Paradoja de Condorcet

Autocontradicción del gobierno de la mayoría

En la teoría de la elección social , una paradoja de Condorcet (o paradoja de la votación ) es una situación en la que el gobierno de la mayoría se comporta de una manera que es contradictoria en sí misma. En tal situación, el electorado rechaza todas las opciones posibles en favor de otra, porque siempre hay algún otro resultado que la mayoría de los votantes considera mejor.

Historia

La paradoja de Condorcet fue descubierta por primera vez por el filósofo y teólogo español Ramon Llull en el siglo XIII, durante sus investigaciones sobre el gobierno de la iglesia , pero su trabajo se perdió hasta el siglo XXI. El matemático y filósofo político Marqués de Condorcet redescubrió la paradoja a finales del siglo XVIII. ^{[1] [2] [3]}

El descubrimiento de Condorcet significa que posiblemente identificó el resultado clave del teorema de imposibilidad de Arrow , aunque en condiciones más fuertes que las requeridas por Arrow: los ciclos de Condorcet crean situaciones en las que cualquier sistema de votación clasificado que respete a las mayorías debe tener un efecto saboteador .

Ejemplo

Supongamos que tenemos tres candidatos, A, B y C, y que hay tres votantes con las siguientes preferencias:

Los votantes (azul) y los candidatos (rojo) se trazaron en un espacio de preferencia bidimensional. Cada votante prefiere un candidato más cercano a otro más alejado. Las flechas muestran el orden en que los votantes prefieren a los candidatos.

Si se elige a C como ganador, se puede argumentar que B debería ganar en su lugar, ya que dos votantes (1 y 2) prefieren B a C y sólo un votante (3) prefiere C a B. Sin embargo, por el mismo argumento, A es se prefiere a B, y se prefiere C a A, por un margen de dos a uno en cada ocasión. Por lo tanto, las preferencias de la sociedad muestran un ciclo: se prefiere A a B, que se prefiere a C, que se prefiere a A.

Como resultado, cualquier intento de apelar al gobierno de la mayoría provocará un comportamiento contradictorio. Independientemente de la alternativa que seleccionemos, podemos encontrar otra alternativa que sería preferida por la mayoría de los votantes.

Probabilidad de la paradoja

Es posible estimar la probabilidad de la paradoja extrapolando datos electorales reales o utilizando modelos matemáticos del comportamiento de los votantes, aunque los resultados dependen en gran medida del modelo que se utilice.

Modelo de cultura imparcial

Podemos calcular la probabilidad de ver la paradoja para el caso especial en el que las preferencias de los votantes están distribuidas uniformemente entre los candidatos. (Este es el modelo de " cultura imparcial ", que se sabe que es el "peor de los casos" ^{[4] [5] : 40  [6] : 320  [7];} la mayoría de los modelos muestran probabilidades sustancialmente menores de ciclos de Condorcet.)

Para los votantes que proporcionan una lista de preferencias de tres candidatos A, B, C, escribimos (resp. , ) la variable aleatoria igual al número de votantes que colocaron A delante de B (respectivamente B delante de C, C delante de A). La probabilidad buscada es (la duplicamos porque también existe el caso simétrico A> C> B> A). Mostramos que, para impar , donde lo que hace que sea necesario conocer solo la distribución conjunta de y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$ ${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$

Si ponemos , mostramos la relación que permite calcular esta distribución por recurrencia: . ${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$ ${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}}$

Se obtienen entonces los siguientes resultados:

La secuencia parece tender hacia un límite finito.

