Ley del cuadrado-cubo

Relación entre el área de superficie y el volumen a medida que aumenta el tamaño

La ley del cuadrado-cubo fue mencionada por primera vez en Dos nuevas ciencias (1638).

La ley del cuadrado-cubo (o ley del cubo-cuadrado ) es un principio matemático, aplicado en diversos campos científicos, que describe la relación entre el volumen y el área de la superficie a medida que el tamaño de una figura aumenta o disminuye. Fue descrita por primera vez ^{en 1638 por Galileo} Galilei en su obra Dos nuevas ciencias como la "...razón de dos volúmenes es ^mayor que la razón de sus superficies". ^[1]

Este principio establece que, a medida que una forma aumenta de tamaño, su volumen crece más rápido que su área de superficie. Cuando se aplica al mundo real, este principio tiene muchas implicaciones que son importantes en campos que van desde la ingeniería mecánica hasta la biomecánica . Ayuda a explicar fenómenos como por qué los mamíferos grandes como los elefantes tienen más dificultades para enfriarse que los pequeños como los ratones, y por qué construir rascacielos cada vez más altos es cada vez más difícil.

Descripción

Gráficas del área superficial, A, en función del volumen, V, de los sólidos platónicos y de una esfera, que muestran que la relación entre el área superficial y el volumen disminuye con el aumento del volumen.

Las flechas discontinuas muestran que cuando el volumen aumenta 8 (2³) veces, el área superficial aumenta 4 (2²) veces.

Esta imagen aclara la relación entre la longitud del lado de un poliedro, su área de superficie y su volumen.

La ley del cuadrado-cubo se puede enunciar de la siguiente manera:

Cuando un objeto experimenta un aumento proporcional de tamaño, su nueva superficie es proporcional al cuadrado del multiplicador y su nuevo volumen es proporcional al cubo del multiplicador.

Representado matemáticamente: ^[2] donde es la superficie original y es la nueva superficie. donde es el volumen original, es el nuevo volumen, es la longitud original y es la nueva longitud. $${\displaystyle A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ $${\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3}}$$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$

Por ejemplo, un cubo con una longitud de lado de 1 metro tiene una superficie de 6 m ² y un volumen de 1 m ³ . Si los lados del cubo se multiplicaran por 2, su superficie se multiplicaría por el cuadrado de 2 y se convertiría en 24 m ² . Su volumen se multiplicaría por el cubo de 2 y se convertiría en 8 m ³ .

El cubo original (lados de 1 m) tiene una relación de área superficial a volumen de 6:1. El cubo más grande (lados de 2 m) tiene una relación de área superficial a volumen de (24/8) 3:1. A medida que aumentan las dimensiones, el volumen seguirá creciendo más rápido que el área superficial. De ahí la ley del cuadrado-cubo. Este principio se aplica a todos los sólidos. ^[3]

Aplicaciones

Ingeniería

Cuando un objeto físico mantiene la misma densidad y se amplía su tamaño, su volumen y masa aumentan en el cubo del multiplicador, mientras que su área superficial aumenta solo en el cuadrado del mismo multiplicador. Esto significaría que, cuando la versión más grande del objeto se acelera a la misma velocidad que el original, se ejercería más presión sobre la superficie del objeto más grande.

Consideremos un ejemplo sencillo de un cuerpo de masa , sometido a una aceleración , con un área de superficie , sobre la que actúa la fuerza de aceleración. La fuerza debida a la aceleración es y la presión es . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=ma}$ ${\displaystyle P={\frac {F}{A}}={\frac {ma}{A}}}$

Ahora, considere que el objeto se exagera mediante un factor multiplicador para que tenga una nueva masa y una nueva área de superficie . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m'=x^{3}m}$ ${\displaystyle A'=x^{2}A}$

La nueva fuerza debida a la aceleración es y la presión resultante es: ${\displaystyle F'=x^{3}ma}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P'&={\frac {F'}{A'}}\\&={\frac {x^{3}ma}{x^{2}A}}\\&=x\ {\frac {ma}{A}}\\&=x\ P\\\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, simplemente aumentando el tamaño de un objeto, manteniendo el mismo material de construcción (densidad) y la misma aceleración, se incrementaría la presión en el mismo factor de escala. Esto indicaría que el objeto tendría menor capacidad para resistir la tensión y sería más propenso a colapsar mientras se acelera.

