En matemáticas , específicamente en aritmética elemental y álgebra elemental , dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales , se puede realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.
El método también se conoce ocasionalmente como el método de "cruzar el corazón" porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cosas multiplicar.
Dada una ecuación como
donde b y d no son cero, se puede multiplicar de forma cruzada para obtener
En geometría euclidiana se puede lograr el mismo cálculo considerando las proporciones como las de triángulos semejantes .
En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada (o uno) de los lados por el denominador del otro lado, cruzando efectivamente los términos:
La justificación matemática del método proviene del siguiente procedimiento matemático más largo. Si comenzamos con la ecuación básica
podemos multiplicar los términos de cada lado por el mismo número y los términos seguirán siendo iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados, bd , obtenemos
Podemos reducir las fracciones a sus términos más bajos observando que las dos apariciones de b en el lado izquierdo se cancelan, al igual que las dos apariciones de d en el lado derecho, dejando
y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos (en este caso usaremos d ), obteniendo
Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente. Comenzando con la ecuación dada
multiplicar pord/d= 1 a la izquierda y porb/b= 1 a la derecha, obteniendo
y entonces
Cancelar el denominador común bd = db , dejando
Cada paso de estos procedimientos se basa en una única propiedad fundamental de las ecuaciones . La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácilmente comprensible que se puede enseñar a los estudiantes.
Este es un procedimiento común en matemáticas, que se utiliza para reducir fracciones o calcular un valor para una variable determinada en una fracción. Si tenemos una ecuación
donde x es una variable que estamos interesados en resolver, podemos usar la multiplicación cruzada para determinar que
Por ejemplo, supongamos que queremos saber qué distancia recorrerá un automóvil en 7 horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya recorrió 90 millas en las últimas 3 horas. Al convertir el problema verbal en razones, obtenemos
Rendimientos de multiplicación cruzada
y entonces
Solución alternativa
90 millas/3 horas= 30 mph
Entonces, 30 mph × 7 horas = 210 millas.
Tenga en cuenta que incluso ecuaciones simples como
se resuelven mediante multiplicación cruzada, ya que el término b que falta es implícitamente igual a 1:
Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador . Este paso se llama limpieza de fracciones .
La regla de tres [1] era una versión histórica abreviada de una forma particular de multiplicación cruzada que podía enseñarse a los estudiantes de memoria. Se consideró el apogeo de la educación matemática colonial [2] y todavía figura en el plan de estudios nacional francés para la educación secundaria, [3] y en el plan de estudios de educación primaria de España. [4]
Para una ecuación de la forma
donde la variable a evaluar está en el denominador de la derecha, la regla de tres establece que
En este contexto, a se denomina extremo de la proporción y b y c se denominan medias .
Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo II d.C., [5] aunque no se utilizó en Europa hasta mucho más tarde.
La regla de tres ganó notoriedad por ser particularmente difícil de explicar. [ cita necesaria ] Cocker's Arithmetick , el principal libro de texto del siglo XVII, introduce su discusión sobre la regla de tres [6] con el problema "Si 4 yardas de tela cuestan 12 chelines, ¿cuánto costarán 6 yardas a esa tasa?" La regla de tres da la respuesta directa a este problema; mientras que en la aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6 yardas de tela, escribiendo la ecuación
y luego usar la multiplicación cruzada para calcular x :
Un manuscrito anónimo fechado en 1570 [7] decía: "La multiplicación es una molestia, / la división es igual de mala; / la regla de tres me desconcierta, / y la práctica me vuelve loco".
Charles Darwin se refiere a su uso de la regla de tres para estimar el número de especies en un género recién discernido. [8] En una carta a William Darwin Fox en 1855, Charles Darwin declaró: "No tengo fe en nada que no sea la medición real y la Regla de Tres". [9] Karl Pearson adoptó esta declaración como lema de su recién fundada revista Biometrika . [10]
Una extensión de la regla de tres fue la doble regla de tres , que implicaba encontrar un valor desconocido donde se conocen cinco valores en lugar de otros tres.
Un ejemplo de tal problema podría ser: Si 6 constructores pueden construir 8 casas en 100 días, ¿cuántos días les tomaría a 10 constructores construir 20 casas al mismo ritmo? , y esto se puede configurar como
que, con la multiplicación cruzada dos veces, da
" La canción del jardinero loco " de Lewis Carroll incluye las líneas "Le pareció ver una puerta de jardín / Que se abría con una llave: / Miró de nuevo y descubrió que era / Una doble regla de tres". [11]