Ley circular

En teoría de probabilidad , más específicamente en el estudio de matrices aleatorias , la ley circular se refiere a la distribución de valores propios de una matriz aleatoria n × n con entradas independientes e idénticamente distribuidas en el límite n → ∞ .

Afirma que para cualquier secuencia de matrices aleatorias n × n cuyas entradas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , todas con media cero y varianza igual a 1/ n , la distribución espectral límite es la distribución uniforme sobre el disco unitario.

Conjuntos de Ginibre

El conjunto complejo de Ginibre se define como para , con todas sus entradas muestreadas IID de la distribución normal estándar . ${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

El verdadero conjunto Ginibre se define como . ${\displaystyle X=Z_{1}}$

Valores propios

Los valores propios de se distribuyen de acuerdo con ^[1] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}$$

Gráfico de las partes reales e imaginarias (escaladas por sqrt(1000)) de los valores propios de una matriz de 1000x1000 con entradas normales estándar independientes.

Derecho global

Sea una secuencia muestreada del conjunto complejo de Ginibre. Denotemos los valores propios de . Definamos la medida espectral empírica de como ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$

${\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).}$

Entonces, casi con seguridad (es decir, con probabilidad uno), la secuencia de medidas converge en distribución a la medida uniforme en el disco unitario. ${\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}}$

Estadísticas de Edge

Sea muestreado del conjunto real o complejo, y sea el valor absoluto de su valor propio máximo: Tenemos el siguiente teorema para las estadísticas de borde: ^[2] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho (G_{n})}$ $${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$$

Estadísticas de aristas del conjunto de Ginibre  —  Para y como arriba, con probabilidad uno, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}$$

Además, si y entonces converge en distribución a la ley de Gumbel , es decir, la medida de probabilidad en con función de distribución acumulativa . ${\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}$ $${\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}$$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}$

Este teorema perfecciona la ley circular del conjunto de Ginibre. En otras palabras, la ley circular dice que el espectro de casi seguramente cae de manera uniforme sobre el disco unitario. y el teorema de las estadísticas de aristas establece que el radio del disco casi unitario es de aproximadamente , y fluctúa en una escala de , según la ley de Gumbel. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$

Historia

En el caso de matrices aleatorias con distribución gaussiana de entradas ( conjuntos de Ginibre ), la ley circular fue establecida en los años 1960 por Jean Ginibre ^[3] . En los años 1980, Vyacheslav Girko introdujo ^[4] un enfoque que permitió establecer la ley circular para distribuciones más generales. Zhidong Bai realizó avances adicionales ^[5] y estableció la ley circular bajo ciertas suposiciones de suavidad en la distribución.

Las suposiciones se relajaron aún más en los trabajos de Terence Tao y Van H. Vu , ^[6] Guangming Pan y Wang Zhou, ^[7] y Friedrich Götze y Alexander Tikhomirov. ^[8] Finalmente, en 2010 Tao y Vu demostraron ^[9] la ley circular bajo las suposiciones mínimas establecidas anteriormente.

^{En 1985, Girko [10]} amplió el resultado de la ley circular a una ley elíptica para conjuntos de matrices con una cantidad fija de correlación entre las entradas por encima y por debajo de la diagonal. Aceituno, Rogers y Schomerus generalizaron aún más las leyes elíptica y circular a la ley hipotrocoide, que incluye correlaciones de orden superior. ^[11]

Véase también

• Distribución de semicírculo de Wigner

Referencias

1. Meckes, Elizabeth (8 de enero de 2021). "Los valores propios de matrices aleatorias". arXiv : 2101.02928 [math.PR].
2. Rider, B (28 de marzo de 2003). "Un teorema límite en el borde de un conjunto de matrices aleatorias no hermíticas". Journal of Physics A: Mathematical and General . 36 (12): 3401–3409. Bibcode :2003JPhA...36.3401R. doi :10.1088/0305-4470/36/12/331. ISSN  0305-4470.
3. Ginibre, Jean (1965). "Conjuntos estadísticos de matrices complejas, cuaterniones y reales". J. Math. Phys . 6 (3): 440–449. Bibcode :1965JMP.....6..440G. doi :10.1063/1.1704292. MR  0173726.
4. Girko, VL (1984). "La ley circular". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya . 29 (4): 669–679.
5. Bai, ZD (1997). "Ley circular". Anales de probabilidad . 25 (1): 494–529. doi : 10.1214/aop/1024404298 . MR  1428519.
6. Tao, T.; Vu, VH (2008). "Matrices aleatorias: la ley circular". Commun. Contemp. Math . 10 (2): 261–307. arXiv : 0708.2895 . doi :10.1142/s0219199708002788. MR  2409368. S2CID  15888373.
7. Pan, G.; Zhou, W. (2010). "Ley circular, valores singulares extremos y teoría del potencial". J. Multivariate Anal . 101 (3): 645–656. arXiv : 0705.3773 . doi :10.1016/j.jmva.2009.08.005. S2CID  7475359.
8. Götze, F.; Tikhomirov, A. (2010). "La ley circular para matrices aleatorias". Anales de probabilidad . 38 (4): 1444–1491. arXiv : 0709.3995 . doi :10.1214/09-aop522. MR  2663633. S2CID  1290255.
9. Tao, Terence ; Vu, Van (2010). "Matrices aleatorias: universalidad de ESD y la ley circular". Anales de probabilidad . 38 (5). apéndice de Manjunath Krishnapur: 2023–2065. arXiv : 0807.4898 . doi :10.1214/10-AOP534. MR  2722794. S2CID  15769353.
10. Girko, VL (1985). "La ley elíptica". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya . 30 : 640–651.
11. Aceituno, PV; Rogers, T.; Schomerus, H. (2019). "Ley hipotrocoídica universal para matrices aleatorias con correlaciones cíclicas". Physical Review E . 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Bibcode :2019PhRvE.100a0302A. doi :10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.