No implicación inversa

Conectiva lógica

Diagrama de Venn de (el área roja es verdadera) ${\displaystyle P\nleftarrow Q}$

En lógica , la no implicación inversa ^[1] es un conectivo lógico que es la negación de la implicación inversa (equivalentemente, la negación de la inversa de la implicación ).

Definición

La no implicación inversa se escribe , o , y es lógicamente equivalente a y . ${\displaystyle P\nleftarrow Q}$ ${\displaystyle P\not \subset Q}$ ${\displaystyle \neg (P\leftarrow Q)}$ ${\displaystyle \neg P\wedge Q}$

Tabla de verdad

La tabla de verdad de . ^[2] ${\displaystyle A\nleftarrow B}$

Notación

La no implicación inversa se escribe , que es la flecha hacia la izquierda de la implicación inversa ( ), negada con un trazo ( / ). ${\textstyle p\nleftarrow q}$ ${\textstyle \leftarrow }$

Las alternativas incluyen

• ${\textstyle p\not \subset q}$, que combina las implicaciones inversas , negadas con un trazo ( / ). ${\displaystyle \subset }$
• ${\textstyle p{\tilde {\leftarrow }}q}$, que combina la flecha izquierda de la implicación inversa ( ) con la tilde de la negación ( ). ${\textstyle \leftarrow }$ ${\textstyle \sim }$
• M pq , en notación de Bocheński

Propiedades

preservación de la falsedad : la interpretación bajo la cual a todas las variables se les asigna un valor de verdad de 'falso' produce un valor de verdad de 'falso' como resultado de la no implicación inversa

Lenguaje natural

Gramático

Ejemplo,

Si llueve (P) entonces me mojo (Q), sólo porque estoy mojado (Q) no significa que esté lloviendo, en realidad fui a una fiesta en la piscina con el personal mixto, en mi ropa (~P) y es por eso que estoy facilitando esta conferencia en este estado (Q).

Retórico

Q no implica P.

Coloquial

Álgebra de Boole

La no implicación inversa en un álgebra booleana general se define como . ${\textstyle q\nleftarrow p=q'p}$

Ejemplo de un álgebra de Boole de 2 elementos: los 2 elementos {0,1} con 0 como cero y 1 como elemento unidad, los operadores como operador de complemento, como operador de unión y como operador de encuentro, construyen el álgebra de Boole de lógica proposicional . ${\textstyle \sim }$ ${\textstyle \vee }$ ${\textstyle \wedge }$

Ejemplo de un álgebra booleana de 4 elementos: los 4 divisores {1,2,3,6} de 6 con 1 como cero y 6 como elemento unidad, los operadores (codivisor de 6) como operador de complemento, (mínimo común múltiplo) como operador de unión y (máximo común divisor) como operador de encuentro, construyen un álgebra booleana. ${\displaystyle \scriptstyle {^{c}}\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle {_{\vee }}\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle {_{\wedge }}\!}$

Propiedades

No asociativo

${\displaystyle r\nleftarrow (q\nleftarrow p)=(r\nleftarrow q)\nleftarrow p}$si y solo si #s5 (En un álgebra de Boole de dos elementos la última condición se reduce a o ). Por lo tanto, en un álgebra de Boole no trivial, la no implicación inversa es no asociativa . ${\displaystyle rp=0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle p=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(r\nleftarrow q)\nleftarrow p&=r'q\nleftarrow p&{\text{(by definition)}}\\&=(r'q)'p&{\text{(by definition)}}\\&=(r+q')p&{\text{(De Morgan's laws)}}\\&=(r+r'q')p&{\text{(Absorption law)}}\\&=rp+r'q'p\\&=rp+r'(q\nleftarrow p)&{\text{(by definition)}}\\&=rp+r\nleftarrow (q\nleftarrow p)&{\text{(by definition)}}\\\end{aligned}}}$$

Claramente, es asociativo si y sólo si . ${\displaystyle rp=0}$

No conmutativo

• ${\displaystyle q\nleftarrow p=p\nleftarrow q}$si y sólo si #s6. Por lo tanto, la no implicación inversa es no conmutativa . ${\displaystyle q=p}$

Elementos neutros y absorbentes

• 0 es un elemento neutro izquierdo ( ) y un elemento absorbente derecho ( ). ${\displaystyle 0\nleftarrow p=p}$ ${\displaystyle {p\nleftarrow 0=0}}$
• ${\displaystyle 1\nleftarrow p=0}$, , y . ${\displaystyle p\nleftarrow 1=p'}$ ${\displaystyle p\nleftarrow p=0}$
• La implicación es el dual de la no implicación inversa #s7. ${\displaystyle q\rightarrow p}$ ${\displaystyle q\nleftarrow p}$

Ciencias de la Computación

Un ejemplo de no implicación inversa en informática se puede encontrar al realizar una unión externa derecha en un conjunto de tablas de una base de datos , si se excluyen los registros que no coinciden con la condición de unión de la tabla "izquierda". ^[3]

Referencias

1. Lehtonen, Eero y Poikonen, JH
2. Knuth 2011, pág. 49
3. "Una explicación visual de las uniones SQL". 11 de octubre de 2007. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2014. Consultado el 24 de marzo de 2013 .

• Knuth, Donald E. (2011). El arte de la programación informática , volumen 4A: Algoritmos combinatorios, parte 1 (1.ª ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-201-03804-0.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Converse no-implication en Wikimedia Commons