Llama de Burke-Schumann

Tipo de llama

En la combustión , una llama de Burke-Schumann es un tipo de llama de difusión , que se establece en la boca de dos conductos concéntricos, al emitir combustible y oxidante desde las dos regiones respectivamente. Recibe su nombre en honor a SP Burke y TEW Schumann, ^{[1] [2]} quienes pudieron predecir la altura y la forma de la llama utilizando su simple análisis de la química infinitamente rápida (que ahora se denomina límite de Burke-Schumann ) en 1928 en el Primer simposio sobre combustión .

Descripción matemática

Considere un conducto cilíndrico con un eje a lo largo de la dirección con un radio a través del cual se alimenta combustible desde la parte inferior y la boca del tubo está ubicada en . El oxidante se alimenta a lo largo del mismo eje, pero en el tubo concéntrico de radio fuera del tubo de combustible. Sea la fracción de masa en el tubo de combustible y la fracción de masa del oxígeno en el conducto exterior . La mezcla de combustible y oxígeno ocurre en la región . Se hicieron las siguientes suposiciones en el análisis: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y_{Fo}}$ ${\displaystyle Y_{Oo}}$ ${\displaystyle z>0}$

• La velocidad media es paralela al eje ( dirección) de los conductos, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{z}}$
• El flujo de masa en la dirección axial es constante, ${\displaystyle \rho v=\mathrm {constant} }$
• La difusión axial es insignificante en comparación con la difusión transversal/radial.
• La llama se produce infinitamente rápido ( límite de Burke-Schumann ), por lo tanto, la llama aparece como una lámina de reacción a través de la cual cambian las propiedades del flujo.
• Se han descuidado los efectos de la gravedad.

Consideremos una ley de Arrhenius irreversible de un solo paso , donde es la masa de oxígeno necesaria para quemar la unidad de masa de combustible y es la cantidad de calor liberado por unidad de masa de combustible quemado. Si es la masa de combustible quemado por unidad de volumen por unidad de tiempo e introduciendo la fracción de combustible y masa adimensional y el parámetro de estequiometría, ${\displaystyle \mathrm {Fuel} +s\mathrm {O} _{2}\rightarrow (1+s)\mathrm {Products} +q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle y_{F}={\frac {Y_{F}}{Y_{Fo}}},\quad y_{O}={\frac {Y_{O}}{Y_{Oo}}},\quad S={\frac {sY_{Fo}}{Y_{Oo}}}}$

Las ecuaciones que rigen la fracción de masa de combustible y oxidante se reducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial y_{F}}{\partial r}}\right)-\rho v{\frac {\partial y_{F}}{\partial z}}={\frac {\omega }{Y_{Fo}}}\\{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial y_{O}}{\partial r}}\right)-\rho v{\frac {\partial y_{O}}{\partial z}}=S{\frac {\omega }{Y_{Fo}}}\\\end{aligned}}}$

donde el número de Lewis de ambas especies se supone que es la unidad y se supone que es constante, donde es la difusividad térmica . Las condiciones de contorno para el problema son ${\displaystyle \rho D_{T}}$ ${\displaystyle D_{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{at}}\,&z=0,\,0<r<a,\,y_{F}=1,\,y_{O}=0,\\{\text{at}}\,&z=0,\,a<r<b,\,y_{F}=0,\,y_{O}=1,\\{\text{at}}\,&r=b,\,0<z<\infty ,\,{\frac {\partial y_{F}}{\partial r}}=0,\,{\frac {\partial y_{O}}{\partial r}}=0.\end{aligned}}}$

La ecuación se puede combinar linealmente para eliminar el término de reacción no lineal y resolver la nueva variable. ${\displaystyle \omega /Y_{Fo}}$

${\displaystyle Z={\frac {Sy_{F}-y_{O}+1}{S+1}}}$,

donde se conoce como fracción de mezcla . La fracción de mezcla toma el valor de la unidad en la corriente de combustible y cero en la corriente de oxidante y es un campo escalar que no se ve afectado por la reacción. La ecuación que satisface es ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial Z}{\partial r}}\right)-{\frac {\rho v}{\rho D_{T}}}{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0}$

