Inestabilidad de Darrieus-Landau

Inestabilidad intrínseca en las llamas

La inestabilidad de Darrieus-Landau o inestabilidad hidrodinámica es una inestabilidad intrínseca de la llama que ocurre en llamas premezcladas , causada por la variación de densidad debido a la expansión térmica del gas producido por el proceso de combustión . En términos simples, la estabilidad indaga si una lámina plana que se propaga de manera constante con un salto discontinuo en la densidad es estable o no. Fue predicha independientemente por Georges Jean Marie Darrieus y Lev Landau . ^{[1] [2]} Yakov Zeldovich señala que Lev Landau generosamente le sugirió este problema para que lo investigara y Zeldovich, sin embargo, cometió un error en los cálculos que llevó al propio Landau a completar el trabajo. ^{[3] [4]}

El análisis de inestabilidad detrás de la inestabilidad de Darrieus-Landau considera un frente de llama premezclado plano sujeto a perturbaciones muy pequeñas. ^[5] Es útil pensar en este arreglo como uno en el que la llama no perturbada es estacionaria, con los reactivos (combustible y oxidante) dirigidos hacia la llama y perpendiculares a ella con una velocidad u1, y los gases quemados salen de la llama también de manera perpendicular pero con velocidad u2. El análisis supone que el flujo es un flujo incompresible , y que las perturbaciones están gobernadas por las ecuaciones de Euler linealizadas y, por lo tanto, son no viscosas. Con estas consideraciones, el resultado principal de este análisis es que, si la densidad de los gases quemados es menor que la de los reactivos, que es el caso en la práctica debido a la expansión térmica del gas producida por el proceso de combustión, el frente de llama es inestable a perturbaciones de cualquier longitud de onda . Otro resultado es que la tasa de crecimiento de las perturbaciones es inversamente proporcional a su longitud de onda; Por lo tanto, las pequeñas arrugas de la llama (pero mayores que el espesor característico de la llama) crecen más rápido que las grandes. En la práctica, sin embargo, los efectos de difusión y flotabilidad que no se tienen en cuenta en el análisis de Darrieus y Landau pueden tener un efecto estabilizador. ^{[6] [7] [8] [9]}

Relación de dispersión

Si las perturbaciones de la lámina de llama plana estable son de la forma , donde es el sistema de coordenadas transversales que se encuentra en la lámina de llama estacionaria no perturbada, es el tiempo, es el vector de onda de la perturbación y es la tasa de crecimiento temporal de la perturbación, entonces la relación de dispersión está dada por ^[10] ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{\bot }+\sigma t}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\bot }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left({\sqrt {1+{\frac {r^{2}-1}{r}}}}-1\right)}$

donde es la velocidad de combustión laminar (o la velocidad de flujo mucho más arriba de la llama en un marco que está fijado a la llama), y es la relación entre la densidad del gas quemado y el no quemado. En la combustión siempre y por lo tanto la tasa de crecimiento para todos los números de onda. Esto implica que una lámina plana de llama con una velocidad de combustión es inestable para todos los números de onda. De hecho, Amable Liñán y Forman A. Williams citan en su libro ^{[11] [12]} que en vista de las observaciones de laboratorio de llamas laminares planas estables, la publicación de sus predicciones teóricas requirió coraje por parte de Darrieus y Landau. ${\displaystyle S_{L}}$ ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle r=\rho _{u}/\rho _{b}}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle S_{L}}$

Si se tienen en cuenta las fuerzas de flotabilidad (en otras palabras, se consideran las explicaciones de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor ) para las llamas planas que son perpendiculares al vector de gravedad, entonces se puede anticipar cierto nivel de estabilidad para las llamas que se propagan verticalmente hacia abajo (o las llamas que se mantienen estacionarias mediante un flujo vertical hacia arriba), ya que en estos casos, el gas no quemado más denso se encuentra debajo de la mezcla de gases quemados más liviana. Por supuesto, en las llamas que se propagan verticalmente hacia arriba o las que se mantienen estacionarias mediante un flujo vertical hacia abajo, tanto el mecanismo de Darrieus-Landau como el mecanismo de Rayleigh-Taylor contribuyen al efecto desestabilizador. La relación de dispersión cuando se incluyen las fuerzas de flotabilidad se convierte en

