberá multiplicarse por un factor de corrección dependiente de la posición.
2. Algunas derivaciones utilizan la corriente sinusoidal máxima en lugar de la corriente RMS y la versión equivalente de la ley de Joule: ${\displaystyle \ I_{\mathsf {peak}}={\sqrt {2\ }}\ I_{\mathsf {RMS}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}=2P_{\mathsf {rad}}/I_{\mathsf {peak}}^{2}\ }$
3. Nótese que para producir un valor comparable entre antenas alimentadas de manera diferente, la resistencia de radiación se referencia al valor de corriente máxima, reactancia cero y de cuarto de onda (casi), incluso cuando dicha corriente no está presente en la antena real. ^{[5] [6] (pp 2‑12–2‑13)} Por ejemplo, en una antena monopolar, la impedancia del punto de alimentación real se convierte en la "corriente máxima" (posiblemente inexistente) dividiéndola por el seno de la longitud eléctrica : donde ^[1] La división por el seno se puede aplicar a la corriente o a la resistencia; en el último caso, la división convierte la resistencia de radiación en la parte radiativa de la resistencia del punto de alimentación. ${\displaystyle \ I_{\mathsf {max}}\ }$ ${\displaystyle \ I_{\mathsf {max}}\approx {\frac {I_{\mathsf {in}}}{\ \sin \theta \ }}\ ,}$ ${\displaystyle \ \theta \equiv 2\pi \left|z_{\mathsf {top}}-z_{\mathsf {in}}\right|/\lambda ~.}$
4. Para una discusión del cambio de resistencia en función de la altura, consulte Antena de radio § Efecto del suelo .
5. Debido a los efectos finales, un dipolo de espesor finito no es resonante a una longitud de media longitud de onda, sino que tiene reactancia inductiva. Un dipolo delgado típico es en realidad resonante (no tiene reactancia ) a una longitud ligeramente más corta, alrededor de la cual su resistencia a la radiación es de aproximadamente 67 Ω. ^[19] ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\lambda \ }$ ${\displaystyle \ 0.475\lambda \ =\ 95\%\ \times \ {\tfrac {1}{2}}\lambda \ ,}$
6. La resistencia del punto de alimentación de una antena de media onda horizontal varía enormemente con la altura: desde aproximadamente ~45 Ω a ⁠~+1/ 10 ⁠  onda sobre el suelo, a poco más de 90 Ω cerca de ⁠~+ 1 /4⁠  onda, debido a la interacción entre la antena y sus propias ondas emitidas reflejadas desde el suelo. La resistencia comienza a establecerse en 70 Ω en algún lugar alrededor de ⁠~+ 3 /4⁠  La onda es alta, pero al aumentar la altura continúa oscilando por encima y por debajo del valor nominal hasta que la antena está muy por encima de ⁠1+ 1 /4⁠  longitudes de onda por encima del suelo (o del plano de tierra , si lo hay). ^[20] La resistencia de radiación real se ve afectada de manera similar. Las pérdidas en la línea de alimentación, el suelo y el metal de la antena se suman a la resistencia del punto de alimentación , pero no cambian por sí mismas la resistencia de radiación .
7. El problema contrario existe en los circuitos eléctricos de alta velocidad, como los que se utilizan en los ordenadores personales y los dispositivos portátiles: las frecuencias que se utilizan son muy altas, en el rango de los gigahercios y más allá, donde las longitudes de onda son del orden de 10  cm , el mismo tamaño que el dispositivo. Por lo tanto, para los circuitos de alta velocidad, la pérdida de potencia debido a la radiación no deseada es un problema importante, al igual que otros problemas relacionados con las largas líneas de trazado en las placas de circuito que actúan como antenas receptoras.

