Teorema de Bohr-Van Leeuwen

Teorema físico

El teorema de Bohr-Van Leeuwen establece que cuando se aplican de forma consistente la mecánica estadística y la mecánica clásica , el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. ^[1] Esto hace que el magnetismo en los sólidos sea únicamente un efecto mecánico cuántico y significa que la física clásica no puede explicar el paramagnetismo , el diamagnetismo y el ferromagnetismo . La incapacidad de la física clásica para explicar la triboelectricidad también se deriva del teorema de Bohr-Van Leeuwen. ^[2]

Historia

Lo que hoy se conoce como el teorema de Bohr-Van Leeuwen fue descubierto por Niels Bohr en 1911 en su tesis doctoral ^[3] y luego fue redescubierto por Hendrika Johanna van Leeuwen en su tesis doctoral en 1919. ^[4] En 1932, JH Van Vleck formalizó y amplió el teorema inicial de Bohr en un libro que escribió sobre susceptibilidades eléctricas y magnéticas. ^[5]

La importancia de este descubrimiento es que la física clásica no permite cosas como el paramagnetismo , el diamagnetismo y el ferromagnetismo y, por lo tanto, se necesita la física cuántica para explicar los eventos magnéticos. ^[6] Este resultado, "quizás la publicación más deflacionaria de todos los tiempos", ^[7] puede haber contribuido al desarrollo de Bohr de una teoría cuasiclásica del átomo de hidrógeno en 1913.

Prueba

Una prueba intuitiva

El teorema de Bohr-Van Leeuwen se aplica a un sistema aislado que no puede rotar. Si se permite que el sistema aislado rote en respuesta a un campo magnético aplicado externamente, entonces este teorema no se aplica. ^[8] Si, además, solo hay un estado de equilibrio térmico en una temperatura y campo dados, y se le permite al sistema tiempo para volver al equilibrio después de que se aplica un campo, entonces no habrá magnetización.

La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado de movimiento dado se predice mediante las estadísticas de Maxwell-Boltzmann como proporcional a , donde es la energía del sistema, es la constante de Boltzmann y es la temperatura absoluta . Esta energía es igual a la suma de la energía cinética ( para una partícula con masa y velocidad ) y la energía potencial . ^[8] ${\displaystyle \exp(-U/k_{\text{B}}T)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle mv^{2}/2}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

El campo magnético no contribuye a la energía potencial. La fuerza de Lorentz sobre una partícula con carga y velocidad es ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$

donde es el campo eléctrico y es la densidad de flujo magnético . La tasa de trabajo realizado es y no depende de . Por lo tanto, la energía no depende del campo magnético, por lo que la distribución de movimientos no depende del campo magnético. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

En un campo cero, no habrá movimiento neto de partículas cargadas porque el sistema no puede rotar. Por lo tanto, habrá un momento magnético medio de cero. Como la distribución de movimientos no depende del campo magnético, el momento en equilibrio térmico permanece cero en cualquier campo magnético. ^[8]

Una prueba más formal

Para reducir la complejidad de la prueba, se utilizará un sistema con electrones. ${\displaystyle N}$

Esto es apropiado, ya que la mayor parte del magnetismo en un sólido es transportado por electrones, y la prueba se puede generalizar fácilmente a más de un tipo de partícula cargada.

Cada electrón tiene una carga y masa negativas . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$

Si su posición es y la velocidad es , produce una corriente y un momento magnético ^[6] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} =e\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu } ={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} .}$

La ecuación anterior muestra que el momento magnético es una función lineal de las coordenadas de velocidad, por lo que el momento magnético total en una dirección dada debe ser una función lineal de la forma

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i},}$

donde el punto representa una derivada del tiempo y son coeficientes vectoriales que dependen de las coordenadas de posición . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}}$

La estadística de Maxwell-Boltzmann da la probabilidad de que la partícula n-ésima tenga momento y coordenadas como ${\displaystyle \mathbf {p} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$

${\displaystyle dP\propto \exp {\left[-{\frac {{\mathcal {H}}(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},}$

donde es el hamiltoniano , la energía total del sistema. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

El promedio térmico de cualquier función de estas coordenadas generalizadas es entonces ${\displaystyle f(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$