Utilizando el teorema del límite central , demostramos que tiende a donde es una variable que sigue una distribución de Cauchy , lo que da (constante citada en la OEIS). ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$

La probabilidad asintótica de encontrar la paradoja de Condorcet es, por tanto, la que da el valor 8,77%. ^{[8] [9]} ${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$

Se han calculado y simulado algunos resultados para el caso de más de tres candidatos ^{[10] . [11]} La probabilidad simulada para un modelo de cultura imparcial con 25 votantes aumenta con el número de candidatos: ^{[11] :  28}

La probabilidad de un ciclo de Condorcet para modelos relacionados se acerca a estos valores para elecciones de tres candidatos con electorados grandes: ^[9]

• Cultura anónima imparcial (IAC): 6,25%
• Cultura uniforme (CU): 6,25%
• Condición de cultivo máxima (MC): 9,17%

Todos estos modelos no son realistas y se investigan para establecer un límite superior a la probabilidad de un ciclo. ^[9]

Modelos de coherencia grupal

Cuando se modelan con preferencias de los votantes más realistas, las paradojas de Condorcet en elecciones con un número pequeño de candidatos y un número grande de votantes se vuelven muy raras. ^{[5] : 78}

modelo espacial

Un estudio de elecciones de tres candidatos analizó 12 modelos diferentes de comportamiento de los votantes y encontró que el modelo espacial de votación es el más preciso para los datos electorales de votación clasificada del mundo real . Al analizar este modelo espacial, encontraron que la probabilidad de que un ciclo disminuya a cero a medida que aumenta el número de votantes, con probabilidades del 5% para 100 votantes, del 0,5% para 1.000 votantes y del 0,06% para 10.000 votantes. ^[12]

Otro modelo espacial encontró probabilidades del 2% o menos en todas las simulaciones de 201 votantes y 5 candidatos, ya sean bidimensionales o cuatridimensionales, con o sin correlación entre dimensiones, y con dos dispersiones diferentes de candidatos. ^{[11] :  31}

Estudios empíricos

Se han hecho muchos intentos de encontrar ejemplos empíricos de la paradoja. ^[13] La identificación empírica de una paradoja de Condorcet presupone datos extensos sobre las preferencias de quienes toman las decisiones sobre todas las alternativas, algo que rara vez está disponible.

Si bien los ejemplos de la paradoja parecen ocurrir ocasionalmente en entornos pequeños (por ejemplo, parlamentos), se han encontrado muy pocos ejemplos en grupos más grandes (por ejemplo, electorados), aunque algunos han sido identificados. ^[14]

Un resumen de 37 estudios individuales, que abarcan un total de 265 elecciones del mundo real, grandes y pequeñas, encontró 25 casos de una paradoja de Condorcet, para una probabilidad total del 9,4% ^{[6] : 325} (y esta puede ser una estimación alta, ya que es más probable que se informe sobre los casos de la paradoja que sobre los casos sin ella). ^{[5] : 47}

Un análisis de 883 elecciones de tres candidatos extraídas de 84 elecciones de votación clasificada del mundo real de la Sociedad de Reforma Electoral encontró una probabilidad del ciclo de Condorcet del 0,7%. Estas elecciones derivadas contaron con entre 350 y 1.957 electores. Un análisis similar de los datos de las encuestas a escala de termómetro de los Estudios Nacionales Electorales Estadounidenses de 1970 a 2004 encontró una probabilidad del ciclo de Condorcet del 0,4%. Estas elecciones derivadas tuvieron entre 759 y 2.521 "votantes". ^[12]

Una base de datos de 189 elecciones clasificadas en Estados Unidos de 2004 a 2022 contenía solo un ciclo de Condorcet: las elecciones del concejo municipal del Distrito 2 de Minneapolis de 2021 . ^[15] Si bien esto indica una tasa muy baja de ciclos de Condorcet (0,5%), es posible que parte del efecto se deba a la dominación general bipartidista .

Andrew Myers, que opera el servicio de votación por Internet Condorcet , analizó 10.354 elecciones CIVS no políticas y encontró ciclos en el 17% de las elecciones con al menos 10 votos, con una cifra que cayó al 2,1% para las elecciones con al menos 100 votos y al 1,2% para ≥ 300 votos. ^[dieciséis]