Véase también

• Eficiencia de la antena
• Impedancia del espacio libre

Referencias

1. 
   Straw, R. Dean; et al., eds. (2000). El libro de antenas de la ARRL (19.ª ed.). American Radio Relay League . pág. 2.2. ISBN 0-87259-817-9.
2. Feynman, Leighton y Sands (1963), pág. 32‑1.
3. "Resistencia a la radiación". Glosario de telecomunicaciones de ATIS . Alianza para soluciones de la industria de las telecomunicaciones. 2019. Consultado el 14 de mayo de 2020 .
4. Yarman, Binboga S. (2008). Diseño de redes de adaptación de antenas de banda ultra ancha. Springer Science and Business Media. pág. 22. ISBN 978-1-4020-8417-1.
5. Kraus (1988), págs. 227–228.
6. Johnson, Richard C.; Jasik, Henry, eds. (1984) [1961]. Manual de ingeniería de antenas (2.ª ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill. págs. 2‑12–2‑13. LCCN  59-14455.
7. Balanis (2005), págs. 10‑11.
8. Kraus (1988), pág. 32.
9. Balanis (2005), págs. 83–85.
10. Kraus (1988), pág. 50.
11. Serway, Raymond; Faughn, Jerry; Vuille, Chris (2008). Física universitaria (8.ª ed.). Cengage Learning. pág. 714. ISBN 978-0-495-38693-3.
12. Balanis (2005), págs. 10-11.
13. van Holten, Theo (2016). ¿El mundo atómico es espeluznante? ¡No necesariamente lo es!. Springer. pp. 272–274. ISBN 978-94-6239-234-2.
14. McDonald, Kirk T. (29 de mayo de 2017). Fuerza de reacción a la radiación y resistencia a la radiación de antenas pequeñas (PDF) . Princeton, NJ: Laboratorio Joseph Henry, Universidad de Princeton . Consultado el 25 de junio de 2024 .
15. Ellingson, Steven W. (2016). Ingeniería de sistemas de radio. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-78516-4.
16. Kraus (1988), pág. 228.
17. Rauch, Tom (2004). «Resistencia a la radiación». Sitio web personal de W8JI . Tom Rauch . Consultado el 12 de mayo de 2020 .
18. Balanis (2005), pág. 179.
19. Wallace, Richard; Andreasson, Krister (2005). Introducción a los componentes pasivos de RF y microondas. Artech House. pág. 77. ISBN 978-1-63081-009-2.
20. Straw, R. Dean; et al., eds. (20 de marzo de 2007). "Capítulo 9: Adaptación de antenas de banda ancha". The ARRL Antenna Book (21.ª ed.). Newington, CT: American Radio Relay League . pág. 9‑2. ISBN 978-0-87259-987-1.
21. Huang, Yi; Boyle, Kevin (2008). Antenas: de la teoría a la práctica. John Wiley and Sons. pág. 135. ISBN 978-0-470-77292-8.
22. Stutzman y Thiele (2012), págs. 78–80.
23. Balanis (2005), pág. 154.
24. Schmitt (2002), pág. 232.

Fuentes

• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963). Las conferencias Feynman sobre física. Vol. I. Addison-Wesley. ISBN 978-0-465-04085-8.
• Balanis, Constantine A. (2005). Teoría de antenas: análisis y diseño, 3.ª edición. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66782-X.
• Kraus, John D. (1988). Antenas (2ª ed.). Tata McGraw-Hill. ISBN 0-07-463219-1.
• Milligan, Thomas A. (2005). Diseño de antenas modernas, 2.ª edición. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-45776-3.
• Schmitt, Ron (2002). Explicación del electromagnetismo: manual para radiofrecuencia inalámbrica, compatibilidad electromagnética y electrónica de alta velocidad. Newnes. ISBN 978-0-7506-7403-4.
• Stutzman, Warren L.; Thiele, Gary A. (2012). Teoría y diseño de antenas. John Wiley. ISBN 978-0-470-57664-9.
• Weston, David (2017). Compatibilidad electromagnética: principios y aplicaciones (2.ª ed.). CRC Press. ISBN 978-1-351-83049-2.