Notación de Voigt

Concepto matemático

En matemáticas , la notación de Voigt o la forma de Voigt en álgebra multilineal es una forma de representar un tensor simétrico reduciendo su orden. ^[1] Hay algunas variantes y nombres asociados para esta idea: la notación de Mandel , la notación de Mandel-Voigt y la notación de Nye son otras. La notación de Kelvin es un resurgimiento por parte de Helbig ^[2] de las antiguas ideas de Lord Kelvin . Las diferencias aquí radican en ciertos pesos asignados a las entradas seleccionadas del tensor. La nomenclatura puede variar según lo que sea tradicional en el campo de aplicación.

Por ejemplo, un tensor simétrico X de 2×2 tiene solo tres elementos distintos, dos en la diagonal y el otro fuera de la diagonal. Por lo tanto, se puede expresar como el vector $${\displaystyle \langle x_{11},x_{22},x_{12}\rangle .}$$

Como otro ejemplo:

El tensor de tensión (en notación matricial) se da como $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}.}$$

En notación Voigt se simplifica a un vector de 6 dimensiones: $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\sigma _{yz},\sigma _{xz},\sigma _{xy})\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4},\sigma _{5},\sigma _{6}).}$$

El tensor de deformación, de naturaleza similar al tensor de tensión (ambos son tensores simétricos de segundo orden), se da en forma matricial como $${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{bmatrix}}.}$$

Su representación en notación Voigt es donde , , y son deformaciones cortantes de ingeniería. $${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),}$$ ${\displaystyle \gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}}$ ${\displaystyle \gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}}$ ${\displaystyle \gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}}$

La ventaja de utilizar diferentes representaciones para el estrés y la deformación es que se conserva la invariancia escalar. $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\epsilon }}=\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\tilde {\sigma }}\cdot {\tilde {\epsilon }}}$$

Del mismo modo, un tensor simétrico tridimensional de cuarto orden puede reducirse a una matriz de 6×6.

Regla mnemotécnica

Una regla mnemotécnica simple para memorizar la notación Voigt es la siguiente:

• Escriba el tensor de segundo orden en forma matricial (en el ejemplo, el tensor de tensión)
• Tacha la diagonal
• Continuar en la tercera columna
• Regrese al primer elemento a lo largo de la primera fila.

Los índices Voigt están numerados consecutivamente desde el punto de inicio hasta el final (en el ejemplo, los números en azul).

Notación de Mandel

Para un tensor simétrico de segundo rango sólo se distinguen seis componentes, tres en la diagonal y las otras fuera de la diagonal. Por lo tanto, se puede expresar, en notación de Mandel, ^[3] como el vector $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$$

La principal ventaja de la notación de Mandel es permitir el uso de las mismas operaciones convencionales que se utilizan con vectores, por ejemplo: $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$$

Un tensor simétrico de rango cuatro que satisface y tiene 81 componentes en el espacio tridimensional, pero solo 36 componentes son distintos. Por lo tanto, en la notación de Mandel, se puede expresar como ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$ ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$ $${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$$

Aplicaciones

La notación recibe su nombre del físico Woldemar Voigt y John Nye (científico) . Es útil, por ejemplo, en cálculos que involucran modelos constitutivos para simular materiales, como la ley de Hooke generalizada , así como en el análisis de elementos finitos ^[4] y la resonancia magnética de difusión ^[5] .

La ley de Hooke tiene un tensor de rigidez simétrico de cuarto orden con 81 componentes (3×3×3×3), pero debido a que la aplicación de dicho tensor de rango 4 a un tensor simétrico de rango 2 debe producir otro tensor simétrico de rango 2, no todos los 81 elementos son independientes. La notación de Voigt permite representar dicho tensor de rango 4 mediante una matriz de 6×6. Sin embargo, la forma de Voigt no conserva la suma de los cuadrados, que en el caso de la ley de Hooke tiene importancia geométrica. Esto explica por qué se introducen pesos (para hacer que la aplicación sea una isometría ).

Se puede encontrar una discusión sobre la invariancia de la notación de Voigt y la notación de Mandel en Helnwein (2001). ^[6]

Véase también

• Vectorización (matemáticas)
• Ley de Hooke

Referencias

1. Woldemar Voigt (1910). Lehrbuch der Kristallphysik. Teubner, Leipzig . Consultado el 29 de noviembre de 2016 .
2. Klaus Helbig (1994). Fundamentos de la anisotropía para la sísmica de exploración . Pérgamo. ISBN 0-08-037224-4.
3. Jean Mandel (1965). "Généralización de la teoría de la plasticidad de WT Koiter". Revista Internacional de Sólidos y Estructuras . 1 (3): 273–295. doi :10.1016/0020-7683(65)90034-x.
4. OC Zienkiewicz; RL Taylor; JZ Zhu (2005). El método de elementos finitos: su base y fundamentos (6.ª ed.). Elsevier Butterworth—Heinemann. ISBN 978-0-7506-6431-8.
5. Maher Moakher (2009). "El álgebra de tensores de cuarto orden con aplicación a la resonancia magnética de difusión". Visualización y procesamiento de campos tensoriales . Matemáticas y visualización. Springer Berlin Heidelberg. págs. 57–80. doi :10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN 978-3-540-88377-7.
6. Peter Helnwein (16 de febrero de 2001). "Algunas observaciones sobre la representación matricial comprimida de tensores simétricos de segundo y cuarto orden". Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 190 (22–23): 2753–2770. Bibcode :2001CMAME.190.2753H. doi :10.1016/s0045-7825(00)00263-2.