Trascendencia

Cuando se utiliza un método Condorcet para determinar una elección, la paradoja electoral de las preferencias sociales cíclicas implica que la elección no tiene un ganador Condorcet : ningún candidato que pueda ganar una elección uno a uno entre sí. Seguirá habiendo un grupo más pequeño de candidatos, conocido como conjunto de Smith , de manera que cada candidato del grupo pueda ganar una elección individual contra cada uno de los candidatos fuera del grupo. Las diversas variantes del método Condorcet difieren en cómo resuelven dichas ambigüedades cuando surgen para determinar un ganador. ^[17] Los métodos de Condorcet que siempre eligen a alguien del conjunto de Smith cuando no hay un ganador de Condorcet se conocen como eficientes de Smith . Tenga en cuenta que al utilizar únicamente clasificaciones, no existe una resolución justa y determinista para el ejemplo trivial dado anteriormente porque cada candidato se encuentra en una situación exactamente simétrica.

Las situaciones que tienen la paradoja de la votación pueden hacer que los mecanismos de votación violen el axioma de independencia de alternativas irrelevantes : la elección del ganador mediante un mecanismo de votación podría verse influenciada por si un candidato perdedor está disponible o no para ser votado.

Procesos de votación en dos etapas

Una implicación importante de la posible existencia de la paradoja de la votación en una situación práctica es que en un proceso de votación de dos etapas, el ganador final puede depender de la forma en que se estructuran las dos etapas. Por ejemplo, supongamos que el ganador de A versus B en la contienda primaria abierta por el liderazgo de un partido se enfrentará al líder del segundo partido, C, en las elecciones generales. En el ejemplo anterior, A derrotaría a B en la nominación del primer partido y luego perdería frente a C en las elecciones generales. Pero si B estuviera en el segundo partido en lugar del primero, B derrotaría a C para la nominación de ese partido y luego perdería frente a A en las elecciones generales. Por lo tanto, la estructura de las dos etapas marca la diferencia a la hora de determinar si A o C es el ganador final.

De la misma manera, la estructura de una secuencia de votos en una legislatura puede ser manipulada por la persona que organiza los votos, para asegurar un resultado preferido.

Efectos spoiler

Las paradojas de Condorcet implican que los métodos mayoritarios fracasan en la independencia de alternativas irrelevantes. Etiquete a los tres candidatos en una carrera de Piedra , Papel y Tijera . En una carrera uno contra uno, Piedra pierde contra Papel, Papel contra Tijeras, etc.

Sin pérdida de generalidad , digamos que Rock gana las elecciones con un método determinado. Entonces, Scissors es un candidato a spoiler para Paper: si Scissors se retirara, Paper ganaría la única carrera uno a uno (Paper vence a Rock). El mismo razonamiento se aplica independientemente del ganador.

Este ejemplo también muestra por qué las elecciones de Condorcet rara vez (o nunca) se estropean: los saboteadores sólo pueden ocurrir cuando no hay un ganador de Condorcet. Los ciclos de Condorcet son raros en elecciones grandes, ^{[18] [19]} y el teorema del votante mediano muestra que los ciclos son imposibles cuando los candidatos se ubican en un espectro de izquierda a derecha .

Ver también

• Teorema de imposibilidad de Arrow
• Dilema discursivo
• Teorema de Gibbard-Satterthwaite
• Independencia de alternativas irrelevantes
• Votación de segunda vuelta instantánea
• número de nakamura
• Votación cuadrática
• Piedra Papel tijeras
• La paradoja de Simpson
• conjunto de herrero

