En dinámica de fluidos biofísicos , la ley de Murray es una relación potencial entre los radios en las uniones de una red de tuberías tubulares que transportan fluidos . Su versión más simple propone que siempre que una rama de radio se divide en dos ramas de radios y , entonces los tres radios deben obedecer la ecuación Si el flujo de la red es suave y sin fugas , entonces los sistemas que obedecen la ley de Murray minimizan la resistencia al flujo a través de la red. Para redes turbulentas , la ley toma la misma forma pero con un exponente característico diferente α .
La ley de Murray se observa en los sistemas vascular y respiratorio de los animales, en el xilema de las plantas y en el sistema respiratorio de los insectos. En principio, la ley de Murray también se aplica a la ingeniería biomimética , pero los diseños humanos rara vez la explotan.
La ley de Murray recibe su nombre de Cecil D. Murray, un fisiólogo del Bryn Mawr College , quien fue el primero en argumentar que un transporte eficiente podría determinar la estructura del sistema vascular humano .
La ley de Murray supone que el material es transportado pasivamente por el flujo de fluido en una red de tuberías tubulares , [1] y que la red requiere energía para mantener tanto el flujo como la integridad estructural. [2] La variación en la viscosidad del fluido a través de las escalas afectará el exponente de la ley de Murray, pero generalmente es demasiado pequeña para ser importante. [3]
Se conocen al menos dos condiciones diferentes en las que el exponente cúbico es óptimo.
En el primero, los organismos tienen un volumen circulatorio libre (variable). Además, la energía de mantenimiento no es proporcional al material de la tubería, sino a la cantidad de fluido de trabajo. Esta última suposición se justifica en fluidos biológicos metabólicamente activos, como la sangre . [4] También se justifica para fluidos metabólicamente inactivos , como el aire, siempre que el "costo" energético de la infraestructura se ajuste al área de la sección transversal de cada tubo; tal es el caso de todos los túbulos biológicos conocidos. [5]
En el segundo caso, los organismos tienen un volumen y una presión circulatorios fijos, pero desean minimizar la resistencia al flujo a través del sistema. De manera equivalente, el mantenimiento es insignificante y los organismos desean maximizar el caudal volumétrico . [6]
Aunque la mayoría de las derivaciones de la ley de Murray suponen un campo de flujo en estado estable , los mismos resultados se aplican para el flujo en tubos que tienen un ancho moderado a pequeño, en relación con la longitud de onda del flujo . [7]
La derivación original de Murray utiliza el primer conjunto de supuestos descritos anteriormente. Comienza con la ecuación de Hagen-Poiseuille , que establece que para un fluido de viscosidad dinámica μ , que fluye laminarmente a través de una tubería cilíndrica de radio r y longitud l , el caudal volumétrico Q asociado con una caída de presión Δ p es y la potencia consumida correspondiente es [1] Dicha tubería contiene un volumen π lr 2 . Si la densidad de potencia de mantenimiento es λ , entonces la potencia total consumida (tanto de flujo como de mantenimiento) es Minimizar esta cantidad depende precisamente de qué variables el organismo es libre de manipular, pero el mínimo ocurre invariablemente cuando los dos términos son proporcionales entre sí. [8] En ese caso mínimo, la proporcionalidad determina una relación entre Q y r . Cancelando factores comunes y tomando una raíz cuadrada,
Es decir, cuando se utiliza la menor cantidad de energía posible, la masa que fluye a través de la tubería debe ser proporcional al cubo del radio de la tubería. Como el flujo no tiene fugas, el caudal total que entra en una unión debe ser el caudal total que sale: Sustituyendo ( 1 ) se obtiene la ley de Murray con α =3 . [9]
Si la red no depende de que el material transportado sea "arrastrado por el flujo", sino que espera que se difunda pasivamente, entonces la resistencia al transporte se minimiza cuando α = 2 : es decir, la misma ley se aplicaría a una red eléctrica de corriente continua compuesta por cables de un solo material, pero de diámetro variable . [10]