(Si los números de Lewis del combustible y del oxidante no son iguales a la unidad, entonces la ecuación satisfecha por es no lineal como se deduce de la formulación de Shvab–Zeldovich–Liñán ). Introduciendo la siguiente transformación de coordenadas ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \xi ={\frac {r}{b}},\quad \eta ={\frac {\rho D_{T}}{\rho v}}{\frac {z}{b^{2}}},\quad c={\frac {a}{b}}}$

reduce la ecuación a

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\xi {\frac {\partial Z}{\partial \xi }}\right)-{\frac {\partial Z}{\partial \eta }}=0.}$

Las condiciones de contorno correspondientes se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{at}}\,&\eta =0,\,0<\xi <c,\,Z=1,\\{\text{at}}\,&\eta =0,\,c<\xi <1,\,Z=0,\\{\text{at}}\,&\xi =1,\,0<\eta <\infty ,\,{\frac {\partial Z}{\partial \xi }}=0.\end{aligned}}}$

La ecuación se puede resolver mediante la separación de variables.

${\displaystyle Z(\xi ,\eta )=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta }}$

donde y son la función de Bessel de primer tipo y es la raíz n de La solución también se puede obtener para los conductos planares en lugar de los conductos axisimétricos analizados aquí. ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle J_{1}(\lambda )=0.}$

^{[3] [4]}

Forma y altura de la llama

En el límite de Burke-Schumann , la llama se considera como una delgada lámina de reacción fuera de la cual tanto el combustible como el oxígeno no pueden existir juntos, es decir, . La propia lámina de reacción se encuentra en la superficie estequiométrica donde , en otras palabras, donde ${\displaystyle y_{F}y_{O}=0}$ ${\displaystyle Sy_{F}=y_{O}}$

${\displaystyle Z=Z_{s}\equiv {\frac {1}{S+1}}}$

donde es la fracción estequiométrica de la mezcla. La lámina de reacción separa la región del combustible y del oxidante. La estructura interna de la lámina de reacción se describe mediante la ecuación de Liñán . En el lado del combustible de la lámina de reacción ( ) ${\displaystyle Z_{s}}$ ${\displaystyle Z>Z_{s}}$

${\displaystyle y_{F}={\frac {Z-Z_{s}}{1-Z_{s}}},\,y_{O}=0}$

y en el lado oxidante ( ) ${\displaystyle Z<Z_{s}}$

${\displaystyle y_{F}=0,\,y_{O}=1-{\frac {Z}{Z_{s}}}.}$

Para valores dados de (o, ) y , la forma de la llama viene dada por la condición , es decir, ${\displaystyle Z_{s}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Z(\xi ,\eta )=Z_{s}}$

${\displaystyle Z_{s}=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta }.}$

Cuando ( ), la llama se extiende desde la boca del tubo interior y se adhiere al tubo exterior a una cierta altura ( caso de ventilación insuficiente ) y cuando ( ), la llama comienza desde la boca del tubo interior y se une en el eje a cierta altura alejada de la boca ( caso de ventilación excesiva ). En general, la altura de la llama se obtiene resolviendo en la ecuación anterior después de ajustar para el caso de ventilación insuficiente y para el caso de ventilación excesiva. ${\displaystyle Z_{s}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle S\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle Z_{s}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle S\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi =0}$

Como las alturas de las llamas son generalmente grandes para que los términos exponenciales de la serie sean despreciables, como primera aproximación, la altura de las llamas se puede estimar manteniendo solo el primer término de la serie. Esta aproximación predice las alturas de las llamas para ambos casos de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{under-ventilated}}\\\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0}^{2}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{over-ventilated}},\end{aligned}}}$

dónde ${\displaystyle \lambda _{1}=3.8317.}$

Referencias

1. Burke, SP y TEW Schumann. "Llamas de difusión". Química industrial e ingeniería 20.10 (1928): 998–1004.
2. Zeldovich, IA, Barenblatt, GI, Librovich, VB y Makhviladze, GM (1985). Teoría matemática de la combustión y las explosiones.
3. Williams, FA (2018). Teoría de la combustión. CRC Press.
4. Williams, FA (1965). Teoría de la combustión: la teoría fundamental de los sistemas de flujo de reacción química. Addison-Wesley.