Mecánica no autónoma

La mecánica no autónoma describe sistemas mecánicos no relativistas sujetos a transformaciones dependientes del tiempo. En particular, este es el caso de los sistemas mecánicos cuyos lagrangianos y hamiltonianos dependen del tiempo. El espacio de configuración de la mecánica no autónoma es un haz de fibras sobre el eje del tiempo coordinado por . ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t,q^{i})}$

Este paquete es trivial, pero sus diferentes trivializaciones corresponden a la elección de diferentes marcos de referencia no relativistas. Un marco de referencia de este tipo también está representado por una conexión que toma forma con respecto a esta trivialización. El diferencial covariante correspondiente determina la velocidad relativa con respecto a un sistema de referencia . ${\displaystyle Q=\mathbb {R} \times M}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma ^{i}=0}$ ${\displaystyle (q_{t}^{i}-\Gamma ^{i})\partial _{i}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Como consecuencia, la mecánica no autónoma (en particular, la mecánica hamiltoniana no autónoma) puede formularse como una teoría de campos clásica covariante (en particular, la teoría de campos hamiltoniana covariante ) en . En consecuencia, el espacio de fase de velocidad de la mecánica no autónoma es la variedad de chorro proporcionada con las coordenadas . Su espacio de fase de momento es el paquete cotangente vertical coordinado y dotado de la estructura canónica de Poisson . La dinámica de la mecánica no autónoma hamiltoniana se define mediante una forma hamiltoniana . ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle J^{1}Q}$ ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t,q^{i},q_{t}^{i})}$ ${\displaystyle VQ}$ ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t,q^{i},p_{i})}$ ${\displaystyle p_{i}dq^{i}-H(t,q^{i},p_{i})dt}$

Se puede asociar a cualquier sistema no autónomo hamiltoniano un sistema autónomo hamiltoniano equivalente en el paquete cotangente de coordinado por y provisto de la forma simpléctica canónica ; su hamiltoniano es . ${\displaystyle TQ}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (t,q^{i},p,p_{i})}$ ${\displaystyle p-H}$

Ver también

• Mecánica analítica
• Sistema no autónomo (matemáticas)
• Mecánica hamiltoniana
• variedad simpléctica
• Teoría de campos hamiltonianos covariantes
• Ecuación de movimiento libre
• Sistema relativista (matemáticas)

Referencias

• De Leon, M., Rodrigues, P., Métodos de geometría diferencial en mecánica analítica (Holanda Septentrional, 1989).
• Echeverría Enríquez, A., Muñoz Lecanda, M., Roman Roy, N., Configuración geométrica de sistemas regulares dependientes del tiempo. Modelos alternativos, Rev. Math. Física. 3 (1991) 301.
• Carinena, J., Fernández-Núñez, J., Teoría geométrica de los lagrangianos singulares dependientes del tiempo, Fortschr. Phys., 41 (1993) 517.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Mecánica de calibres (World Scientific, 1998) ISBN  981-02-3603-4 .
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Formulación geométrica de la mecánica clásica y cuántica (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 0911.0411).