La identidad de Selberg

Identidad aproximada que involucra logaritmos de números primos

En teoría de números , la identidad de Selberg es una identidad aproximada que involucra logaritmos de números primos y que lleva el nombre de Atle Selberg . La identidad, descubierta conjuntamente por Selberg y Paul Erdős , se utilizó en la primera demostración elemental del teorema de los números primos .

Declaración

Existen varias formas diferentes pero equivalentes de la identidad de Selberg. Una forma es

${\displaystyle \sum _{p<x}(\log p)^{2}+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)}$

donde las sumas son sobre los primos p y q .

Explicación

La expresión de aspecto extraño en el lado izquierdo de la identidad de Selberg es (hasta términos más pequeños) la suma

${\displaystyle \sum _{n<x}c_{n}}$

donde estan los numeros

${\displaystyle c_{n}=\Lambda (n)\log n+\sum _{d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)}$

son los coeficientes de la serie de Dirichlet

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime \prime }(s)}{\zeta (s)}}=\left({\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\right)^{\prime }+\left({\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\right)^{2}=\sum {\frac {c_{n}}{n^{s}}}.}$

Esta función tiene un polo de orden 2 en s  = 1 con coeficiente 2, lo que da el término dominante 2 x  log( x ) en la expansión asintótica de ${\displaystyle \sum _{n<x}c_{n}.}$

Otra variación de la identidad

La identidad de Selberg a veces también se refiere a la siguiente identidad de suma de divisores que involucra la función de von Mangoldt y la función de Möbius cuando : ^[1] ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \Lambda (n)\log(n)+\sum _{d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda \!\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\log ^{2}\left({\frac {n}{d}}\right).}$

Esta variante de la identidad de Selberg se demuestra utilizando el concepto de tomar derivadas de funciones aritméticas definidas en la Sección 2.18 del libro de Apostol (ver también este enlace). ${\displaystyle f^{\prime }(n)=f(n)\cdot \log(n)}$

Referencias

1. Apostol, T. (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Nueva York: Springer. p. 46 (Sección 2.19). ISBN 0-387-90163-9.

• Pisot, Charles (1949), Démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers, Séminaire Bourbaki, vol. 1, señor  1605145
• Selberg, Atle (1949), "Una prueba elemental del teorema de los números primos", Ann. of Math. , 2, 50 (2): 305–313, doi :10.2307/1969455, JSTOR  1969455, MR  0029410