Para el flujo turbulento , la resistencia al transporte se minimiza cuando α = 7/3 ; es decir: [11] [12] En general, se espera que las redes intermedias entre la difusión y el flujo laminar tengan exponentes característicos entre 2 y 3, al menos aproximadamente. [13] [14]
La ley de Murray se ha verificado en pollos, intestinos y pulmones de perros, mesenterio de gatos , e intestinos y capilares pulmonares humanos. [15] [16] Los ratones modificados genéticamente para carecer de la proteína de la pared de los vasos sanguíneos elastina tienen vasos sanguíneos más pequeños y delgados, pero aún obedecen la ley de Murray. [17]
En los seres humanos, los vasos grandes, como la aorta o la tráquea , no parecen obedecer la ley de Murray, sino que obedecen una ley de Murray con un exponente cercano a 2. [16] Pero el flujo en esos vasos también es parcialmente turbulento y, por lo tanto, debería exhibir un exponente más cercano a 7/3 que a 3. [18]
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Los insectos no tienen un sistema circulatorio completamente desarrollado, sino que dependen de la difusión pasiva a través del hemocele . Para esas redes, la ley de Murray predice un área transversal constante, lo cual se observa. [10]
Los mismos argumentos que implican la ley de Murray también implican que la distribución de los túbulos debería exhibir una ley de potencia específica que se escala con el tamaño. Se sabe que el xilema de las plantas exhibe esa escala, excepto en escenarios donde los pasajes funcionan también como soportes estructurales . [19] [20]
El primer fenómeno que ahora se reconoce como la ley de Murray es la regla de Young para sistemas circulatorios, que establece que dos subcapilares idénticos deben combinarse para formar un capilar con un radio de aproximadamente 1,26≈ 3 √ 2 veces mayor, y data de principios del siglo XIX . [21] El fisiólogo de Bryn Mawr Cecil D. Murray publicó la formulación general moderna de la ley en 1926, [22] [21] pero languideció en una tierra de nadie disciplinaria durante los siguientes cincuenta años: demasiado trivial para los físicos y demasiado complicada para los biólogos. [21] El interés en la ley revivió en la década de 1970. [21]
En un sistema circulatorio regido por la ley de Murray con α = 3 , la tensión de corte en las paredes de los vasos es aproximadamente constante. En consecuencia, las variaciones en la tensión de corte son un signo de desviación de la ley de Murray; Rodbard y Zamir sugieren que tales variaciones estimulan el crecimiento o la contracción homeostáticos . [23]
La ley de Murray rara vez se aplica a materiales de ingeniería, porque las rutas de transporte artificiales intentan reducir la resistencia al flujo minimizando las ramificaciones y maximizando el diámetro. [24]
Se espera que los materiales que obedecen la ley de Murray a microescala, conocidos como materiales de Murray , tengan características de flujo favorables, pero su construcción es difícil, porque requiere un control estricto sobre el tamaño de los poros , generalmente en un amplio rango de escalas. [14] [25]
Lim et al. proponen diseñar " laboratorios en un chip " microfluídicos de acuerdo con la ley de Murray para minimizar la resistencia al flujo durante el análisis. La litografía convencional no admite este tipo de construcción, porque no puede producir canales de profundidad variable. [26]
En busca de electrodos de baterías de litio de larga duración , Zheng et al. construyeron materiales Murray a partir de capas de nanopartículas de óxido de zinc sinterizado . La tasa de evaporación del disolvente de óxido de zinc disuelto controlaba el tamaño de los poros en cada capa; la red era entonces simplemente capas de ZnO con diferentes tamaños de poro colocados uno sobre el otro. [14]
Debido a que los fluidos de trabajo de las centrales eléctricas generalmente se canalizan hacia muchos túbulos pequeños para lograr una transferencia de calor eficiente , la ley de Murray puede ser apropiada para el diseño de reactores nucleares . [27]