${\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left[{\sqrt {1+\left({\frac {r^{2}-1}{r}}\right)\left(1-{\frac {g}{S_{L}^{2}rk}}\right)}}-1\right]}$

donde corresponde a la aceleración gravitacional para las llamas que se propagan hacia abajo y corresponde a la aceleración gravitacional para las llamas que se propagan hacia arriba. La dispersión anterior implica que la gravedad introduce estabilidad para las llamas que se propagan hacia abajo cuando , donde es una escala de longitud de flotabilidad característica. ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle g<0}$ ${\displaystyle k^{-1}>l_{b}=S_{L}^{2}r/g}$ ${\displaystyle l_{b}}$

El análisis de Darrieus y Landau trata la llama como una lámina plana para investigar su estabilidad sin tener en cuenta los efectos de difusión, mientras que en realidad la llama tiene un espesor definido, digamos el espesor de llama laminar , donde es la difusividad térmica , en donde no se pueden despreciar los efectos de difusión. Teniendo en cuenta la estructura de la llama, como la imaginó por primera vez George H. Markstein , se descubre que las llamas se estabilizan para longitudes de onda pequeñas , excepto cuando el coeficiente de difusión del combustible y la difusividad térmica difieren entre sí significativamente, lo que conduce a la denominada inestabilidad difusiva-térmica ( de Turing ) . ${\displaystyle k^{-1}\sim \delta _{L}=D_{T}/S_{L}}$ ${\displaystyle D_{T}}$ ${\displaystyle k^{-1}\sim \delta _{L}}$

La inestabilidad de Darrieus-Landau se manifiesta en el rango de llamas que se propagan hacia abajo y hacia arriba. ${\displaystyle \delta _{L}\ll k^{-1}\ll l_{b}}$ ${\displaystyle \delta _{L}\ll k^{-1}}$

Véase también

• Ecuación de Michelson-Sivashinsky
• Ecuación de Clavin-García

Referencias

1. Darrieus, G. (1938). "Propagación de un frente de llama". La Technique Moderne y Congrés de Mécanique Appliquée París .
2. Landau, LD (1944). "Sobre la teoría de la combustión lenta". Acta Physicochim .
3. Zeldovich, Ya. B. (1987) Recordando a un maestro. Con motivo del octogésimo aniversario del nacimiento de L.D. Landau: En: Obras seleccionadas de Yakov Borisovich Zeldovich, volumen II.
4. Zeldovich, Ya. B. (1989) Recuerdos del maestro: En: Landau: el físico y el hombre.
5. Clavin, Paul; Searby, Geoff (2016). Ondas y frentes de combustión en flujos . Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9781316162453. ISBN . 9781316162453.
6. Markstein, GH Propagación de llama no constante, (1964). P22, Pergarmon, Nueva York .
7. Frankel, ML; Sivashinsky, GI (diciembre de 1982). "El efecto de la viscosidad en la estabilidad hidrodinámica de un frente de llama plano". Ciencia y tecnología de la combustión . 29 (3–6): 207–224. doi :10.1080/00102208208923598. ISSN  0010-2202.
8. Matalon, M.; Matkowsky, BJ (noviembre de 1982). "Las llamas como discontinuidades gas-dinámicas". Journal of Fluid Mechanics . 124 : 239–259. Bibcode :1982JFM...124..239M. doi :10.1017/S0022112082002481. ISSN  1469-7645. S2CID  121744586.
9. Pelce, P.; Clavin, P. (noviembre de 1982). "Influencia de la hidrodinámica y la difusión sobre los límites de estabilidad de llamas laminares premezcladas". Journal of Fluid Mechanics . 124 : 219–237. Bibcode :1982JFM...124..219P. doi :10.1017/S002211208200247X. ISSN  1469-7645. S2CID  102965398.
10. Williams, FA (2018). Teoría de la combustión. CRC Press. página 353
11. Liñán, A. y Williams, FA (1993). Aspectos fundamentales de la combustión.
12. Crighton, DG (1997). Aspectos fundamentales de la combustión. Por A. Liñan y FA Williams. Oxford University Press, 1993, 167 pp. ISBN 019507626 5 .£ 25. Journal of Fluid Mechanics, 331, 439-443.