Teorema de transferencia de máxima potencia

Teorema en ingeniería eléctrica.

En ingeniería eléctrica , el teorema de transferencia de potencia máxima establece que, para obtener la potencia externa máxima de una fuente de energía con resistencia interna , la resistencia de la carga debe ser igual a la resistencia de la fuente vista desde sus terminales de salida. Moritz von Jacobi publicó el teorema de máxima potencia (transferencia) alrededor de 1840; También se la conoce como " ley de Jacobi ". ^[1]

El teorema da como resultado una transferencia de potencia máxima desde la fuente de energía a la carga, y no una eficiencia máxima de la potencia útil de la potencia total consumida. Si la resistencia de la carga se hace mayor que la resistencia de la fuente, entonces la eficiencia aumenta (ya que un mayor porcentaje de la potencia de la fuente se transfiere a la carga), pero la magnitud de la potencia de la carga disminuye (ya que la resistencia total del circuito aumenta). ^[2] Si la resistencia de la carga se hace más pequeña que la resistencia de la fuente, entonces la eficiencia disminuye (ya que la mayor parte de la potencia termina disipándose en la fuente). Aunque la potencia total disipada aumenta (debido a una menor resistencia total), la cantidad disipada en la carga disminuye.

El teorema establece cómo elegir (para maximizar la transferencia de potencia) la resistencia de carga, una vez dada la resistencia de la fuente. Es un error común aplicar el teorema en el escenario opuesto. No dice cómo elegir la resistencia de fuente para una resistencia de carga determinada. De hecho, la resistencia de la fuente que maximiza la transferencia de energía desde una fuente de voltaje es siempre cero (la fuente de voltaje ideal hipotética ), independientemente del valor de la resistencia de la carga.

El teorema se puede extender a circuitos de corriente alterna que incluyen reactancia y establece que la transferencia máxima de potencia ocurre cuando la impedancia de carga es igual al conjugado complejo de la impedancia de la fuente.

Las matemáticas del teorema también se aplican a otras interacciones físicas, como por ejemplo: ^{[2] [3]}

• colisiones mecánicas entre dos objetos,
• el reparto de carga entre dos condensadores,
• flujo de líquido entre dos cilindros,
• la transmisión y reflexión de la luz en el límite entre dos medios.

Maximizar la transferencia de energía frente a la eficiencia energética

Modelo simplificado para alimentar una carga con resistencia R _L mediante una fuente con voltaje V _S y resistencia R _S .

El teorema fue originalmente malinterpretado (especialmente por Joule ^[4] ) en el sentido de que implicaba que un sistema consistente en un motor eléctrico impulsado por una batería no podía tener más del 50% de eficiencia , ya que la potencia disipada en forma de calor en la batería siempre sería igual a la potencia entregada al motor cuando se igualaron las impedancias.

En 1880, Edison o su colega Francis Robbins Upton demostraron que esta suposición era falsa , quienes se dieron cuenta de que la máxima eficiencia no era lo mismo que la máxima transferencia de energía.

Para lograr la máxima eficiencia, la resistencia de la fuente (ya sea una batería o una dinamo ) podría (o debería ser) lo más cercana posible a cero. Utilizando este nuevo conocimiento, obtuvieron una eficiencia de alrededor del 90% y demostraron que el motor eléctrico era una alternativa práctica al motor térmico .

La curva roja muestra la potencia en la carga, normalizada respecto a su máximo posible. La curva azul oscuro muestra la eficiencia η .