${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.}$

En presencia de un campo magnético,

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),}$

donde es el potencial vectorial magnético y es el potencial escalar eléctrico . Para cada partícula, los componentes del momento y la posición están relacionados por las ecuaciones de la mecánica hamiltoniana : ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\{\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{i}\propto \mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i},}$

Por lo tanto, el momento es una función lineal de los momentos . ^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

El momento promediado térmicamente,

${\displaystyle \langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},}$

es la suma de términos proporcional a integrales de la forma

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i})dP,}$

donde representa una de las coordenadas del momento. ${\displaystyle p}$

El integrando es una función impar de , por lo que se desvanece. ${\displaystyle p}$

Por lo tanto, . ^[6] ${\displaystyle \langle \mu \rangle =0}$

Aplicaciones

El teorema de Bohr-Van Leeuwen es útil en varias aplicaciones, incluida la física del plasma : "Todas estas referencias basan su discusión del teorema de Bohr-Van Leeuwen en el modelo físico de Niels Bohr, en el que se necesitan paredes perfectamente reflectantes para proporcionar las corrientes que cancelan la contribución neta del interior de un elemento de plasma y dan como resultado un diamagnetismo neto cero para el elemento de plasma". ^[9]

El diamagnetismo de naturaleza puramente clásica se produce en plasmas, pero es consecuencia de un desequilibrio térmico, como un gradiente en la densidad del plasma. La electromecánica y la ingeniería eléctrica también ven beneficios prácticos del teorema de Bohr-Van Leeuwen.

Referencias

1. John Hasbrouck van Vleck formuló el teorema de Bohr-Van Leeuwen como "A cualquier temperatura finita, y en todos los campos eléctricos o magnéticos finitos aplicados, la magnetización neta de una colección de electrones en equilibrio térmico se desvanece de manera idéntica". (Van Vleck, 1932)
2. Alicki, Robert; Jenkins, Alejandro (30 de octubre de 2020). "Teoría cuántica de la triboelectricidad". Physical Review Letters . 125 (18): 186101. arXiv : 1904.11997 . Código Bibliográfico :2020PhRvL.125r6101A. doi :10.1103/PhysRevLett.125.186101. hdl :10669/82347. ISSN  0031-9007. PMID  33196235. S2CID  139102854.
3. Bohr, Niehls (1972) [publicado originalmente como "Estudio sobre la teoría de los electrones metálicos", Universidad de Copenhague (1911)]. "La disertación del doctor (texto y traducción)". En Rosenfeld, L.; Nielsen, J. Rud (eds.). Obras tempranas (1905-1911) . Niels Bohr Collected Works. Vol. 1. Elsevier . págs. 163, 165–393. doi :10.1016/S1876-0503(08)70015-X. ISBN. 978-0-7204-1801-9.
4. Van Leeuwen, Hendrika Johanna (1921). "Problèmes de la théorie électronique du magnétisme" (PDF) . Journal de Physique et le Radium . 2 (12): 361–377. doi :10.1051/jphysrad:01921002012036100. S2CID  97259591.
5. Van Vleck, JH (1932). La teoría de las susceptibilidades eléctricas y magnéticas . Clarendon Press . ISBN 0-19-851243-0.
6. Aharoni, Amikam (1996). Introducción a la Teoría del Ferromagnetismo. Prensa de Clarendon . págs. 6–7. ISBN 0-19-851791-2.
7. Van Vleck, JH (1992). "Mecánica cuántica: la clave para comprender el magnetismo (Conferencia Nobel, 8 de diciembre de 1977)". En Lundqvist, Stig (ed.). Conferencias Nobel de Física 1971-1980. World Scientific . ISBN 981-02-0726-3.
8. Feynman, Richard P. ; Leighton, Robert B. ; Sands, Matthew (2006). Las conferencias Feynman sobre física . Vol. 2. pág. 34-8. ISBN 978-0465024940.
9. Roth, Reece (1967). "Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem" (PDF) . NASA . Consultado el 27 de octubre de 2008 .

Enlaces externos

• A principios del siglo XX: la relatividad y la mecánica cuántica aportan por fin comprensión