Por eso los vehículos de gran tamaño obtienen malos resultados en las pruebas de choque y existen límites teóricos sobre la altura a la que se pueden construir los edificios. De manera similar, cuanto más grande es un objeto, menos se opondrán otros objetos a su movimiento, lo que provocaría su desaceleración.

Ejemplos de ingeniería

• Máquina de vapor : James Watt , que trabajaba como fabricante de instrumentos para la Universidad de Glasgow , recibió un modelo a escala de la máquina de vapor Newcomen para que la pusiera en funcionamiento. Watt reconoció que el problema estaba relacionado con la ley del cuadrado-cubo, ya que la relación superficie-volumen del cilindro del modelo era mayor que la de las máquinas comerciales mucho más grandes, lo que provocaba una pérdida excesiva de calor. ^[4] Los experimentos con este modelo condujeron a las famosas mejoras de Watt a la máquina de vapor.

Un Boeing 737-500 delante de un Airbus A380

• Airbus A380 : las superficies de sustentación y control (alas, timones y elevadores) son relativamente grandes en comparación con el fuselaje del avión. Por ejemplo, si tomamos un Boeing 737 y simplemente ampliamos sus dimensiones al tamaño de un A380, el resultado sería unas alas demasiado pequeñas para el peso del avión, debido a la regla del cuadrado-cubo.
• Los motores de cohetes de ciclo expansor se ven afectados por la ley del cuadrado-cubo. Su tamaño, y por lo tanto su empuje, están limitados por la eficiencia de transferencia de calor debido a que el área de superficie de la boquilla aumenta más lentamente que el volumen de combustible que fluye a través de ella.
• Un clipper necesita relativamente más superficie de vela que un balandro para alcanzar la misma velocidad, lo que significa que hay una mayor relación entre la superficie de la vela y la superficie de la vela entre estas embarcaciones que entre su peso y su peso.
• Los aerostatos generalmente se benefician de la ley del cuadrado-cubo. A medida que aumenta el radio ( ) de un globo, el costo en área de superficie aumenta cuadráticamente ${\displaystyle r^{1}}$( ) ${\displaystyle r^{2}}$ , pero la sustentación generada a partir del volumen aumenta cúbicamente ( ) ${\displaystyle r^{3}}$ .
• Ingeniería estructural : los materiales que funcionan a escalas pequeñas pueden no funcionar a escalas mayores. Por ejemplo, la tensión de compresión en la base de una pequeña columna independiente aumenta en la misma proporción que el tamaño de la columna. Por lo tanto, existe un tamaño para un material y una densidad determinados en los que una columna colapsará sobre sí misma.

Biomecánica

Si se aumentara de tamaño de forma isométrica el tamaño de un animal en una cantidad considerable, su fuerza muscular relativa se reduciría considerablemente, ya que la sección transversal de sus músculos aumentaría en el cuadrado del factor de escala, mientras que su masa aumentaría en el cubo del factor de escala. Como resultado de esto, las funciones cardiovascular y respiratoria se verían gravemente afectadas.

En el caso de los animales voladores, la carga alar sería mayor si se los escalara isométricamente, y por lo tanto tendrían que volar más rápido para obtener la misma cantidad de sustentación . La resistencia del aire por unidad de masa también es mayor para los animales más pequeños (lo que reduce la velocidad terminal ), por lo que un animal pequeño como una hormiga no puede sufrir lesiones graves por el impacto contra el suelo después de caer desde cualquier altura.