Referencias

1. Marqués de Condorcet (1785). Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (PNG) (en francés) . Consultado el 10 de marzo de 2008 .
2. Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat; Sommerlad, Fiona; McLean, Iain (1 de enero de 1989). La teoría política de Condorcet . Oxford: Universidad de Oxford, Facultad de Estudios Sociales. págs. 69–80, 152–166. OCLC  20408445. Claramente, si el voto de alguien fuera contradictorio (tenga preferencias cíclicas), habría que descontarlo y, por lo tanto, deberíamos establecer una forma de votación que haga imposibles tales absurdos.
3. Gehrlein, William V. (2002). "La paradoja de Condorcet y la probabilidad de que ocurra: diferentes perspectivas sobre las preferencias equilibradas*". Teoría y Decisión . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  0040-5833. S2CID  118143928. Aquí, Condorcet señala que tenemos un "sistema contradictorio" que representa lo que se conoce como la paradoja de Condorcet.
4. Tsetlin, Ilia; Regenwetter, Michel; Grofman, Bernard (1 de diciembre de 2003). "La cultura imparcial maximiza la probabilidad de ciclos mayoritarios". Elección social y bienestar . 21 (3): 387–398. doi :10.1007/s00355-003-0269-z. ISSN  0176-1714. S2CID  15488300. Es ampliamente reconocido que la cultura imparcial no es realista... la cultura imparcial es el peor de los casos.
5. Gehrlein, William V.; Lepelley, Dominique (2011). Paradojas de votación y coherencia grupal: la eficiencia condorcet de las reglas de votación . Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-642-03107-6. ISBN 9783642031076. OCLC  695387286. la mayoría de los resultados electorales no corresponden a nada parecido a DC, IC, IAC o MC... estudios empíricos... indican que es relativamente poco probable que se observen algunas de las paradojas más comunes en elecciones reales. ... se concluye fácilmente que la paradoja de Condorcet rara vez debería observarse en elecciones reales con un pequeño número de candidatos con grandes electorados, siempre que las preferencias de los votantes reflejen cualquier grado razonable de coherencia mutua del grupo.
6. Van Deemen, Adrian (2014). "Sobre la relevancia empírica de la paradoja de Condorcet". Elección pública . 158 (3–4): 311–330. doi :10.1007/s11127-013-0133-3. ISSN  0048-5829. S2CID  154862595. Pequeñas desviaciones del supuesto de cultura imparcial pueden conducir a grandes cambios en la probabilidad de la paradoja. Puede provocar enormes caídas o, todo lo contrario, enormes aumentos.
7. Mayo, Robert M. (1971). "Algunas observaciones matemáticas sobre la paradoja de la votación". Ciencia del comportamiento . 16 (2): 143-151. doi :10.1002/bs.3830160204. ISSN  0005-7940.
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9. Gehrlein, William V. (1 de marzo de 2002). "La paradoja de Condorcet y la probabilidad de que ocurra: diferentes perspectivas sobre las preferencias equilibradas*". Teoría y Decisión . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  1573-7187. S2CID  118143928. tener un PMRW con una probabilidad cercana a 15/16 = 0,9375 con IAC y UC, y cercana a 109/120 = 0,9083 para MC. … estos casos representan situaciones en las que la probabilidad de que exista una PMRW tendería a ser mínima… con la intención de darnos una idea del límite inferior de la probabilidad de que exista una PMRW.
10. Gehrlein, William V. (1997). "La paradoja de Condorcet y la eficiencia de las reglas de votación de Condorcet". Matemática Japónica . 45 : 173-199.
11. Merrill, Samuel (1984). "Una comparación de la eficiencia de los sistemas electorales multicandidato". Revista Estadounidense de Ciencias Políticas . 28 (1): 23–48. doi :10.2307/2110786. ISSN  0092-5853. JSTOR  2110786.
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18. Gehrlein, William V. (1 de marzo de 2002). "La paradoja de Condorcet y la probabilidad de que ocurra: diferentes perspectivas sobre las preferencias equilibradas*". Teoría y Decisión . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  1573-7187.
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Otras lecturas

• Garman, MB; Kamien, Michigan (1968). "La paradoja de la votación: cálculos de probabilidad". Ciencia del comportamiento . 13 (4): 306–316. doi :10.1002/bs.3830130405. PMID  5663897.
• Niemi, RG; Weisberg, H. (1968). "Una solución matemática a la probabilidad de la paradoja de la votación". Ciencia del comportamiento . 13 (4): 317–323. doi :10.1002/bs.3830130406. PMID  5663898.
• Niemi, RG; Wright, JR (1987). "Ciclos de votación y estructura de preferencias individuales". Elección social y bienestar . 4 (3): 173–183. doi :10.1007/BF00433943. JSTOR  41105865. S2CID  145654171.