La eficiencia η es la relación entre la potencia disipada por la resistencia de carga R _L y la potencia total disipada por el circuito (que incluye la resistencia de la fuente de voltaje de R _S y R _L ):

$${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} }}{I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} }}}={\frac {1}{1+R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }}}\,.}$$

Considere tres casos particulares (tenga en cuenta que las fuentes de voltaje deben tener cierta resistencia):

• Si , entonces la eficiencia se acerca al 0% si la resistencia de carga se acerca a cero (un cortocircuito ), ya que toda la energía se consume en la fuente y no se consume ninguna energía en el cortocircuito. ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to 0}$ ${\displaystyle \eta \to 0.}$
• Si , entonces la eficiencia es solo del 50% si la resistencia de la carga es igual a la resistencia de la fuente (que es la condición de máxima transferencia de potencia). ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }=1}$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}.}$
• Si , entonces la eficiencia se acerca al 100% si la resistencia de la carga se acerca al infinito (aunque el nivel de potencia total tiende a cero) o si la resistencia de la fuente se acerca a cero. El uso de una relación grande se denomina puente de impedancia . ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to \infty }$ ${\displaystyle \eta \to 1.}$

Coincidencia de impedancia

Un concepto relacionado es el de adaptación de impedancias sin reflexión .

En las líneas de transmisión de radiofrecuencia y otros dispositivos electrónicos , a menudo existe el requisito de hacer coincidir la impedancia de la fuente (en el transmisor) con la impedancia de la carga (como una antena ) para evitar reflejos en la línea de transmisión .

Prueba basada en cálculo para circuitos puramente resistivos

En el modelo simplificado de alimentar una carga con resistencia R _L mediante una fuente con voltaje V _S y resistencia de fuente R _S , entonces, según la ley de Ohm, la corriente resultante I es simplemente el voltaje de la fuente dividido por la resistencia total del circuito:

$${\displaystyle I={\frac {V_{S}}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

La potencia P _L disipada en la carga es el cuadrado de la corriente multiplicada por la resistencia:

$${\displaystyle P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V_{S}}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V_{S}^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

El valor de R _L para el cual esta expresión es máxima se podría calcular diferenciándolo, pero es más fácil calcular el valor de R _L para el cual el denominador:

$${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}$$

R _L

$${\displaystyle {\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.}$$

Para un máximo o mínimo, la primera derivada es cero, por lo que

$${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1}$$

$${\displaystyle R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.}$$

En circuitos resistivos prácticos, R _S y R _L son positivos, por lo que el signo positivo en lo anterior es la solución correcta.

Para saber si esta solución es mínima o máxima, se vuelve a derivar la expresión del denominador:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.}$$

Esto siempre es positivo para valores positivos de y , mostrando que el denominador es mínimo, y por tanto la potencia es máxima, cuando: ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }}$

$${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.}$$

La prueba anterior supone una resistencia de fuente fija . Cuando se puede variar la resistencia de la fuente, la potencia transferida a la carga se puede aumentar reduciendo . Por ejemplo, una fuente de 100 voltios con una potencia entregará 250 vatios de potencia a una carga; reduciendo a aumenta la potencia entregada a 1000 vatios. ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 0\,\Omega }$

Tenga en cuenta que esto muestra que la transferencia de potencia máxima también se puede interpretar como que el voltaje de carga es igual a la mitad del voltaje de Thevenin equivalente de la fuente. ^[5]

En circuitos reactivos

El teorema de transferencia de potencia también se aplica cuando la fuente y/o la carga no son puramente resistivas.

Un refinamiento del teorema de potencia máxima dice que cualquier componente reactivo de la fuente y la carga debe ser de igual magnitud pero de signo opuesto. ( Consulte a continuación una derivación ) .

• Esto significa que las impedancias de fuente y carga deben ser conjugadas complejas entre sí.
• En el caso de circuitos puramente resistivos, los dos conceptos son idénticos.

Las fuentes y cargas físicamente realizables no suelen ser puramente resistivas y tienen algunos componentes inductivos o capacitivos, por lo que, de hecho, existen aplicaciones prácticas de este teorema, bajo el nombre de adaptación de impedancia conjugada compleja.

Si la fuente es totalmente inductiva (capacitiva), entonces una carga totalmente capacitiva (inductiva), en ausencia de pérdidas resistivas, recibiría el 100% de la energía de la fuente pero la devolvería después de un cuarto de ciclo.