Como afirma JBS Haldane , los animales grandes no parecen animales pequeños: un elefante no puede confundirse con un ratón de mayor tamaño. Esto se debe a la escala alométrica : los huesos de un elefante son necesariamente proporcionalmente mucho más grandes que los huesos de un ratón porque deben soportar un peso proporcionalmente mayor. Haldane lo ilustra en su influyente ensayo de 1928 On Being the Right Size (Ser del tamaño correcto) al referirse a los gigantes alegóricos : "...consideremos a un hombre de 60 pies de altura... Pope gigante y Pagan gigante en el ilustrado Pilgrim's Progress: ...Estos monstruos... pesaban 1000 veces más que [un humano normal]. Cada pulgada cuadrada de un hueso gigante tenía que soportar 10 veces el peso soportado por una pulgada cuadrada de hueso humano. Como el fémur humano promedio se rompe bajo aproximadamente 10 veces el peso humano, Pope y Pagan se habrían roto los muslos cada vez que daban un paso". ^[5] En consecuencia, la mayoría de los animales muestran una escala alométrica con el aumento de tamaño, tanto entre especies como dentro de una especie. Las criaturas gigantes que se ven en las películas de monstruos (por ejemplo, Godzilla , King Kong y Them!, y otros kaiju ) también son poco realistas, dado que su gran tamaño las obligaría a colapsar.

Sin embargo, la flotabilidad del agua anula en cierta medida los efectos de la gravedad. Por lo tanto, los animales acuáticos pueden crecer hasta alcanzar tamaños muy grandes sin las mismas estructuras musculoesqueléticas que se requerirían de animales terrestres de tamaño similar, y es la razón principal por la que los animales más grandes que han existido en la Tierra son animales acuáticos .

La tasa metabólica de los animales se escala con un principio matemático llamado escala de un cuarto de potencia ^[6] según la teoría metabólica de la ecología .

Transferencia de masa y calor

La transferencia de masa, como la difusión a objetos más pequeños, como células vivas, es más rápida que la difusión a objetos más grandes, como animales enteros. Por lo tanto, en los procesos químicos que tienen lugar en una superficie, en lugar de en la masa, el material dividido más finamente es más activo. Por ejemplo, la actividad de un catalizador heterogéneo es mayor cuando se divide en partículas más finas. Estos catalizadores suelen producirse en condiciones más cálidas.

La producción de calor de un proceso químico se escala con el cubo de la dimensión lineal (altura, ancho) del recipiente, pero la superficie del recipiente se escala solo con el cuadrado de la dimensión lineal. En consecuencia, los recipientes más grandes son mucho más difíciles de enfriar. Además, las tuberías a gran escala para transferir fluidos calientes son difíciles de simular a pequeña escala, porque el calor se transfiere más rápido desde tuberías más pequeñas. Si no se tiene esto en cuenta en el diseño del proceso, se puede producir una fuga térmica catastrófica .

Véase también

• Biomecánica
• Ley alométrica
• On Being the Right Size (Sobre el tamaño adecuado) , un ensayo de JBS Haldane que analiza los cambios en la forma de los animales que se requerirían si se produjera un gran cambio de tamaño. Véase también más arriba el ejemplo de los gigantes alegóricos al escalar el tamaño.
• Relación entre área de superficie y volumen
• Ley de Kleiber
• Regla de Bergmann

Referencias

1. David H. Allen (24 de septiembre de 2013). Cómo la mecánica moldeó el mundo moderno. Springer. ISBN 9783319017013.
2. "Constructores de mundos: los tamaños de los seres vivos". world-builders.org . Archivado desde el original el 23 de octubre de 2016. Consultado el 21 de abril de 2012 .
3. Michael C. LaBarbera. "La biología de los monstruos de películas de serie B".
4. Rosen, William (2012). La idea más poderosa del mundo: una historia de vapor, industria e invención . University of Chicago Press. pág. 98. ISBN 978-0226726342.
5. Haldane, JBS "Sobre tener el tamaño adecuado". Internet Research Lab. UCLA. Archivado desde el original el 22 de agosto de 2011. Consultado el 1 de abril de 2017 .
6. George Johnson (12 de enero de 1999). "De ratones y elefantes: una cuestión de escala". The New York Times . Consultado el 11 de junio de 2015 .

Enlaces externos

• Materiales de aprendizaje relacionados con las proporciones en Wikiversidad