El circuito resultante no es más que un circuito LC resonante en el que la energía continúa oscilando de un lado a otro. Esta oscilación se llama potencia reactiva .

La corrección del factor de potencia (donde se utiliza una reactancia inductiva para "equilibrar" una capacitiva) es esencialmente la misma idea que la adaptación de impedancia conjugada compleja, aunque se realiza por razones completamente diferentes.

Para una fuente reactiva fija , el teorema de potencia máxima maximiza la potencia real (P) entregada a la carga mediante un conjugado complejo que hace coincidir la carga con la fuente.

Para una carga reactiva fija , la corrección del factor de potencia minimiza la potencia aparente (S) (y la corriente innecesaria) conducida por las líneas de transmisión, manteniendo al mismo tiempo la misma cantidad de transferencia de potencia real.

Esto se hace agregando una reactancia a la carga para equilibrar la propia reactancia de la carga, cambiando la impedancia de carga reactiva a una impedancia de carga resistiva.

Prueba

diagrama de impedancia de fuente y carga

En este diagrama, la potencia de CA se transfiere desde la fuente, con magnitud fasorial de voltaje (voltaje pico positivo) e impedancia de fuente fija (S para fuente), a una carga con impedancia (L para carga), lo que resulta en una (positiva) Magnitud del fasor actual . Esta magnitud resulta de dividir la magnitud del voltaje de la fuente por la magnitud de la impedancia total del circuito: ${\displaystyle |V_{\text{S}}|}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ ${\displaystyle |I|}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |I|}$

$${\displaystyle |I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.}$$

La potencia promedio disipada en la carga es el cuadrado de la corriente multiplicada por la porción resistiva (la parte real) de la impedancia de la carga : ${\displaystyle P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle R_{\text{S}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{S}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$

Para determinar, para una tensión de fuente e impedancia dadas , el valor de la impedancia de carga para la cual esta expresión de potencia produce un máximo, primero se encuentra, para cada valor positivo fijo de , el valor del término reactivo para el cual el denominador: ${\displaystyle V_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}},}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}},}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$

$${\displaystyle (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}}$$

$${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.}$$

Esto reduce la ecuación anterior a:

$${\displaystyle P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}}$$

${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.}$

Las dos condiciones maximizadoras:

• ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}}$
• ${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}}$

describe el conjugado complejo de la impedancia de la fuente, denotado por y, por lo tanto, puede combinarse de manera concisa para: ${\displaystyle ^{*},}$

$${\displaystyle Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.}$$

Ver también

• Maximo poder punto

Notas

1. Thompson Phillips (30 de mayo de 2009), Maquinaria dinamoeléctrica; Manual para estudiantes de electrotecnia, BiblioBazaar, LLC, ISBN 978-1-110-35104-6
2. Harrison, Mark (22 de febrero de 2013). "Colisiones físicas y el teorema de la máxima potencia: una analogía entre situaciones mecánicas y eléctricas". Educación Física . 48 (2): 207–211. doi :10.1088/0031-9120/48/2/207. ISSN  0031-9120. S2CID  120330420.
3. Atkin, Keith (22 de agosto de 2013). "Transferencia de energía y una función matemática recurrente". Educación Física . 48 (5): 616–620. doi :10.1088/0031-9120/48/5/616. ISSN  0031-9120. S2CID  122189586.
4. Magnético, tríada. "Comprensión del teorema de la máxima potencia". info.triadmagnetics.com . Consultado el 8 de junio de 2022 .
5. "Tutoriales y revisiones de electrónica básica para principiantes y estudiantes avanzados".

Referencias

• HW Jackson (1959) Introducción a los circuitos electrónicos, Prentice-Hall.

enlaces externos

• Emparejamiento conjugado versus emparejamiento sin reflejos ( PDF ) tomado de Ondas y antenas electromagnéticas
• El transmisor de chispa. 2. Maximizar el poder, parte 1.